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Theorem rtrclexi 36299
Description: The reflexive-transitive closure of a set exists. (Contributed by RP, 27-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rtrclexi.1  |-  A  e.  V
Assertion
Ref Expression
rtrclexi  |-  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  ( ( x  o.  x )  C_  x  /\  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  x
) ) }  e.  _V
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem rtrclexi
StepHypRef Expression
1 ssun1 3588 . 2  |-  A  C_  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )
2 coundir 5344 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  o.  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) ) )  =  ( ( A  o.  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) )  u.  ( ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) )  o.  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) ) )
3 coundi 5343 . . . . . . 7  |-  ( A  o.  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) )  =  ( ( A  o.  A )  u.  ( A  o.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) )
4 cossxp 5365 . . . . . . . . 9  |-  ( A  o.  A )  C_  ( dom  A  X.  ran  A )
5 ssun1 3588 . . . . . . . . . 10  |-  dom  A  C_  ( dom  A  u.  ran  A )
6 ssun2 3589 . . . . . . . . . 10  |-  ran  A  C_  ( dom  A  u.  ran  A )
7 xpss12 4945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  A  C_  ( dom  A  u.  ran  A
)  /\  ran  A  C_  ( dom  A  u.  ran  A ) )  ->  ( dom  A  X.  ran  A
)  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )
85, 6, 7mp2an 686 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
A  X.  ran  A
)  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) )
94, 8sstri 3427 . . . . . . . 8  |-  ( A  o.  A )  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) )
10 cossxp 5365 . . . . . . . . 9  |-  ( A  o.  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  C_  ( dom  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) )  X.  ran  A )
11 dmxpss 5274 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) )  C_  ( dom  A  u.  ran  A
)
12 xpss12 4945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) )  C_  ( dom  A  u.  ran  A
)  /\  ran  A  C_  ( dom  A  u.  ran  A ) )  ->  ( dom  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) )  X. 
ran  A )  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )
1311, 6, 12mp2an 686 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) )  X. 
ran  A )  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) )
1410, 13sstri 3427 . . . . . . . 8  |-  ( A  o.  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) )
159, 14unssi 3600 . . . . . . 7  |-  ( ( A  o.  A )  u.  ( A  o.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) )  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) )
163, 15eqsstri 3448 . . . . . 6  |-  ( A  o.  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) )  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) )
17 coundi 5343 . . . . . . 7  |-  ( ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) )  o.  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) )  =  ( ( ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) )  o.  A
)  u.  ( ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) )  o.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) ) )
18 cossxp 5365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) )  o.  A
)  C_  ( dom  A  X.  ran  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )
19 rnxpss 5275 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) )  C_  ( dom  A  u.  ran  A
)
20 xpss12 4945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  A  C_  ( dom  A  u.  ran  A
)  /\  ran  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) )  C_  ( dom  A  u.  ran  A
) )  ->  ( dom  A  X.  ran  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )
215, 19, 20mp2an 686 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
A  X.  ran  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) )
2218, 21sstri 3427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) )  o.  A
)  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) )
23 xpidtr 5228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) )  o.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) )
2422, 23unssi 3600 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) )  o.  A )  u.  (
( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) )  o.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) )  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) )
2517, 24eqsstri 3448 . . . . . 6  |-  ( ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) )  o.  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) ) 
C_  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) )
2616, 25unssi 3600 . . . . 5  |-  ( ( A  o.  ( A  u.  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) )  u.  ( ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) )  o.  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) ) )  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) )
272, 26eqsstri 3448 . . . 4  |-  ( ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  o.  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) ) ) 
C_  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) )
28 ssun2 3589 . . . 4  |-  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) )  C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )
2927, 28sstri 3427 . . 3  |-  ( ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  o.  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) ) ) 
C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )
30 dmun 5047 . . . . . . . 8  |-  dom  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  =  ( dom  A  u.  dom  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )
315, 11unssi 3600 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
A  u.  dom  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  C_  ( dom  A  u.  ran  A )
3230, 31eqsstri 3448 . . . . . . 7  |-  dom  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  C_  ( dom  A  u.  ran  A )
33 rnun 5250 . . . . . . . 8  |-  ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  =  ( ran  A  u.  ran  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )
346, 19unssi 3600 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
A  u.  ran  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  C_  ( dom  A  u.  ran  A )
3533, 34eqsstri 3448 . . . . . . 7  |-  ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  C_  ( dom  A  u.  ran  A )
3632, 35unssi 3600 . . . . . 6  |-  ( dom  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) )  C_  ( dom  A  u.  ran  A )
37 ssres2 5137 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  u.  ran  ( A  u.  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) ) 
C_  ( dom  A  u.  ran  A )  -> 
(  _I  |`  ( dom  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) )  C_  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )
3836, 37ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( dom  ( A  u.  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) )  C_  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )
39 relres 5138 . . . . . . 7  |-  Rel  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )
40 relssdmrn 5363 . . . . . . 7  |-  ( Rel  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A
) )  ->  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) ) 
