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Mathbox for Richard Penner |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > rtrclexi | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The reflexive-transitive closure of a set exists. (Contributed by RP, 27-Oct-2020.) |
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rtrclexi.1 |
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rtrclexi |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ssun1 3588 |
. 2
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2 | coundir 5344 |
. . . . 5
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3 | coundi 5343 |
. . . . . . 7
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4 | cossxp 5365 |
. . . . . . . . 9
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5 | ssun1 3588 |
. . . . . . . . . 10
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6 | ssun2 3589 |
. . . . . . . . . 10
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7 | xpss12 4945 |
. . . . . . . . . 10
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8 | 5, 6, 7 | mp2an 686 |
. . . . . . . . 9
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9 | 4, 8 | sstri 3427 |
. . . . . . . 8
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10 | cossxp 5365 |
. . . . . . . . 9
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11 | dmxpss 5274 |
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12 | xpss12 4945 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 11, 6, 12 | mp2an 686 |
. . . . . . . . 9
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14 | 10, 13 | sstri 3427 |
. . . . . . . 8
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15 | 9, 14 | unssi 3600 |
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16 | 3, 15 | eqsstri 3448 |
. . . . . 6
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17 | coundi 5343 |
. . . . . . 7
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18 | cossxp 5365 |
. . . . . . . . 9
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19 | rnxpss 5275 |
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20 | xpss12 4945 |
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21 | 5, 19, 20 | mp2an 686 |
. . . . . . . . 9
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22 | 18, 21 | sstri 3427 |
. . . . . . . 8
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23 | xpidtr 5228 |
. . . . . . . 8
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24 | 22, 23 | unssi 3600 |
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25 | 17, 24 | eqsstri 3448 |
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26 | 16, 25 | unssi 3600 |
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27 | 2, 26 | eqsstri 3448 |
. . . 4
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29 | 27, 28 | sstri 3427 |
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30 | dmun 5047 |
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31 | 5, 11 | unssi 3600 |
. . . . . . . 8
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32 | 30, 31 | eqsstri 3448 |
. . . . . . 7
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33 | rnun 5250 |
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35 | 33, 34 | eqsstri 3448 |
. . . . . . 7
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. . . . . . 7
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40 | relssdmrn 5363 |
. . . . . . 7
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41 | 39, 40 | ax-mp 5 |
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42 | dmresi 5166 |
. . . . . . 7
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45 | 41, 44 | sseqtri 3450 |
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46 | 38, 45 | sstri 3427 |
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49 | 29, 47, 48 | mp2an 686 |
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50 | rtrclexi.1 |
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51 | 50 | elexi 3041 |
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52 | 51 | dmex 6745 |
. . . . . . 7
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53 | 51 | rnex 6746 |
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54 | 52, 53 | unex 6608 |
. . . . . 6
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55 | 54, 54 | xpex 6614 |
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56 | 51, 55 | unex 6608 |
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58 | 57, 57 | coeq12d 5004 |
. . . . . . 7
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59 | 58, 57 | sseq12d 3447 |
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60 | dmeq 5040 |
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61 | rneq 5066 |
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62 | 60, 61 | uneq12d 3580 |
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63 | 62 | reseq2d 5111 |
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64 | 63, 57 | sseq12d 3447 |
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65 | 59, 64 | anbi12d 725 |
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66 | 65 | cleq2lem 36285 |
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67 | 56, 66 | spcev 3127 |
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69 | 67, 68 | sylib 201 |
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70 | 1, 49, 69 | mp2an 686 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-ral 2761 df-rex 2762 df-rab 2765 df-v 3033 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-br 4396 df-opab 4455 df-id 4754 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 |
This theorem is referenced by: dfrtrcl5 36307 |
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