MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rsp1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rsp1 18525
Description: The span of the identity element is the unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rspcl.k  |-  K  =  (RSpan `  R )
rspcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rsp1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
rsp1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( K `
 {  .1.  }
)  =  B )

Proof of Theorem rsp1
StepHypRef Expression
1 rspcl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 rsp1.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
31, 2ringidcl 17879 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
43snssd 4108 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  {  .1.  } 
C_  B )
5 rspcl.k . . . . 5  |-  K  =  (RSpan `  R )
65, 1rspssid 18524 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  {  .1.  }  C_  B )  ->  {  .1.  }  C_  ( K `  {  .1.  } ) )
74, 6mpdan 681 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  {  .1.  } 
C_  ( K `  {  .1.  } ) )
8 fvex 5889 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
92, 8eqeltri 2545 . . . 4  |-  .1.  e.  _V
109snss 4087 . . 3  |-  (  .1. 
e.  ( K `  {  .1.  } )  <->  {  .1.  } 
C_  ( K `  {  .1.  } ) )
117, 10sylibr 217 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( K `  {  .1.  } ) )
12 eqid 2471 . . . . 5  |-  (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  R )
135, 1, 12rspcl 18523 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  {  .1.  }  C_  B )  ->  ( K `  {  .1.  } )  e.  (LIdeal `  R ) )
144, 13mpdan 681 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( K `
 {  .1.  }
)  e.  (LIdeal `  R ) )
1512, 1, 2lidl1el 18519 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( K `  {  .1.  }
)  e.  (LIdeal `  R ) )  -> 
(  .1.  e.  ( K `  {  .1.  } )  <->  ( K `  {  .1.  } )  =  B ) )
1614, 15mpdan 681 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .1. 
e.  ( K `  {  .1.  } )  <->  ( K `  {  .1.  } )  =  B ) )
1711, 16mpbid 215 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( K `
 {  .1.  }
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   {csn 3959   ` cfv 5589   Basecbs 15199   1rcur 17813   Ringcrg 17858  LIdealclidl 18471  RSpancrsp 18472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476
This theorem is referenced by:  lpi1  18549
  Copyright terms: Public domain W3C validator