Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem6 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ruclem6 14364
 Description: Lemma for ruc 14372. Domain and range of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1
ruc.2
ruc.4
ruc.5
Assertion
Ref Expression
ruclem6
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ruclem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ruc.5 . . . . . . 7
21fveq1i 5880 . . . . . 6
3 0z 10972 . . . . . . 7
4 seq1 12264 . . . . . . 7
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6
62, 5eqtri 2493 . . . . 5
7 ruc.1 . . . . . 6
8 ruc.2 . . . . . 6
9 ruc.4 . . . . . 6
107, 8, 9, 1ruclem4 14363 . . . . 5
116, 10syl5eqr 2519 . . . 4
12 0re 9661 . . . . 5
13 1re 9660 . . . . 5
14 opelxpi 4871 . . . . 5
1512, 13, 14mp2an 686 . . . 4
1611, 15syl6eqel 2557 . . 3
17 1st2nd2 6849 . . . . . 6
1817ad2antrl 742 . . . . 5
1918oveq1d 6323 . . . 4
207adantr 472 . . . . . 6
218adantr 472 . . . . . 6
22 xp1st 6842 . . . . . . 7
2322ad2antrl 742 . . . . . 6
24 xp2nd 6843 . . . . . . 7
2524ad2antrl 742 . . . . . 6
26 simprr 774 . . . . . 6
27 eqid 2471 . . . . . 6
28 eqid 2471 . . . . . 6
2920, 21, 23, 25, 26, 27, 28ruclem1 14360 . . . . 5
3029simp1d 1042 . . . 4
3119, 30eqeltrd 2549 . . 3
32 nn0uz 11217 . . 3
33 0zd 10973 . . 3
34 0p1e1 10743 . . . . . . 7
3534fveq2i 5882 . . . . . 6
36 nnuz 11218 . . . . . 6
3735, 36eqtr4i 2496 . . . . 5
3837eleq2i 2541 . . . 4
399equncomi 3571 . . . . . . . 8
4039fveq1i 5880 . . . . . . 7
41 nnne0 10664 . . . . . . . . 9
4241necomd 2698 . . . . . . . 8
43 fvunsn 6112 . . . . . . . 8
4442, 43syl 17 . . . . . . 7
4540, 44syl5eq 2517 . . . . . 6
4645adantl 473 . . . . 5
477ffvelrnda 6037 . . . . 5
4846, 47eqeltrd 2549 . . . 4
4938, 48sylan2b 483 . . 3
5016, 31, 32, 33, 49seqf2 12270 . 2
511feq1i 5730 . 2
5250, 51sylibr 217 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  csb 3349   cun 3388  cif 3872  csn 3959  cop 3965   class class class wbr 4395   cxp 4837  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  c1st 6810  c2nd 6811  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   clt 9693   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182   cseq 12251 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-seq 12252 This theorem is referenced by:  ruclem8  14366  ruclem9  14367  ruclem10  14368  ruclem11  14369  ruclem12  14370
 Copyright terms: Public domain W3C validator