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Mathbox for Richard Penner |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > rtrclexi | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The reflexive-transitive closure of a set exists. (Contributed by RP, 27-Oct-2020.) |
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rtrclexi.1 |
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rtrclexi |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ssun1 3599 |
. 2
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2 | coundir 5340 |
. . . . 5
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3 | coundi 5339 |
. . . . . . 7
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4 | cossxp 5361 |
. . . . . . . . 9
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5 | ssun1 3599 |
. . . . . . . . . 10
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6 | ssun2 3600 |
. . . . . . . . . 10
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7 | xpss12 4943 |
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8 | 5, 6, 7 | mp2an 679 |
. . . . . . . . 9
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9 | 4, 8 | sstri 3443 |
. . . . . . . 8
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10 | cossxp 5361 |
. . . . . . . . 9
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11 | dmxpss 5271 |
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12 | xpss12 4943 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 11, 6, 12 | mp2an 679 |
. . . . . . . . 9
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14 | 10, 13 | sstri 3443 |
. . . . . . . 8
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15 | 9, 14 | unssi 3611 |
. . . . . . 7
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16 | 3, 15 | eqsstri 3464 |
. . . . . 6
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17 | coundi 5339 |
. . . . . . 7
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18 | cossxp 5361 |
. . . . . . . . 9
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19 | rnxpss 5272 |
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20 | xpss12 4943 |
. . . . . . . . . 10
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21 | 5, 19, 20 | mp2an 679 |
. . . . . . . . 9
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22 | 18, 21 | sstri 3443 |
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23 | xpidtr 5225 |
. . . . . . . 8
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24 | 22, 23 | unssi 3611 |
. . . . . . 7
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25 | 17, 24 | eqsstri 3464 |
. . . . . 6
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26 | 16, 25 | unssi 3611 |
. . . . 5
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27 | 2, 26 | eqsstri 3464 |
. . . 4
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28 | ssun2 3600 |
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29 | 27, 28 | sstri 3443 |
. . 3
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30 | dmun 5044 |
. . . . . . . 8
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31 | 5, 11 | unssi 3611 |
. . . . . . . 8
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32 | 30, 31 | eqsstri 3464 |
. . . . . . 7
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33 | rnun 5247 |
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34 | 6, 19 | unssi 3611 |
. . . . . . . 8
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35 | 33, 34 | eqsstri 3464 |
. . . . . . 7
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36 | 32, 35 | unssi 3611 |
. . . . . 6
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37 | ssres2 5134 |
. . . . . 6
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38 | 36, 37 | ax-mp 5 |
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39 | relres 5135 |
. . . . . . 7
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40 | relssdmrn 5359 |
. . . . . . 7
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41 | 39, 40 | ax-mp 5 |
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42 | dmresi 5163 |
. . . . . . 7
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44 | 42, 43 | xpeq12i 4859 |
. . . . . 6
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45 | 41, 44 | sseqtri 3466 |
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46 | 38, 45 | sstri 3443 |
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49 | 29, 47, 48 | mp2an 679 |
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50 | rtrclexi.1 |
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51 | 50 | elexi 3057 |
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52 | 51 | dmex 6731 |
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53 | 51 | rnex 6732 |
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54 | 52, 53 | unex 6594 |
. . . . . 6
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55 | 54, 54 | xpex 6600 |
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56 | 51, 55 | unex 6594 |
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58 | 57, 57 | coeq12d 5002 |
. . . . . . 7
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59 | 58, 57 | sseq12d 3463 |
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60 | dmeq 5038 |
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61 | rneq 5063 |
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62 | 60, 61 | uneq12d 3591 |
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63 | 62 | reseq2d 5108 |
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64 | 63, 57 | sseq12d 3463 |
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65 | 59, 64 | anbi12d 718 |
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66 | 65 | cleq2lem 36226 |
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67 | 56, 66 | spcev 3143 |
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69 | 67, 68 | sylib 200 |
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70 | 1, 49, 69 | mp2an 679 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1671 ax-4 1684 ax-5 1760 ax-6 1807 ax-7 1853 ax-8 1891 ax-9 1898 ax-10 1917 ax-11 1922 ax-12 1935 ax-13 2093 ax-ext 2433 ax-sep 4528 ax-nul 4537 ax-pow 4584 ax-pr 4642 ax-un 6588 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3an 988 df-tru 1449 df-ex 1666 df-nf 1670 df-sb 1800 df-eu 2305 df-mo 2306 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2583 df-ne 2626 df-ral 2744 df-rex 2745 df-rab 2748 df-v 3049 df-dif 3409 df-un 3411 df-in 3413 df-ss 3420 df-nul 3734 df-if 3884 df-pw 3955 df-sn 3971 df-pr 3973 df-op 3977 df-uni 4202 df-int 4238 df-br 4406 df-opab 4465 df-id 4752 df-xp 4843 df-rel 4844 df-cnv 4845 df-co 4846 df-dm 4847 df-rn 4848 df-res 4849 df-ima 4850 |
This theorem is referenced by: dfrtrcl5 36248 |
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