MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rspssp Structured version   Unicode version

Theorem rspssp 17307
Description: The ideal span of a set of elements in a ring is contained in any subring which contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rspcl.k  |-  K  =  (RSpan `  R )
rspssp.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
Assertion
Ref Expression
rspssp  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  C_  I )  ->  ( K `  G )  C_  I )

Proof of Theorem rspssp
StepHypRef Expression
1 rlmlmod 17285 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
2 rspssp.u . . . 4  |-  U  =  (LIdeal `  R )
3 lidlval 17272 . . . 4  |-  (LIdeal `  R )  =  (
LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
42, 3eqtri 2462 . . 3  |-  U  =  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
5 rspcl.k . . . 4  |-  K  =  (RSpan `  R )
6 rspval 17273 . . . 4  |-  (RSpan `  R )  =  (
LSpan `  (ringLMod `  R
) )
75, 6eqtri 2462 . . 3  |-  K  =  ( LSpan `  (ringLMod `  R
) )
84, 7lspssp 17068 . 2  |-  ( ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  /\  I  e.  U  /\  G  C_  I
)  ->  ( K `  G )  C_  I
)
91, 8syl3an1 1251 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  C_  I )  ->  ( K `  G )  C_  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3327   ` cfv 5417   Ringcrg 16644   LModclmod 16947   LSubSpclss 17012   LSpanclspn 17051  ringLModcrglmod 17249  LIdealclidl 17250  RSpancrsp 17251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-subg 15677  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-subrg 16862  df-lmod 16949  df-lss 17013  df-lsp 17052  df-sra 17252  df-rgmod 17253  df-lidl 17254  df-rsp 17255
This theorem is referenced by:  lidldvgen  17336  hbtlem6  29483  hbt  29484
  Copyright terms: Public domain W3C validator