C_  ( dom  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  X.  ran  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  C_  ( dom  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A
) )  X.  ran  (  _I  |`  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )
42 dmresi 5166 . . . . . . 7  |-  dom  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  =  ( dom  A  u.  ran  A )
43 rnresi 5187 . . . . . . 7  |-  ran  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  =  ( dom  A  u.  ran  A )
4442, 43xpeq12i 4861 . . . . . 6  |-  ( dom  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A
) )  X.  ran  (  _I  |`  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  =  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) )
4541, 44sseqtri 3450 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  C_  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) )
4638, 45sstri 3427 . . . 4  |-  (  _I  |`  ( dom  ( A  u.  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) )  C_  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) )
4746, 28sstri 3427 . . 3  |-  (  _I  |`  ( dom  ( A  u.  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) )  C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )
48 id 22 . . 3  |-  ( ( ( ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  o.  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) )  C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  /\  (  _I  |`  ( dom  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) )  C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) )  ->  ( ( ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  o.  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) ) ) 
C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  /\  (  _I  |`  ( dom  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) )  C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) ) )
4929, 47, 48mp2an 686 . 2  |-  ( ( ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  o.  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) ) ) 
C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  /\  (  _I  |`  ( dom  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) )  C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) )
50 rtrclexi.1 . . . . . 6  |-  A  e.  V
5150elexi 3041 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
5251dmex 6745 . . . . . . 7  |-  dom  A  e.  _V
5351rnex 6746 . . . . . . 7  |-  ran  A  e.  _V
5452, 53unex 6608 . . . . . 6  |-  ( dom 
A  u.  ran  A
)  e.  _V
5554, 54xpex 6614 . . . . 5  |-  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) )  e.  _V
5651, 55unex 6608 . . . 4  |-  ( A  u.  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  e. 
_V
57 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  ->  x  =  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) )
5857, 57coeq12d 5004 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  ->  ( x  o.  x )  =  ( ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  o.  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) ) ) )
5958, 57sseq12d 3447 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  ->  ( ( x  o.  x )  C_  x 
<->  ( ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  o.  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) )  C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) )
60 dmeq 5040 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  ->  dom  x  =  dom  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) ) )
61 rneq 5066 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  ->  ran  x  =  ran  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) ) )
6260, 61uneq12d 3580 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  ->  ( dom  x  u.  ran  x )  =  ( dom  ( A  u.  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) )
6362reseq2d 5111 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  =  (  _I  |`  ( dom  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) ) )
6463, 57sseq12d 3447 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) 
C_  x  <->  (  _I  |`  ( dom  ( A  u.  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) )  C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) ) )
6559, 64anbi12d 725 . . . . 5  |-  ( x  =  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  ->  ( ( ( x  o.  x ) 
C_  x  /\  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) 
C_  x )  <->  ( (
( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  o.  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) ) ) 
C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  /\  (  _I  |`  ( dom  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) )  C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) ) ) )
6665cleq2lem 36285 . . . 4  |-  ( x  =  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  ->  ( ( A 
C_  x  /\  (
( x  o.  x
)  C_  x  /\  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  x
) )  <->  ( A  C_  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  /\  ( ( ( A  u.  ( ( dom 
A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  o.  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) ) ) 
C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  /\  (  _I  |`  ( dom  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) )  C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) ) ) ) )
6756, 66spcev 3127 . . 3  |-  ( ( A  C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  /\  ( ( ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  o.  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) ) ) 
C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  /\  (  _I  |`  ( dom  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) )  C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) ) )  ->  E. x
( A  C_  x  /\  ( ( x  o.  x )  C_  x  /\  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  x
) ) )
68 intexab 4559 . . 3  |-  ( E. x ( A  C_  x  /\  ( ( x  o.  x )  C_  x  /\  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  x
) )  <->  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  ( ( x  o.  x )  C_  x  /\  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  x
) ) }  e.  _V )
6967, 68sylib 201 . 2  |-  ( ( A  C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  /\  ( ( ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) )  o.  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) ) ) 
C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) )  /\  (  _I  |`  ( dom  ( A  u.  (
( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )  u. 
ran  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A )  X.  ( dom  A  u.  ran  A ) ) ) ) )  C_  ( A  u.  ( ( dom  A  u.  ran  A
)  X.  ( dom 
A  u.  ran  A
) ) ) ) )  ->  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  ( ( x  o.  x )  C_  x  /\  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  x
) ) }  e.  _V )
701, 49, 69mp2an 686 1  |-  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  ( ( x  o.  x )  C_  x  /\  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  x
) ) }  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   |^|cint 4226    _I cid 4749    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841    o. ccom 4843   Rel wrel 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852
This theorem is referenced by:  dfrtrcl5  36307
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