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Theorem rtrclreclem.trans 28820
Description: The reflexive, transitive closure is indeed transitive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
rtrclreclem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem.trans  |-  ( ph  ->  ( ( t*rec
`  R )  o.  ( t*rec `  R ) )  C_  ( t*rec `  R ) )

Proof of Theorem rtrclreclem.trans
Dummy variables  d 
e  g  f  n  m  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-co 5008 . . 3  |-  ( ( t*rec `  R
)  o.  ( t*rec `  R )
)  =  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t*rec `  R
) f  /\  f
( t*rec `  R ) g ) }
2 elopab 4755 . . . . 5  |-  ( d  e.  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t*rec `  R
) f  /\  f
( t*rec `  R ) g ) }  <->  E. e E. g
( d  =  <. e ,  g >.  /\  E. f ( e ( t*rec `  R
) f  /\  f
( t*rec `  R ) g ) ) )
3 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( d  = 
<. e ,  g >.  <->  <.
e ,  g >.  =  <. e ,  g
>. ) )
43anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( ( d  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t*rec `  R )
f  /\  f (
t*rec `  R
) g )  /\  ph ) )  <->  ( <. e ,  g >.  =  <. e ,  g >.  /\  ( E. f ( e ( t*rec `  R
) f  /\  f
( t*rec `  R ) g )  /\  ph ) ) ) )
5 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. e ,  g >.  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t*rec `  R )
f  /\  f (
t*rec `  R
) g )  /\  ph ) )  ->  ph )
6 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. e ,  g >.  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t*rec `  R )
f  /\  f (
t*rec `  R
) g )  /\  ph ) )  ->  E. f
( e ( t*rec `  R )
f  /\  f (
t*rec `  R
) g ) )
7 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  e
( t*rec `  R ) f )
8 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  ph )
9 rtrclreclem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Rel  R )
10 rtrclreclem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
119, 10dfrtrclrec2 28817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( e ( t*rec `  R )
f  <->  E. n  e.  NN0  e ( R ^r n ) f ) )
128, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  (
e ( t*rec
`  R ) f  <->  E. n  e.  NN0  e ( R ^r n ) f ) )
137, 12mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  E. n  e.  NN0  e ( R ^r n ) f )
14 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  f (
t*rec `  R
) g )
15 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ph )
169, 10dfrtrclrec2 28817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( f ( t*rec `  R )
g  <->  E. m  e.  NN0  f ( R ^r m ) g ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( f
( t*rec `  R ) g  <->  E. m  e.  NN0  f ( R ^r m ) g ) )
1814, 17mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  E. m  e.  NN0  f ( R ^r m ) g )
19 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
ph  /\  ( e
( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( f ( t*rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
22 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) )  ->  m  e.  NN0 )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e. 
NN0  /\  ( f
( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
2423adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
ph  /\  ( e
( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( f ( t*rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
2721, 26nn0addcld 10857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( n  +  m
)  e.  NN0 )
2821adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
2928nn0cnd 10855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
3026adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
3130nn0cnd 10855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
3229, 31addcomd 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( n  +  m )  =  ( m  +  n ) )
33 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( n  +  m
)  e.  NN0  <->  ( m  +  n )  e.  NN0 ) )
3433anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( ( n  +  m )  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( m  +  n )  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) ) ) )
3526adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
3621adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
37 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  ph )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ph )
3938, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  Rel  R )
4038, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  R  e.  _V )
4139, 40relexpadd 28812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( R ^r m )  o.  ( R ^r n ) )  =  ( R ^r ( m  +  n ) ) ) )
4235, 36, 41mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r m )  o.  ( R ^r n ) )  =  ( R ^r ( m  +  n ) ) )
43 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  ( R ^r ( n  +  m ) )  =  ( R ^r ( m  +  n ) ) )
4443eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( ( R ^r m )  o.  ( R ^r n ) )  =  ( R ^r ( n  +  m
) )  <->  ( ( R ^r m )  o.  ( R ^r n ) )  =  ( R ^r ( m  +  n ) ) ) )
4542, 44syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( ( m  +  n )  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r m )  o.  ( R ^r n ) )  =  ( R ^r ( n  +  m ) ) ) )
4634, 45sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( ( n  +  m )  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r m )  o.  ( R ^r n ) )  =  ( R ^r ( n  +  m ) ) ) )
4732, 46mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r m )  o.  ( R ^r n ) )  =  ( R ^r ( n  +  m ) ) )
4847eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( R ^r ( n  +  m ) )  =  ( ( R ^r m )  o.  ( R ^r n ) ) )
49 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( f ( t*rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  e ( R ^r n ) f )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
e ( R ^r n ) f )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  e ( R ^r n ) f )
52 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e. 
NN0  /\  ( f
( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  f ( R ^r m ) g )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( (
ph  /\  ( e
( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  f ( R ^r m ) g )
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( f ( t*rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  f ( R ^r m ) g )
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
f ( R ^r m ) g )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  f ( R ^r m ) g )
57 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  f  e. 
