Users' Mathboxes Mathbox for Drahflow < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rtrclreclem.refl Structured version   Unicode version

Theorem rtrclreclem.refl 28570
Description: The reflexive, transitive closure is indeed reflexive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
rtrclreclem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem.refl  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
t*rec `  R
) )

Proof of Theorem rtrclreclem.refl
Dummy variables  r  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10810 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
2 ssid 3523 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  (  _I  |`  U. U. R )
3 rtrclreclem.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
4 rtrclreclem.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
53, 4relexp0 28555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
62, 5syl5sseqr 3553 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^r 0
) )
7 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  ( R ^r n )  =  ( R ^r 0 ) )
87sseq2d 3532 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
(  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^r n )  <-> 
(  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^r 0
) ) )
98rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^r 0
) )  ->  E. n  e.  NN0  (  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^r n ) )
101, 6, 9sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  (  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^r n ) )
11 ssiun 4367 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN0  (  _I  |`  U. U. R
)  C_  ( R ^r n )  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
13 nn0ex 10801 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
14 ovex 6309 . . . . 5  |-  ( R ^r n )  e.  _V
1513, 14iunex 6764 . . . 4  |-  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  e. 
_V
16 oveq1 6291 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
r ^r n )  =  ( R ^r n ) )
1716iuneq2d 4352 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n )  = 
U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
18 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  =  ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )
1917, 18fvmptg 5948 . . . 4  |-  ( ( R  e.  _V  /\  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  e.  _V )  -> 
( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R )  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
204, 15, 19sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R )  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
2112, 20sseqtr4d 3541 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r n ) ) `  R
) )
22 df-rtrclrec 28568 . . 3  |-  t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )
23 fveq1 5865 . . . . 5  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  ->  ( t*rec
`  R )  =  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R ) )
2423sseq2d 3532 . . . 4  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  ->  ( (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  ( t*rec
`  R )  <->  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R ) ) )
2524imbi2d 316 . . 3  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  ->  ( ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
t*rec `  R
) )  <->  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r n ) ) `  R
) ) ) )
2622, 25ax-mp 5 . 2  |-  ( (
ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
t*rec `  R
) )  <->  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r n ) ) `  R
) ) )
2721, 26mpbir 209 1  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
t*rec `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   U.cuni 4245   U_ciun 4325    |-> cmpt 4505    _I cid 4790    |` cres 5001   Rel wrel 5004   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   NN0cn0 10795   ^rcrelexp 28553   t*reccrtrcl 28567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-seq 12076  df-relexp 28554  df-rtrclrec 28568
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  28574
  Copyright terms: Public domain W3C validator