MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rspsn Structured version   Unicode version

Theorem rspsn 17677
Description: Membership in principal ideals is closely related to divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rspsn.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rspsn.k  |-  K  =  (RSpan `  R )
rspsn.d  |-  .||  =  (
||r `  R )
Assertion
Ref Expression
rspsn  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
Distinct variable groups:    x, R    x, G    x, B    x, K    x,  .||

Proof of Theorem rspsn
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2469 . . . . 5  |-  ( x  =  ( a ( .r `  R ) G )  <->  ( a
( .r `  R
) G )  =  x )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  (
x  =  ( a ( .r `  R
) G )  <->  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
32rexbidv 2966 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( E. a  e.  B  x  =  ( a
( .r `  R
) G )  <->  E. a  e.  B  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
4 rlmlmod 17627 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
5 rlmsca2 17623 . . . . 5  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) )
6 baseid 14525 . . . . . 6  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
7 rspsn.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
86, 7strfvi 14519 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (  _I  `  R ) )
9 rlmbas 17617 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
107, 9eqtri 2489 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (ringLMod `  R ) )
11 rlmvsca 17624 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .s `  (ringLMod `  R ) )
12 rspsn.k . . . . . 6  |-  K  =  (RSpan `  R )
13 rspval 17615 . . . . . 6  |-  (RSpan `  R )  =  (
LSpan `  (ringLMod `  R
) )
1412, 13eqtri 2489 . . . . 5  |-  K  =  ( LSpan `  (ringLMod `  R
) )
155, 8, 10, 11, 14lspsnel 17425 . . . 4  |-  ( ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  E. a  e.  B  x  =  ( a
( .r `  R
) G ) ) )
164, 15sylan 471 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  E. a  e.  B  x  =  ( a
( .r `  R
) G ) ) )
17 rspsn.d . . . . 5  |-  .||  =  (
||r `  R )
18 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
197, 17, 18dvdsr2 17073 . . . 4  |-  ( G  e.  B  ->  ( G  .||  x  <->  E. a  e.  B  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
2019adantl 466 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( G  .||  x  <->  E. a  e.  B  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
213, 16, 203bitr4d 285 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  G  .||  x ) )
2221abbi2dv 2597 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2445   E.wrex 2808   {csn 4020   class class class wbr 4440    _I cid 4783   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ndxcnx 14476   Basecbs 14479   .rcmulr 14545   Ringcrg 16979   ||rcdsr 17064   LModclmod 17288   LSpanclspn 17393  ringLModcrglmod 17591  RSpancrsp 17593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-dvdsr 17067  df-subrg 17203  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-rsp 17597
This theorem is referenced by:  lidldvgen  17678  zndvds  18348
  Copyright terms: Public domain W3C validator