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Theorem rtrclreclem4 13201
Description: The reflexive, transitive closure of  R is the smallest reflexive, transitive relation which contains  R and the identity. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.rel  |-  ( ph  ->  Rel  R )
rtrclreclem.rex  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem4  |-  ( ph  ->  A. s ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t*rec `  R )  C_  s
) )
Distinct variable group:    ph, s
Allowed substitution hint:    R( s)

Proof of Theorem rtrclreclem4
Dummy variables  n  i  m  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r  n ) )  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r  n ) ) )
2 oveq1 6315 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
r ^r  n )  =  ( R ^r  n ) )
32iuneq2d 4296 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r  n )  = 
U_ n  e.  NN0  ( R ^r 
n ) )
43adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  =  R )  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r  n )  = 
U_ n  e.  NN0  ( R ^r 
n ) )
5 rtrclreclem.rex . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
6 nn0ex 10899 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
7 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( R ^r  n )  e.  _V
86, 7iunex 6792 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  NN0  ( R ^r  n )  e. 
_V
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r 
n )  e.  _V )
101, 4, 5, 9fvmptd 5969 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r 
n ) ) `  R )  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^r  n ) )
11 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
1211anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  <-> 
( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) ) )
13 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^r  i )  =  ( R ^r  0 ) )
1413sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  0  ->  (
( R ^r 
i )  C_  s  <->  ( R ^r  0 )  C_  s )
)
1512, 14imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  i )  C_  s )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r  0 ) 
C_  s ) ) )
16 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  m  ->  (
i  e.  NN0  <->  m  e.  NN0 ) )
1716anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  m  ->  (
( i  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  <-> 
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) ) )
18 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  m  ->  ( R ^r  i )  =  ( R ^r  m ) )
1918sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  m  ->  (
( R ^r 
i )  C_  s  <->  ( R ^r  m )  C_  s )
)
2017, 19imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  i )  C_  s )  <->  ( (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r  m ) 
C_  s ) ) )
21 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 ) )
2221anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  <-> 
( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) ) )
23 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( R ^r  i )  =  ( R ^r  ( m  + 
1 ) ) )
2423sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( R ^r 
i )  C_  s  <->  ( R ^r  ( m  +  1 ) )  C_  s )
)
2522, 24imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  i )  C_  s )  <->  ( (
( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r  ( m  +  1 ) ) 
C_  s ) ) )
26 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
2726anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  <-> 
( n  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) ) )
28 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^r  i )  =  ( R ^r  n ) )
2928sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  n  ->  (
( R ^r 
i )  C_  s  <->  ( R ^r  n )  C_  s )
)
3027, 29imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  i )  C_  s )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r  n ) 
C_  s ) ) )
31 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ph )
32 rtrclreclem.rel . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Rel  R )
3332, 5relexp0d 13164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( R ^r 
0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
3531, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  Rel  R )
36 relfld 5368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Rel 
R  ->  U. U. R  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  U. U. R  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
38 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s )
3938adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s )
40 reseq2 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  (  _I  |` 
U. U. R )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
4140sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( (  _I  |`  U. U. R
)  C_  s  <->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s ) )
4239, 41syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( (
0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  C_  s )
)
4337, 42mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  C_  s )
4434, 43eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r  0 ) 
C_  s )
45 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
4746adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
4847adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
49 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  ->  ph )
50 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( s  o.  s
)  C_  s )
51 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  R  C_  s )
5251adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  ->  R  C_  s )
53 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s )
5453adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s )
5554adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
)
5650, 52, 55jca32 544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) )
5748, 49, 56jca32 544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) )
58 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s ) )
5958adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r  m ) 
C_  s ) )
6059adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  (
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s ) )
6160adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s ) )
6257, 61mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( R ^r 
m )  C_  s
)
6348adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R ^r 
m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
64 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( R ^r 
m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ph )
6564, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( R ^r 
m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  Rel  R )
6664, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( R ^r 
m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  R  e.  _V )
6765, 66relexpsucrd 13170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R ^r 
m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( m  e. 
NN0  ->  ( R ^r  ( m  + 
1 ) )  =  ( ( R ^r  m )  o.  R ) ) )
6863, 67mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( R ^r 
m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( R ^r  ( m  + 
1 ) )  =  ( ( R ^r  m )  o.  R ) )
6952adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( R ^r 
m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  R  C_  s
)
70 coss2 4996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R 
C_  s  ->  (
( R ^r 
m )  o.  R
)  C_  ( ( R ^r  m )  o.  s ) )
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R ^r 
m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r  m )  o.  R )  C_  ( ( R ^r  m )  o.  s ) )
72 coss1 4995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R ^r  m )  C_  s  ->  ( ( R ^r 
m )  o.  s
)  C_  ( s  o.  s ) )
7372, 50sylan9ss 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R ^r 
m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r  m )  o.  s )  C_  s )
7471, 73sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( R ^r 
m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r  m )  o.  R )  C_  s )
7568, 74eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( R ^r 
m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( R ^r  ( m  + 
1 ) )  C_  s )
7662, 75mpancom 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( R ^r 
( m  +  1 ) )  C_  s
)
7776expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  (
( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r  ( m  +  1 ) )  C_  s )
)
7877expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r 
( m  +  1 ) )  C_  s
) ) )
7978expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( s  o.  s )  C_  s  ->  ( ph  ->  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r  ( m  +  1 ) )  C_  s )
) ) )
8079anassrs 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
)  /\  ( (
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) )  -> 
( ( s  o.  s )  C_  s  ->  ( ph  ->  (
( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r  ( m  +  1 ) )  C_  s )
) ) )
8180impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
)  /\  ( (
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r  ( m  +  1 ) )  C_  s )
) )
8281anassrs 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) )  /\  (
( ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) )  -> 
( ph  ->  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r  ( m  +  1 ) ) 
C_  s ) ) )
8382impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) )  /\  (
( ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  e. 
