Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem10 Structured version   Unicode version

Theorem ruclem10 13632
 Description: Lemma for ruc 13636. Every first component of the sequence is less than every second component. That is, the sequences form a chain a1 a2 ... b2 b1, where ai are the first components and bi are the second components. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1
ruc.2
ruc.4
ruc.5
ruclem10.6
ruclem10.7
Assertion
Ref Expression
ruclem10
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ruclem10
StepHypRef Expression
1 ruc.1 . . . . 5
2 ruc.2 . . . . 5
3 ruc.4 . . . . 5
4 ruc.5 . . . . 5
51, 2, 3, 4ruclem6 13628 . . . 4
6 ruclem10.6 . . . 4
75, 6ffvelrnd 5946 . . 3
8 xp1st 6709 . . 3
97, 8syl 16 . 2
10 ruclem10.7 . . . . 5
11 ifcl 3932 . . . . 5
1210, 6, 11syl2anc 661 . . . 4
135, 12ffvelrnd 5946 . . 3
14 xp1st 6709 . . 3
1513, 14syl 16 . 2
165, 10ffvelrnd 5946 . . 3
17 xp2nd 6710 . . 3
1816, 17syl 16 . 2
196nn0red 10741 . . . . . 6
2010nn0red 10741 . . . . . 6
21 max1 11261 . . . . . 6
2219, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5
236nn0zd 10849 . . . . . 6
2412nn0zd 10849 . . . . . 6
25 eluz 10978 . . . . . 6
2623, 24, 25syl2anc 661 . . . . 5
2722, 26mpbird 232 . . . 4
281, 2, 3, 4, 6, 27ruclem9 13631 . . 3
2928simpld 459 . 2
30 xp2nd 6710 . . . 4
3113, 30syl 16 . . 3
321, 2, 3, 4ruclem8 13630 . . . 4
3312, 32mpdan 668 . . 3
34 max2 11263 . . . . . . 7
3519, 20, 34syl2anc 661 . . . . . 6
3610nn0zd 10849 . . . . . . 7
37 eluz 10978 . . . . . . 7
3836, 24, 37syl2anc 661 . . . . . 6
3935, 38mpbird 232 . . . . 5
401, 2, 3, 4, 10, 39ruclem9 13631 . . . 4
4140simprd 463 . . 3
4215, 31, 18, 33, 41ltletrd 9635 . 2
439, 15, 18, 29, 42lelttrd 9633 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wceq 1370   wcel 1758  csb 3389   cun 3427  cif 3892  csn 3978  cop 3984   class class class wbr 4393   cxp 4939  wf 5515  cfv 5519  (class class class)co 6193   cmpt2 6195  c1st 6678  c2nd 6679  cr 9385  cc0 9386  c1 9387   caddc 9389   clt 9522   cle 9523   cdiv 10097  cn 10426  c2 10475  cn0 10683  cz 10750  cuz 10965   cseq 11916 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-seq 11917 This theorem is referenced by:  ruclem11  13633  ruclem12  13634
 Copyright terms: Public domain W3C validator