MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rspsn Structured version   Unicode version

Theorem rspsn 17336
Description: Membership in principal ideals is closely related to divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rspsn.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rspsn.k  |-  K  =  (RSpan `  R )
rspsn.d  |-  .||  =  (
||r `  R )
Assertion
Ref Expression
rspsn  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
Distinct variable groups:    x, R    x, G    x, B    x, K    x,  .||

Proof of Theorem rspsn
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2445 . . . . 5  |-  ( x  =  ( a ( .r `  R ) G )  <->  ( a
( .r `  R
) G )  =  x )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  (
x  =  ( a ( .r `  R
) G )  <->  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
32rexbidv 2736 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( E. a  e.  B  x  =  ( a
( .r `  R
) G )  <->  E. a  e.  B  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
4 rlmlmod 17286 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
5 rlmsca2 17282 . . . . 5  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) )
6 baseid 14220 . . . . . 6  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
7 rspsn.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
86, 7strfvi 14214 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (  _I  `  R ) )
9 rlmbas 17276 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
107, 9eqtri 2463 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (ringLMod `  R ) )
11 rlmvsca 17283 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .s `  (ringLMod `  R ) )
12 rspsn.k . . . . . 6  |-  K  =  (RSpan `  R )
13 rspval 17274 . . . . . 6  |-  (RSpan `  R )  =  (
LSpan `  (ringLMod `  R
) )
1412, 13eqtri 2463 . . . . 5  |-  K  =  ( LSpan `  (ringLMod `  R
) )
155, 8, 10, 11, 14lspsnel 17084 . . . 4  |-  ( ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  E. a  e.  B  x  =  ( a
( .r `  R
) G ) ) )
164, 15sylan 471 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  E. a  e.  B  x  =  ( a
( .r `  R
) G ) ) )
17 rspsn.d . . . . 5  |-  .||  =  (
||r `  R )
18 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
197, 17, 18dvdsr2 16739 . . . 4  |-  ( G  e.  B  ->  ( G  .||  x  <->  E. a  e.  B  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
2019adantl 466 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( G  .||  x  <->  E. a  e.  B  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
213, 16, 203bitr4d 285 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  G  .||  x ) )
2221abbi2dv 2558 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   E.wrex 2716   {csn 3877   class class class wbr 4292    _I cid 4631   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ndxcnx 14171   Basecbs 14174   .rcmulr 14239   Ringcrg 16645   ||rcdsr 16730   LModclmod 16948   LSpanclspn 17052  ringLModcrglmod 17250  RSpancrsp 17252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-dvdsr 16733  df-subrg 16863  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-rsp 17256
This theorem is referenced by:  lidldvgen  17337  zndvds  17982
  Copyright terms: Public domain W3C validator