MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem4 Structured version   Unicode version

Theorem ruclem4 14051
Description: Lemma for ruc 14060. Initial value of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
ruc.2  |-  ( ph  ->  D  =  ( x  e.  ( RR  X.  RR ) ,  y  e.  RR  |->  [_ ( ( ( 1st `  x )  +  ( 2nd `  x
) )  /  2
)  /  m ]_ if ( m  <  y ,  <. ( 1st `  x
) ,  m >. , 
<. ( ( m  +  ( 2nd `  x ) )  /  2 ) ,  ( 2nd `  x
) >. ) ) )
ruc.4  |-  C  =  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)
ruc.5  |-  G  =  seq 0 ( D ,  C )
Assertion
Ref Expression
ruclem4  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
Distinct variable groups:    x, m, y, F    m, G, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, m)    C( x, y, m)    D( x, y, m)

Proof of Theorem ruclem4
StepHypRef Expression
1 ruc.5 . . 3  |-  G  =  seq 0 ( D ,  C )
21fveq1i 5849 . 2  |-  ( G `
 0 )  =  (  seq 0 ( D ,  C ) `
 0 )
3 0z 10871 . . 3  |-  0  e.  ZZ
4 ruc.4 . . . . . 6  |-  C  =  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)
5 dfn2 10804 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
65reseq2i 5259 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  NN )  =  ( F  |`  ( NN0  \  { 0 } ) )
7 ruc.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
8 ffn 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> RR  ->  F  Fn  NN )
9 fnresdm 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  NN  ->  ( F  |`  NN )  =  F )
107, 8, 93syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  NN )  =  F )
116, 10syl5reqr 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )
1211uneq2d 3644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1
>. >. }  u.  F
)  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) )
134, 12syl5eq 2507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) )
1413fveq1d 5850 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C `  0
)  =  ( ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) `  0 ) )
15 c0ex 9579 . . . . 5  |-  0  e.  _V
16 opex 4701 . . . . 5  |-  <. 0 ,  1 >.  e.  _V
17 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )  =  ( {
<. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )
1815, 16, 17fvsnun1 6082 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  <. 0 ,  1 >. >. }  u.  ( F  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) ) `  0 )  =  <. 0 ,  1
>.
1914, 18syl6eq 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
203, 19seq1i 12103 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 0 ( D ,  C ) `
 0 )  = 
<. 0 ,  1
>. )
212, 20syl5eq 2507 1  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  <. 0 ,  1 >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398   [_csb 3420    \ cdif 3458    u. cun 3459   ifcif 3929   {csn 4016   <.cop 4022   class class class wbr 4439    X. cxp 4986    |` cres 4990    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   1stc1st 6771   2ndc2nd 6772   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791    seqcseq 12089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-seq 12090
This theorem is referenced by:  ruclem6  14052  ruclem8  14054  ruclem11  14057
  Copyright terms: Public domain W3C validator