_V
58 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( h  =  f  ->  (
e ( R ^r n ) h  <-> 
e ( R ^r n ) f ) )
59 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( h  =  f  ->  (
h ( R ^r m ) g  <-> 
f ( R ^r m ) g ) )
6058, 59anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( h  =  f  ->  (
( e ( R ^r n ) h  /\  h ( R ^r m ) g )  <->  ( e
( R ^r n ) f  /\  f ( R ^r m ) g ) ) )
6157, 60spcev 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( e ( R ^r n ) f  /\  f ( R ^r m ) g )  ->  E. h
( e ( R ^r n ) h  /\  h ( R ^r m ) g ) )
6251, 56, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  E. h ( e ( R ^r n ) h  /\  h ( R ^r m ) g ) )
63 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  e  e. 
_V
64 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  g  e. 
_V
6563, 64brco 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( e ( ( R ^r m )  o.  ( R ^r n ) ) g  <->  E. h ( e ( R ^r n ) h  /\  h
( R ^r m ) g ) )
6662, 65sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  e ( ( R ^r m )  o.  ( R ^r n ) ) g )
67 breq 4449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( R ^r ( n  +  m ) )  =  ( ( R ^r m )  o.  ( R ^r n ) )  ->  ( e
( R ^r ( n  +  m
) ) g  <->  e (
( R ^r m )  o.  ( R ^r n ) ) g ) )
6866, 67syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( R ^r ( n  +  m ) )  =  ( ( R ^r m )  o.  ( R ^r n ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  e ( R ^r ( n  +  m ) ) g ) )
6948, 68mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  e ( R ^r ( n  +  m ) ) g )
70 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( i  =  ( n  +  m )  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r ( n  +  m ) ) )
7170breqd 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( i  =  ( n  +  m )  ->  (
e ( R ^r i ) g  <-> 
e ( R ^r ( n  +  m ) ) g ) )
7271rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  e ( R ^r ( n  +  m ) ) g )  ->  E. i  e.  NN0  e ( R ^r i ) g )
7369, 72syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  E. i  e.  NN0  e ( R ^r i ) g )
7427, 73mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  E. i  e.  NN0  e ( R ^r i ) g )
75 df-br 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( e ( t*rec `  R ) g  <->  <. e ,  g >.  e.  (
t*rec `  R
) )
7637, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  Rel  R )
7737, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  R  e.  _V )
7876, 77dfrtrclrec2 28817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( e ( t*rec `  R )
g  <->  E. i  e.  NN0  e ( R ^r i ) g ) )
7975, 78syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( <. e ,  g
>.  e.  ( t*rec
`  R )  <->  E. i  e.  NN0  e ( R ^r i ) g ) )
8074, 79mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t*rec `  R ) )
8180expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( f ( t*rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( e
( t*rec `  R ) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t*rec `  R ) ) )
8281expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
ph  /\  ( e
( R ^r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  ( f
( t*rec `  R ) g  -> 
( e ( t*rec `  R )
f  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t*rec `  R
) ) ) )
8382expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( e ( R ^r n ) f  /\  ( n  e. 
NN0  /\  ( f
( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ph  ->  ( f ( t*rec `  R )
g  ->  ( e
( t*rec `  R ) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t*rec `  R ) ) ) ) )
8483anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e. 
NN0 )  /\  (
f ( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  ( ph  ->  ( f ( t*rec `  R
) g  ->  (
e ( t*rec
`  R ) f  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t*rec
`  R ) ) ) ) )
8584impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( (
e ( R ^r n ) f  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( f ( t*rec `  R
) g  ->  (
e ( t*rec
`  R ) f  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t*rec
`  R ) ) ) )
8685anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  (
e ( R ^r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  (
f ( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  (
f ( t*rec
`  R ) g  ->  ( e ( t*rec `  R
) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t*rec `  R
) ) ) )
8786impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( f ( t*rec
`  R ) g  /\  ( ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) )  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( e ( t*rec `  R
) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t*rec `  R
) ) )
8887anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( f ( t*rec `  R )
g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) )  -> 
( e ( t*rec `  R )
f  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t*rec `  R
) ) )
8988impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( ( f ( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) )  /\  ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t*rec `  R
) )
9089anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  /\  (
f ( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t*rec `  R
) )
9190expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f ( R ^r m ) g  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( e ( t*rec `  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R )
g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t*rec `  R
) ) )
9291expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( f ( R ^r m ) g  -> 
( ( e ( t*rec `  R
) f  /\  (
f ( t*rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t*rec `  R
) ) ) )
9392rexlimiv 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( E. m  e.  NN0  f
( R ^r m ) g  -> 
( ( e ( t*rec `  R
) f  /\  (
f ( t*rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t*rec `  R
) ) )
9418, 93mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t*rec `  R
) )
9594expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f ( t*rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( e ( t*rec `  R
) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t*rec `  R
) ) )
9695anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f ( t*rec `  R )
g  /\  ph )  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) )  -> 
( e ( t*rec `  R )
f  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t*rec `  R
) ) )
9796impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( ( f ( t*rec `  R ) g  /\  ph )  /\  ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t*rec `  R
) )
9897anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( e ( t*rec `  R )
f  /\  ( f
( t*rec `  R ) g  /\  ph ) )  /\  (
e ( R ^r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t*rec `  R
) )
9998expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e ( R ^r n ) f  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( e ( t*rec `  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R )
g  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t*rec
`  R ) ) )
10099expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( e ( R ^r n ) f  -> 
( ( e ( t*rec `  R
) f  /\  (
f ( t*rec
`  R ) g  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t*rec
`  R ) ) ) )
101100rexlimiv 2949 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. n  e.  NN0  e
( R ^r n ) f  -> 
( ( e ( t*rec `  R
) f  /\  (
f ( t*rec
`  R ) g  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t*rec
`  R ) ) )
10213, 101mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  ( f ( t*rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t*rec `  R
) )
103102anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( e ( t*rec `  R )
f  /\  f (
t*rec `  R
) g )  /\  ph )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t*rec `  R
) )
104103expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( e ( t*rec `  R
) f  /\  f
( t*rec `  R ) g )  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t*rec
`  R ) ) )
105104exlimdv 1700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. f ( e ( t*rec
`  R ) f  /\  f ( t*rec `  R )
g )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t*rec `  R
) ) )
1065, 6, 105sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. e ,  g >.  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t*rec `  R )
f  /\  f (
t*rec `  R
) g )  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t*rec `  R
) )
107 eleq1 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( d  e.  ( t*rec `  R )  <->  <. e ,  g >.  e.  (
t*rec `  R
) ) )
108106, 107syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( ( <.
