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Theorem rtrclreclem.min 28561
Description: The reflexive, transitive closure of  R is the smallest reflexive, transitive relation which contains  R and the identity. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
rtrclreclem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem.min  |-  ( ph  ->  A. s ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t*rec `  R )  C_  s
) )
Distinct variable group:    ph, s
Allowed substitution hint:    R( s)

Proof of Theorem rtrclreclem.min
Dummy variables  n  i  m  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r n ) )  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) )
2 oveq1 6290 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
r ^r n )  =  ( R ^r n ) )
32iuneq2d 4352 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n )  = 
U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
43adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  =  R )  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n )  = 
U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
5 rtrclreclem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
6 nn0ex 10800 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
7 ovex 6308 . . . . . . 7  |-  ( R ^r n )  e.  _V
86, 7iunex 6764 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  e. 
_V
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  e.  _V )
101, 4, 5, 9fvmptd 5954 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R )  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) )
11 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
1211anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  <-> 
( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) ) )
13 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r 0 ) )
1413sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  0  ->  (
( R ^r i )  C_  s  <->  ( R ^r 0 )  C_  s )
)
1512, 14imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r i )  C_  s )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r 0
)  C_  s )
) )
16 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  m  ->  (
i  e.  NN0  <->  m  e.  NN0 ) )
1716anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  m  ->  (
( i  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  <-> 
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) ) )
18 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  m  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r m ) )
1918sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  m  ->  (
( R ^r i )  C_  s  <->  ( R ^r m )  C_  s )
)
2017, 19imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r i )  C_  s )  <->  ( (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r m ) 
C_  s ) ) )
21 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 ) )
2221anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  <-> 
( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) ) )
23 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )
2423sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( R ^r i )  C_  s  <->  ( R ^r ( m  +  1 ) )  C_  s )
)
2522, 24imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r i )  C_  s )  <->  ( (
( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r ( m  +  1 ) ) 
C_  s ) ) )
26 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
2726anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  <-> 
( n  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) ) )
28 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r n ) )
2928sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  n  ->  (
( R ^r i )  C_  s  <->  ( R ^r n )  C_  s )
)
3027, 29imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r i )  C_  s )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r n ) 
C_  s ) ) )
31 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ph )
32 rtrclreclem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Rel  R )
3332, 5relexp0 28543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
3431, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r 0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
35 relfld 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Rel 
R  ->  U. U. R  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
3631, 32, 353syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  U. U. R  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
37 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s )
39 reseq2 5267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  (  _I  |` 
U. U. R )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
4039sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( (  _I  |`  U. U. R
)  C_  s  <->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s ) )
4138, 40syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( (
0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  C_  s )
)
4236, 41mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  C_  s )
4334, 42eqsstrd 3538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r 0
)  C_  s )
44 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
48 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  ->  ph )
49 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( s  o.  s
)  C_  s )
50 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  R  C_  s )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  ->  R  C_  s )
52 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s )
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
)
5549, 51, 54jca32 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) )
5647, 48, 55jca32 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) )
57 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s ) )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r m ) 
C_  s ) )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  (
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s ) )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s ) )
6156, 60mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( R ^r m )  C_  s
)
6247adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R ^r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
63 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( R ^r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ph )
6463, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( R ^r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  Rel  R )
6563, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( R ^r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  R  e.  _V )
6664, 65relexpsucr 28544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R ^r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( m  e. 
NN0  ->  ( R ^r ( m  + 
1 ) )  =  ( ( R ^r m )  o.  R ) ) )
6762, 66mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( R ^r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( R ^r ( m  + 
1 ) )  =  ( ( R ^r m )  o.  R ) )
6851adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( R ^r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  R  C_  s
)
69 coss2 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R 
C_  s  ->  (
( R ^r m )  o.  R
)  C_  ( ( R ^r m )  o.  s ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R ^r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r m )  o.  R )  C_  ( ( R ^r m )  o.  s ) )
71 coss1 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R ^r m )  C_  s  ->  ( ( R ^r m )  o.  s
)  C_  ( s  o.  s ) )
7271, 49sylan9ss 3517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R ^r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r m )  o.  s )  C_  s )
7370, 72sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( R ^r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r m )  o.  R )  C_  s )
7467, 73eqsstrd 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( R ^r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( R ^r ( m  + 
1 ) )  C_  s )
7561, 74mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( R ^r ( m  +  1 ) )  C_  s
)
7675expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  (
( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r ( m  +  1 ) )  C_  s )
)
7776expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r ( m  +  1 ) )  C_  s
) ) )
7877expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( s  o.  s )  C_  s  ->  ( ph  ->  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r ( m  +  1 ) )  C_  s )
) ) )
7978anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
)  /\  ( (
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) )  -> 
( ( s  o.  s )  C_  s  ->  ( ph  ->  (
( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r ( m  +  1 ) )  C_  s )
) ) )
8079impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
)  /\  ( (
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r ( m  +  1 ) )  C_  s )
) )
8180anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) )  /\  (
( ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) )  -> 
( ph  ->  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r ( m  +  1 ) ) 
C_  s ) ) )
8281impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) )  /\  (
( ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  e. 
