MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem4 Structured version   Unicode version

Theorem ruclem4 13627
Description: Lemma for ruc 13636. Initial value of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
ruc.2  |-  ( ph  ->  D  =  ( x  e.  ( RR  X.  RR ) ,  y  e.  RR  |->  [_ ( ( ( 1st `  x )  +  ( 2nd `  x
) )  /  2
)  /  m ]_ if ( m  <  y ,  <. ( 1st `  x
) ,  m >. , 
<. ( ( m  +  ( 2nd `  x ) )  /  2 ) ,  ( 2nd `  x
) >. ) ) )
ruc.4  |-  C  =  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)
ruc.5  |-  G  =  seq 0 ( D ,  C )
Assertion
Ref Expression
ruclem4  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
Distinct variable groups:    x, m, y, F    m, G, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, m)    C( x, y, m)    D( x, y, m)

Proof of Theorem ruclem4
StepHypRef Expression
1 ruc.5 . . 3  |-  G  =  seq 0 ( D ,  C )
21fveq1i 5793 . 2  |-  ( G `
 0 )  =  (  seq 0 ( D ,  C ) `
 0 )
3 0z 10761 . . 3  |-  0  e.  ZZ
4 ruc.4 . . . . . 6  |-  C  =  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)
5 dfn2 10696 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
65reseq2i 5208 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  NN )  =  ( F  |`  ( NN0  \  { 0 } ) )
7 ruc.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
8 ffn 5660 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> RR  ->  F  Fn  NN )
9 fnresdm 5621 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  NN  ->  ( F  |`  NN )  =  F )
107, 8, 93syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  NN )  =  F )
116, 10syl5reqr 2507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )
1211uneq2d 3611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) )
134, 12syl5eq 2504 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) )
1413fveq1d 5794 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C `  0
)  =  ( ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) `  0 ) )
15 c0ex 9484 . . . . 5  |-  0  e.  _V
16 opex 4657 . . . . 5  |-  <. 0 ,  1 >.  e.  _V
17 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )
1815, 16, 17fvsnun1 6015 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) `  0 )  =  <. 0 ,  1
>.
1914, 18syl6eq 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
203, 19seq1i 11930 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 0 ( D ,  C ) `
 0 )  = 
<. 0 ,  1
>. )
212, 20syl5eq 2504 1  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370   [_csb 3389    \ cdif 3426    u. cun 3427   ifcif 3892   {csn 3978   <.cop 3984   class class class wbr 4393    X. cxp 4939    |` cres 4943    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    |-> cmpt2 6195   1stc1st 6678   2ndc2nd 6679   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    < clt 9522    / cdiv 10097   NNcn 10426   2c2 10475   NN0cn0 10683    seqcseq 11916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-seq 11917
This theorem is referenced by:  ruclem6  13628  ruclem8  13630  ruclem11  13633
  Copyright terms: Public domain W3C validator