e ,  g >.  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t*rec `  R )
f  /\  f (
t*rec `  R
) g )  /\  ph ) )  ->  d  e.  ( t*rec `  R ) ) )
1094, 108sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( ( d  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t*rec `  R )
f  /\  f (
t*rec `  R
) g )  /\  ph ) )  ->  d  e.  ( t*rec `  R ) ) )
110109anabsi5 815 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  =  <. e ,  g >.  /\  ( E. f ( e ( t*rec `  R
) f  /\  f
( t*rec `  R ) g )  /\  ph ) )  ->  d  e.  ( t*rec `  R
) )
111110anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  =  <. e ,  g >.  /\  E. f ( e ( t*rec `  R
) f  /\  f
( t*rec `  R ) g ) )  /\  ph )  ->  d  e.  ( t*rec `  R )
)
112111expcom 435 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( d  = 
<. e ,  g >.  /\  E. f ( e ( t*rec `  R ) f  /\  f ( t*rec
`  R ) g ) )  ->  d  e.  ( t*rec `  R ) ) )
113112exlimdvv 1701 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. e E. g ( d  = 
<. e ,  g >.  /\  E. f ( e ( t*rec `  R ) f  /\  f ( t*rec
`  R ) g ) )  ->  d  e.  ( t*rec `  R ) ) )
1142, 113syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( d  e.  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t*rec `  R ) f  /\  f ( t*rec
`  R ) g ) }  ->  d  e.  ( t*rec `  R ) ) )
115 eleq2 2540 . . . . 5  |-  ( ( ( t*rec `  R )  o.  (
t*rec `  R
) )  =  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t*rec `  R ) f  /\  f ( t*rec
`  R ) g ) }  ->  (
d  e.  ( ( t*rec `  R
)  o.  ( t*rec `  R )
)  <->  d  e.  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t*rec `  R ) f  /\  f ( t*rec
`  R ) g ) } ) )
116115imbi1d 317 . . . 4  |-  ( ( ( t*rec `  R )  o.  (
t*rec `  R
) )  =  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t*rec `  R ) f  /\  f ( t*rec
`  R ) g ) }  ->  (
( d  e.  ( ( t*rec `  R )  o.  (
t*rec `  R
) )  ->  d  e.  ( t*rec `  R ) )  <->  ( d  e.  { <. e ,  g
>.  |  E. f
( e ( t*rec `  R )
f  /\  f (
t*rec `  R
) g ) }  ->  d  e.  ( t*rec `  R
) ) ) )
117114, 116syl5ibr 221 . . 3  |-  ( ( ( t*rec `  R )  o.  (
t*rec `  R
) )  =  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t*rec `  R ) f  /\  f ( t*rec
`  R ) g ) }  ->  ( ph  ->  ( d  e.  ( ( t*rec
`  R )  o.  ( t*rec `  R ) )  -> 
d  e.  ( t*rec `  R )
) ) )
1181, 117ax-mp 5 . 2  |-  ( ph  ->  ( d  e.  ( ( t*rec `  R )  o.  (
t*rec `  R
) )  ->  d  e.  ( t*rec `  R ) ) )
119118ssrdv 3510 1  |-  ( ph  ->  ( ( t*rec
`  R )  o.  ( t*rec `  R ) )  C_  ( t*rec `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   <.cop 4033   class class class wbr 4447   {copab 4504    o. ccom 5003   Rel wrel 5004   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    + caddc 9496   NN0cn0 10796   ^rcrelexp 28801   t*reccrtrcl 28815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-seq 12077  df-relexp 28802  df-rtrclrec 28816
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  28822
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