MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruc Structured version   Unicode version

Theorem ruc 14187
Description: The set of positive integers is strictly dominated by the set of real numbers, i.e. the real numbers are uncountable. The proof consists of lemmas ruclem1 14175 through ruclem13 14186 and this final piece. Our proof is based on the proof of Theorem 5.18 of [Truss] p. 114. See ruclem13 14186 for the function existence version of this theorem. For an informal discussion of this proof, see http://us.metamath.org/mpeuni/mmcomplex.html#uncountable. For an alternate proof see rucALT 14174. This is Metamath 100 proof #22. (Contributed by NM, 13-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
ruc  |-  NN  ~<  RR

Proof of Theorem ruc
StepHypRef Expression
1 reex 9615 . . 3  |-  RR  e.  _V
2 nnssre 10582 . . 3  |-  NN  C_  RR
3 ssdomg 7601 . . 3  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( NN  C_  RR  ->  NN  ~<_  RR ) )
41, 2, 3mp2 9 . 2  |-  NN  ~<_  RR
5 ruclem13 14186 . . . . 5  |-  -.  f : NN -onto-> RR
6 f1ofo 5808 . . . . 5  |-  ( f : NN -1-1-onto-> RR  ->  f : NN -onto-> RR )
75, 6mto 178 . . . 4  |-  -.  f : NN -1-1-onto-> RR
87nex 1650 . . 3  |-  -.  E. f  f : NN -1-1-onto-> RR
9 bren 7565 . . 3  |-  ( NN 
~~  RR  <->  E. f  f : NN -1-1-onto-> RR )
108, 9mtbir 299 . 2  |-  -.  NN  ~~  RR
11 brsdom 7578 . 2  |-  ( NN 
~<  RR  <->  ( NN  ~<_  RR  /\  -.  NN  ~~  RR ) )
124, 10, 11mpbir2an 923 1  |-  NN  ~<  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   E.wex 1635    e. wcel 1844   _Vcvv 3061    C_ wss 3416   class class class wbr 4397   -onto->wfo 5569   -1-1-onto->wf1o 5570    ~~ cen 7553    ~<_ cdom 7554    ~< csdm 7555   RRcr 9523   NNcn 10578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-seq 12154
This theorem is referenced by:  resdomq  14188  aleph1re  14189  aleph1irr  14190
  Copyright terms: Public domain W3C validator