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Theorem rspsbc2VD 33756
Description: Virtual deduction proof of rspsbc2 33406. The following user's proof is completed by invoking mmj2's unify command and using mmj2's StepSelector to pick all remaining steps of the Metamath proof.
1::  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2::  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D  ->.  C  e.  D ).
3::  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  A. x  e.  B A. y  e.  D ph ).
4:1,3,?: e13 33646  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  [. A  /  x ]. A. y  e.  D ph ).
5:1,4,?: e13 33646  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  A. y  e.  D [. A  /  x ]. ph ).
6:2,5,?: e23 33653  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ).
7:6:  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D  ->.  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) ).
8:7:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( C  e.  D  ->  ( A. x  e.  B A. y  e.  D ph  ->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) ) ).
qed:8:  |-  ( A  e.  B  ->  ( C  e.  D  ->  ( A. x  e.  B A. y  e.  D ph  ->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) ) )
(Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rspsbc2VD  |-  ( A  e.  B  ->  ( C  e.  D  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph 
->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    x, B    x, D, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( y)    C( x, y)

Proof of Theorem rspsbc2VD
StepHypRef Expression
1 idn2 33500 . . . . 5  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D  ->.  C  e.  D ).
2 idn1 33452 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
3 idn3 33502 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph ).
4 rspsbc 3413 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph 
->  [. A  /  x ]. A. y  e.  D  ph ) )
52, 3, 4e13 33646 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  [. A  /  x ]. A. y  e.  D  ph ).
6 sbcralg 3408 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. A. y  e.  D  ph  <->  A. y  e.  D  [. A  /  x ]. ph )
)
76biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. A. y  e.  D  ph 
->  A. y  e.  D  [. A  /  x ]. ph ) )
82, 5, 7e13 33646 . . . . 5  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  A. y  e.  D  [. A  /  x ]. ph ).
9 rspsbc 3413 . . . . 5  |-  ( C  e.  D  ->  ( A. y  e.  D  [. A  /  x ]. ph 
->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) )
101, 8, 9e23 33653 . . . 4  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  [. C  / 
y ]. [. A  /  x ]. ph ).
1110in3 33496 . . 3  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D  ->.  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) ).
1211in2 33492 . 2  |-  (. A  e.  B  ->.  ( C  e.  D  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) ) ).
1312in1 33449 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( C  e.  D  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph 
->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1819   A.wral 2807   [.wsbc 3327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-v 3111  df-sbc 3328  df-vd1 33448  df-vd2 33456  df-vd3 33468
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