MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ruc 14288
Description: The set of positive integers is strictly dominated by the set of real numbers, i.e. the real numbers are uncountable. The proof consists of lemmas ruclem1 14276 through ruclem13 14287 and this final piece. Our proof is based on the proof of Theorem 5.18 of [Truss] p. 114. See ruclem13 14287 for the function existence version of this theorem. For an informal discussion of this proof, see http://us.metamath.org/mpeuni/mmcomplex.html#uncountable. For an alternate proof see rucALT 14275. This is Metamath 100 proof #22. (Contributed by NM, 13-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
ruc  |-  NN  ~<  RR

Proof of Theorem ruc
StepHypRef Expression
1 reex 9627 . . 3  |-  RR  e.  _V
2 nnssre 10610 . . 3  |-  NN  C_  RR
3 ssdomg 7612 . . 3  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( NN  C_  RR  ->  NN  ~<_  RR ) )
41, 2, 3mp2 9 . 2  |-  NN  ~<_  RR
5 ruclem13 14287 . . . . 5  |-  -.  f : NN -onto-> RR
6 f1ofo 5819 . . . . 5  |-  ( f : NN -1-1-onto-> RR  ->  f : NN -onto-> RR )
75, 6mto 180 . . . 4  |-  -.  f : NN -1-1-onto-> RR
87nex 1677 . . 3  |-  -.  E. f  f : NN -1-1-onto-> RR
9 bren 7575 . . 3  |-  ( NN 
~~  RR  <->  E. f  f : NN -1-1-onto-> RR )
108, 9mtbir 301 . 2  |-  -.  NN  ~~  RR
11 brsdom 7589 . 2  |-  ( NN 
~<  RR  <->  ( NN  ~<_  RR  /\  -.  NN  ~~  RR ) )
124, 10, 11mpbir2an 930 1  |-  NN  ~<  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   E.wex 1662    e. wcel 1886   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   class class class wbr 4401   -onto->wfo 5579   -1-1-onto->wf1o 5580    ~~ cen 7563    ~<_ cdom 7564    ~< csdm 7565   RRcr 9535   NNcn 10606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-seq 12211
This theorem is referenced by:  resdomq  14289  aleph1re  14290  aleph1irr  14291
  Copyright terms: Public domain W3C validator