Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem8 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ruclem8 14289
 Description: Lemma for ruc 14295. The intervals of the sequence are all nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1
ruc.2
ruc.4
ruc.5
Assertion
Ref Expression
ruclem8
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ruclem8
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5865 . . . . . 6
21fveq2d 5869 . . . . 5
31fveq2d 5869 . . . . 5
42, 3breq12d 4415 . . . 4
54imbi2d 318 . . 3
6 fveq2 5865 . . . . . 6
76fveq2d 5869 . . . . 5
86fveq2d 5869 . . . . 5
97, 8breq12d 4415 . . . 4
109imbi2d 318 . . 3
11 fveq2 5865 . . . . . 6
1211fveq2d 5869 . . . . 5
1311fveq2d 5869 . . . . 5
1412, 13breq12d 4415 . . . 4
1514imbi2d 318 . . 3
16 fveq2 5865 . . . . . 6
1716fveq2d 5869 . . . . 5
1816fveq2d 5869 . . . . 5
1917, 18breq12d 4415 . . . 4
2019imbi2d 318 . . 3
21 0lt1 10136 . . . . 5
2221a1i 11 . . . 4
23 ruc.1 . . . . . . 7
24 ruc.2 . . . . . . 7
25 ruc.4 . . . . . . 7
26 ruc.5 . . . . . . 7
2723, 24, 25, 26ruclem4 14286 . . . . . 6
2827fveq2d 5869 . . . . 5
29 c0ex 9637 . . . . . 6
30 1ex 9638 . . . . . 6
3129, 30op1st 6801 . . . . 5
3228, 31syl6eq 2501 . . . 4
3327fveq2d 5869 . . . . 5
3429, 30op2nd 6802 . . . . 5
3533, 34syl6eq 2501 . . . 4
3622, 32, 353brtr4d 4433 . . 3
3723adantr 467 . . . . . . . . 9
3824adantr 467 . . . . . . . . 9
3923, 24, 25, 26ruclem6 14287 . . . . . . . . . . . 12
4039ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . 11
4140adantrr 723 . . . . . . . . . 10
42 xp1st 6823 . . . . . . . . . 10
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9
44 xp2nd 6824 . . . . . . . . . 10
4541, 44syl 17 . . . . . . . . 9
46 nn0p1nn 10909 . . . . . . . . . . 11
47 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . 11
4823, 46, 47syl2an 480 . . . . . . . . . 10
4948adantrr 723 . . . . . . . . 9
50 eqid 2451 . . . . . . . . 9
51 eqid 2451 . . . . . . . . 9
52 simprr 766 . . . . . . . . 9
5337, 38, 43, 45, 49, 50, 51, 52ruclem2 14284 . . . . . . . 8
5453simp2d 1021 . . . . . . 7
5523, 24, 25, 26ruclem7 14288 . . . . . . . . . 10
5655adantrr 723 . . . . . . . . 9
57 1st2nd2 6830 . . . . . . . . . . 11
5841, 57syl 17 . . . . . . . . . 10
5958oveq1d 6305 . . . . . . . . 9
6056, 59eqtrd 2485 . . . . . . . 8
6160fveq2d 5869 . . . . . . 7
6260fveq2d 5869 . . . . . . 7
6354, 61, 623brtr4d 4433 . . . . . 6
6463expr 620 . . . . 5
6564expcom 437 . . . 4
6665a2d 29 . . 3
675, 10, 15, 20, 36, 66nn0ind 11030 . 2
6867impcom 432 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  csb 3363   cun 3402  cif 3881  csn 3968  cop 3974   class class class wbr 4402   cxp 4832  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmpt2 6292  c1st 6791  c2nd 6792  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   clt 9675   cle 9676   cdiv 10269  cn 10609  c2 10659  cn0 10869   cseq 12213 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-seq 12214 This theorem is referenced by:  ruclem9  14290  ruclem10  14291  ruclem12  14293
 Copyright terms: Public domain W3C validator