NN0  ->  ( R ^r  ( m  + 
1 ) )  C_  s ) )
8483anassrs 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) )  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) )  -> 
( ( m  + 
1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r 
( m  +  1 ) )  C_  s
) )
8584impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) )  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^r  ( m  + 
1 ) )  C_  s )
8685anassrs 660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r  m ) 
C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  ( R ^r  ( m  + 
1 ) )  C_  s )
8786expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  ( m  + 
1 ) )  C_  s ) )
8887expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  m )  C_  s )  ->  (
( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r  ( m  + 
1 ) )  C_  s ) ) )
8915, 20, 25, 30, 44, 88nn0ind 11053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r  n ) 
C_  s ) )
9089anabsi5 833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r  n ) 
C_  s )
9190expcom 442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) )  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( R ^r  n ) 
C_  s ) )
9291ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  ( R ^r  n )  C_  s )
93 iunss 4310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ n  e.  NN0  ( R ^r  n ) 
C_  s  <->  A. n  e.  NN0  ( R ^r  n )  C_  s )
9492, 93sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) )  ->  U_ n  e. 
NN0  ( R ^r  n )  C_  s )
9594expcom 442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) )  ->  ( ph  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r 
n )  C_  s
) )
9695expcom 442 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
)  ->  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  ->  ( ph  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r 
n )  C_  s
) ) )
9796expcom 442 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  ->  ( R  C_  s  ->  ( ( s  o.  s
)  C_  s  ->  (
ph  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r 
n )  C_  s
) ) ) )
98973imp1 1246 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  /\  ph )  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r  n )  C_  s )
9998expcom 442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r 
n )  C_  s
) )
100 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r  n ) ) `  R
)  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^r  n )  -> 
( ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r  n ) ) `
 R )  C_  s 
<-> 
U_ n  e.  NN0  ( R ^r 
n )  C_  s
) )
101100imbi2d 323 . . . . 5  |-  ( ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r  n ) ) `  R
)  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^r  n )  -> 
( ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  (
s  o.  s ) 
C_  s )  -> 
( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r 
n ) ) `  R )  C_  s
)  <->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  (
s  o.  s ) 
C_  s )  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r 
n )  C_  s
) ) )
10299, 101syl5ibr 229 . . . 4  |-  ( ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r  n ) ) `  R
)  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^r  n )  -> 
( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r 
n ) ) `  R )  C_  s
) ) )
10310, 102mpcom 36 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r 
n ) ) `  R )  C_  s
) )
104 df-rtrclrec 13196 . . . 4  |-  t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r 
n ) )
105 fveq1 5878 . . . . . . 7  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r  n ) )  ->  ( t*rec
`  R )  =  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r 
n ) ) `  R ) )
106105sseq1d 3445 . . . . . 6  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r  n ) )  ->  ( ( t*rec `  R )  C_  s  <->  ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r  n ) ) `
 R )  C_  s ) )
107106imbi2d 323 . . . . 5  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r  n ) )  ->  ( ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t*rec `  R )  C_  s
)  <->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  (
s  o.  s ) 
C_  s )  -> 
( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r 
n ) ) `  R )  C_  s
) ) )
108107imbi2d 323 . . . 4  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r  n ) )  ->  ( ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t*rec `  R )  C_  s
) )  <->  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r 
n ) ) `  R )  C_  s
) ) ) )
109104, 108ax-mp 5 . . 3  |-  ( (
ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  (
s  o.  s ) 
C_  s )  -> 
( t*rec `  R )  C_  s
) )  <->  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r 
n ) ) `  R )  C_  s
) ) )
110103, 109mpbir 214 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t*rec `  R )  C_  s
) )
111110alrimiv 1781 1  |-  ( ph  ->  A. s ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t*rec `  R )  C_  s
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   U.cuni 4190   U_ciun 4269    |-> cmpt 4454    _I cid 4749   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841    o. ccom 4843   Rel wrel 4844   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   NN0cn0 10893   ^r crelexp 13160   t*reccrtrcl 13195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-relexp 13161  df-rtrclrec 13196
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  13202
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