Users' Mathboxes Mathbox for Drahflow < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rtrclreclem.subset Structured version   Unicode version

Theorem rtrclreclem.subset 27369
Description: The reflexive, transitive closure is indeed a closure. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
rtrclreclem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem.subset  |-  ( ph  ->  R  C_  ( t*rec `  R )
)

Proof of Theorem rtrclreclem.subset
Dummy variables  r  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 10616 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
2 ssid 3396 . . . . . . 7  |-  R  C_  R
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  C_  R )
4 rtrclreclem.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
5 rtrclreclem.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
64, 5relexp1 27355 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^r 1 )  =  R )
73, 6sseqtr4d 3414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  C_  ( R ^r 1 ) )
8 oveq2 6120 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( R ^r n )  =  ( R ^r 1 ) )
98sseq2d 3405 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( R  C_  ( R ^r n )  <->  R  C_  ( R ^r 1
) ) )
109rspcev 3094 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  R  C_  ( R ^r 1 ) )  ->  E. n  e.  NN0  R 
C_  ( R ^r n ) )
111, 7, 10sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  R 
C_  ( R ^r n ) )
12 ssiun 4233 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN0  R  C_  ( R ^r n )  ->  R  C_ 
U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  C_  U_ n  e. 
NN0  ( R ^r n ) )
14 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r n ) )  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) )
15 oveq1 6119 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
r ^r n )  =  ( R ^r n ) )
1615iuneq2d 4218 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n )  = 
U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
1716adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  =  R )  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n )  = 
U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
18 nn0ex 10606 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
19 ovex 6137 . . . . . 6  |-  ( R ^r n )  e.  _V
2018, 19iunex 6578 . . . . 5  |-  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  e. 
_V
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  e.  _V )
2214, 17, 5, 21fvmptd 5800 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R )  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
2313, 22sseqtr4d 3414 . 2  |-  ( ph  ->  R  C_  ( (
r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R ) )
24 df-rtrclrec 27366 . . 3  |-  t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )
25 fveq1 5711 . . . . 5  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  ->  ( t*rec
`  R )  =  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R ) )
2625sseq2d 3405 . . . 4  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  ->  ( R  C_  ( t*rec `  R )  <->  R  C_  (
( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r n ) ) `  R
) ) )
2726imbi2d 316 . . 3  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  ->  ( ( ph  ->  R  C_  ( t*rec `  R )
)  <->  ( ph  ->  R 
C_  ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `
 R ) ) ) )
2824, 27ax-mp 5 . 2  |-  ( (
ph  ->  R  C_  (
t*rec `  R
) )  <->  ( ph  ->  R  C_  ( (
r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R ) ) )
2923, 28mpbir 209 1  |-  ( ph  ->  R  C_  ( t*rec `  R )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2737   _Vcvv 2993    C_ wss 3349   U_ciun 4192    e. cmpt 4371   Rel wrel 4866   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   1c1 9304   NN0cn0 10600   ^rcrelexp 27351   t*reccrtrcl 27365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-seq 11828  df-relexp 27352  df-rtrclrec 27366
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  27372
  Copyright terms: Public domain W3C validator