NN0  ->  ( R ^r ( m  + 
1 ) )  C_  s ) )
8382anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) )  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) )  -> 
( ( m  + 
1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r ( m  +  1 ) )  C_  s
) )
8483impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) )  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^r ( m  + 
1 ) )  C_  s )
8584anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r m ) 
C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  ( R ^r ( m  + 
1 ) )  C_  s )
8685expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r ( m  + 
1 ) )  C_  s ) )
8786expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r m )  C_  s )  ->  (
( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^r ( m  + 
1 ) )  C_  s ) ) )
8815, 20, 25, 30, 43, 87nn0ind 10956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r n ) 
C_  s ) )
8988anabsi5 815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^r n ) 
C_  s )
9089expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) )  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( R ^r n ) 
C_  s ) )
9190ralrimiv 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  ( R ^r n )  C_  s )
92 iunss 4366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ n  e.  NN0  ( R ^r n ) 
C_  s  <->  A. n  e.  NN0  ( R ^r n )  C_  s )
9391, 92sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) )  ->  U_ n  e. 
NN0  ( R ^r n )  C_  s )
9493expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) )  ->  ( ph  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  C_  s )
)
9594expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
)  ->  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  ->  ( ph  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  C_  s )
) )
9695expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  ->  ( R  C_  s  ->  ( ( s  o.  s
)  C_  s  ->  (
ph  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  C_  s )
) ) )
97963imp1 1209 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  /\  ph )  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  C_  s )
9897expcom 435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  C_  s )
)
99 sseq1 3525 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r n ) ) `  R
)  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  -> 
( ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `
 R )  C_  s 
<-> 
U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  C_  s )
)
10099imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r n ) ) `  R
)  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  -> 
( ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  (
s  o.  s ) 
C_  s )  -> 
( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R )  C_  s
)  <->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  (
s  o.  s ) 
C_  s )  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  C_  s )
) )
10198, 100syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^r n ) ) `  R
)  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^r n )  -> 
( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R )  C_  s
) ) )
10210, 101mpcom 36 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R )  C_  s
) )
103 df-rtrclrec 28556 . . . 4  |-  t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )
104 fveq1 5864 . . . . . . 7  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  ->  ( t*rec
`  R )  =  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R ) )
105104sseq1d 3531 . . . . . 6  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  ->  ( ( t*rec `  R )  C_  s  <->  ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `
 R )  C_  s ) )
106105imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  ->  ( ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t*rec `  R )  C_  s
)  <->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  (
s  o.  s ) 
C_  s )  -> 
( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R )  C_  s
) ) )
107106imbi2d 316 . . . 4  |-  ( t*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) )  ->  ( ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t*rec `  R )  C_  s
) )  <->  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R )  C_  s
) ) ) )
108103, 107ax-mp 5 . . 3  |-  ( (
ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  (
s  o.  s ) 
C_  s )  -> 
( t*rec `  R )  C_  s
) )  <->  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r n ) ) `  R )  C_  s
) ) )
109102, 108mpbir 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t*rec `  R )  C_  s
) )
110109alrimiv 1695 1  |-  ( ph  ->  A. s ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t*rec `  R )  C_  s
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    u. cun 3474    C_ wss 3476   U.cuni 4245   U_ciun 4325    |-> cmpt 4505    _I cid 4790   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003   Rel wrel 5004   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494   NN0cn0 10794   ^rcrelexp 28541   t*reccrtrcl 28555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-seq 12075  df-relexp 28542  df-rtrclrec 28556
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  28562
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