Users' Mathboxes Mathbox for Drahflow < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rtrclreclem.refl Structured version   Unicode version

Theorem rtrclreclem.refl 27351
Description: The reflexive, transitive closure is indeed reflexive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
rtrclreclem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem.refl  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
t*rec `  R
) )

Proof of Theorem rtrclreclem.refl
Dummy variables  r  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10599 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
2 ssid 3380 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  (  _I  |`  U. U. R )
3 rtrclreclem.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
4 rtrclreclem.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
53, 4relexp0 27336 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
62, 5syl5sseqr 3410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^r 0
) )
7 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  ( R ^r n )  =  ( R ^r 0 ) )
87sseq2d 3389 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
(  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^r n )  <-> 
(  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^r 0
) ) )
98rspcev 3078 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^r 0
) )  ->  E. n  e.  NN0  (  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^r n ) )
101, 6, 9sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  (  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^r n ) )
11 ssiun 4217 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN0  (  _I  |`  U. U. R
)  C_  ( R ^r n )  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
13 nn0ex 10590 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
14 ovex 6121 . . . . 5  |-  ( R ^r n )  e.  _V
1513, 14iunex 6562 . . . 4  |-  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  e. 
_V
16 oveq1 6103 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
r ^r n )  =  ( R ^r n ) )
1716iuneq2d 4202 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n )  = 
U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
18 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  =  ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )
1917, 18fvmptg 5777 . . . 4  |-  ( ( R  e.  _V  /\  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  e.  _V )  -> 
( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R )  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
204, 15, 19sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R )  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
2112, 20sseqtr4d 3398 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r n ) ) `  R
) )
22 df-rtrclrec 27349 . . 3  |-  t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )
23 fveq1 5695 . . . . 5  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  ->  ( t*rec
`  R )  =  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R ) )
2423sseq2d 3389 . . . 4  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  ->  ( (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  ( t*rec
`  R )  <->  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R ) ) )
2524imbi2d 316 . . 3  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  ->  ( ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
t*rec `  R
) )  <->  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r n ) ) `  R
) ) ) )
2622, 25ax-mp 5 . 2  |-  ( (
ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
t*rec `  R
) )  <->  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r n ) ) `  R
) ) )
2721, 26mpbir 209 1  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
t*rec `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   U.cuni 4096   U_ciun 4176    e. cmpt 4355    _I cid 4636    |` cres 4847   Rel wrel 4850   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   0cc0 9287   NN0cn0 10584   ^rcrelexp 27334   t*reccrtrcl 27348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-seq 11812  df-relexp 27335  df-rtrclrec 27349
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  27355
  Copyright terms: Public domain W3C validator