MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem7 Structured version   Unicode version

Theorem ruclem7 13990
Description: Lemma for ruc 13997. Successor value for the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
ruc.2  |-  ( ph  ->  D  =  ( x  e.  ( RR  X.  RR ) ,  y  e.  RR  |->  [_ ( ( ( 1st `  x )  +  ( 2nd `  x
) )  /  2
)  /  m ]_ if ( m  <  y ,  <. ( 1st `  x
) ,  m >. , 
<. ( ( m  +  ( 2nd `  x ) )  /  2 ) ,  ( 2nd `  x
) >. ) ) )
ruc.4  |-  C  =  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)
ruc.5  |-  G  =  seq 0 ( D ,  C )
Assertion
Ref Expression
ruclem7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( G `  N
) D ( F `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, F    m, G, x, y    m, N, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, m)    C( x, y, m)    D( x, y, m)

Proof of Theorem ruclem7
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 11053 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2490 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
4 seqp1 12044 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq 0 ( D ,  C ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 ( D ,  C ) `  N ) D ( C `  ( N  +  1 ) ) ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 ( D ,  C ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 ( D ,  C ) `  N ) D ( C `  ( N  +  1 ) ) ) )
6 ruc.5 . . . 4  |-  G  =  seq 0 ( D ,  C )
76fveq1i 5788 . . 3  |-  ( G `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq 0 ( D ,  C ) `
 ( N  + 
1 ) )
86fveq1i 5788 . . . 4  |-  ( G `
 N )  =  (  seq 0 ( D ,  C ) `
 N )
98oveq1i 6224 . . 3  |-  ( ( G `  N ) D ( C `  ( N  +  1
) ) )  =  ( (  seq 0
( D ,  C
) `  N ) D ( C `  ( N  +  1
) ) )
105, 7, 93eqtr4g 2458 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( G `  N
) D ( C `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
11 nn0p1nn 10770 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
1211adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
1312nnne0d 10515 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
1413necomd 2663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  0  =/=  ( N  +  1
) )
15 ruc.4 . . . . . . 7  |-  C  =  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)
1615equncomi 3577 . . . . . 6  |-  C  =  ( F  u.  { <. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. } )
1716fveq1i 5788 . . . . 5  |-  ( C `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( F  u.  {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. } ) `  ( N  +  1 ) )
18 fvunsn 6019 . . . . 5  |-  ( 0  =/=  ( N  + 
1 )  ->  (
( F  u.  { <. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. } ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( F `  ( N  +  1 ) ) )
1917, 18syl5eq 2445 . . . 4  |-  ( 0  =/=  ( N  + 
1 )  ->  ( C `  ( N  +  1 ) )  =  ( F `  ( N  +  1
) ) )
2014, 19syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( C `  ( N  +  1 ) )  =  ( F `  ( N  +  1 ) ) )
2120oveq2d 6230 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  N ) D ( C `  ( N  +  1
) ) )  =  ( ( G `  N ) D ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
2210, 21eqtrd 2433 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( G `  N
) D ( F `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2587   [_csb 3361    u. cun 3400   ifcif 3870   {csn 3957   <.cop 3963   class class class wbr 4380    X. cxp 4924   -->wf 5505   ` cfv 5509  (class class class)co 6214    |-> cmpt2 6216   1stc1st 6715   2ndc2nd 6716   RRcr 9420   0cc0 9421   1c1 9422    + caddc 9424    < clt 9557    / cdiv 10141   NNcn 10470   2c2 10520   NN0cn0 10730   ZZ>=cuz 11019    seqcseq 12029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-nn 10471  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-seq 12030
This theorem is referenced by:  ruclem8  13991  ruclem9  13992  ruclem12  13995
  Copyright terms: Public domain W3C validator