Theorem rrxmval 20902

Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnmval 28724. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	|- X = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 }
rrxmval.d	|- D = ( dist ` (ℝ^ ` I ) )

Assertion

Ref	Expression
rrxmval	|- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F D G ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   h, F, k   h, G, k   h, I, k   h, V, k   k, X

Allowed substitution hints:   D( h, k)   X( h)

Proof of Theorem rrxmval

Dummy variables f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2441	. . . . . 6 |- (ℝ^ ` I ) = (ℝ^ ` I )
2		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) = ( Base ` (ℝ^ ` I ) )
3	1, 2	rrxds 20895	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( dist ` (ℝ^ ` I ) ) )
4		rrxmval.d	. . . . 5 |- D = ( dist ` (ℝ^ ` I ) )
5	3, 4	syl6reqr 2492	. . . 4 |- ( I e. V -> D = ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
6	1, 2	rrxbase 20890	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 } )
7		rrxmval.1	. . . . . 6 |- X = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 }
8	6, 7	syl6reqr 2492	. . . . 5 |- ( I e. V -> X = ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) )
9		mpt2eq12 6144	. . . . 5 |- ( ( X = ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) /\ X = ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) ) -> ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
10	8, 8, 9	syl2anc 661	. . . 4 |- ( I e. V -> ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
11	5, 10	eqtr4d 2476	. . 3 |- ( I e. V -> D = ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
12	11	3ad2ant1 1009	. 2 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> D = ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
13		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> f = F )
14		eqidd 2442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> x = x )
15	13, 14	fveq12d 5695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
16		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> g = G )
17	16, 14	fveq12d 5695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( g ` x ) = ( G ` x ) )
18	15, 17	oveq12d 6107	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) = ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) )
19	18	oveq1d 6104	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
20	19	mpteq2dv 4377	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) )
21	20	oveq2d 6105	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) )
22		simp2 989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> F e. X )
23	7, 22	rrxf 20898	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> F : I --> RR )
24	23	ffvelrnda 5841	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. RR )
25		simp3 990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> G e. X )
26	7, 25	rrxf 20898	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> G : I --> RR )
27	26	ffvelrnda 5841	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. RR )
28	24, 27	resubcld 9774	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. RR )
29	28	resqcld 12032	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) e. RR )
30		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
31	29, 30	fmptd 5865	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR )
32	7, 22	rrxfsupp 20899	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F supp 0 ) e. Fin )
33	7, 25	rrxfsupp 20899	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( G supp 0 ) e. Fin )
34		unfi 7577	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F supp 0 ) e. Fin /\ ( G supp 0 ) e. Fin ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin )
35	32, 33, 34	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin )
36	7	rrxmvallem 20901	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) )
37		ssfi 7531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin /\ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin )
38	35, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin )
39		mptexg 5945	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) e. _V )
40		funmpt 5452	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
41		0cn 9376	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. CC
42		funisfsupp 7623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) /\ ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) e. _V /\ 0 e. CC ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
43	40, 41, 42	mp3an13 1305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) e. _V -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
44	39, 43	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
45	44	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
46	38, 45	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 )
47		simp1 988	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> I e. V )
48		regsumsupp 18050	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR /\ ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 /\ I e. V ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
49	31, 46, 47, 48	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
50		suppssdm 6701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ dom ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
51	30	dmmptss 5332	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) C_ I
52	50, 51	sstri 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ I
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ I )
54	53	sselda 3354	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) -> k e. I )
55	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) )
56		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> x = k )
57	56	fveq2d 5693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
58	56	fveq2d 5693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( G ` x ) = ( G ` k ) )
59	57, 58	oveq12d 6107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) = ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) )
60	59	oveq1d 6104	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
61		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> k e. I )
62		ovex 6114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. _V
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. _V )
64	55, 60, 61, 63	fvmptd 5777	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) = ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
65	64	eqcomd 2446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
66	54, 65	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
67	66	sumeq2dv 13178	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
68	49, 67	eqtr4d 2476	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
69	68	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
70	23	ffvelrnda 5841	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. RR )
71	70	recnd 9410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. CC )
72	26	ffvelrnda 5841	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. RR )
73	72	recnd 9410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. CC )
74	71, 73	subcld 9717	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) e. CC )
75	74	sqcld 12004	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. CC )
76	54, 75	syldan 470	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. CC )
77	7, 22	rrxsuppss 20900	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F supp 0 ) C_ I )
78	7, 25	rrxsuppss 20900	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( G supp 0 ) C_ I )
79	77, 78	unssd 3530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) C_ I )
80	79	ssdifssd 3492	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) C_ I )
81	80	sselda 3354	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> k e. I )
82	81, 65	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
83	79	ssdifd 3490	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) C_ ( I \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) )
84	83	sselda 3354	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> k e. ( I \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) )
85		ssid 3373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 )
86	85	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) )
87	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> 0 e. CC )
88	31, 86, 47, 87	suppssr 6718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( I \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) = 0 )
89	84, 88	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) = 0 )
90	82, 89	eqtrd 2473	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = 0 )
91	36, 76, 90, 35	fsumss 13200	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
92	91	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
93	21, 69, 92	3eqtrd 2477	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
94	93	fveq2d 5693	. 2 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )
95		fvex 5699	. . 3 |- ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) e. _V
96	95	a1i 11	. 2 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) e. _V )
97	12, 94, 22, 25, 96	ovmpt2d 6216	1 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F D G ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   {crab 2717   _Vcvv 2970   \ cdif 3323   u. cun 3324   C_ wss 3326   class class class wbr 4290   e. cmpt 4348   dom cdm 4838   Fun wfun 5410   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   e. cmpt2 6091   supp csupp 6688   ^m cmap 7212   Fincfn 7308   finSupp cfsupp 7618   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280   - cmin 9593   2c2 10369   ^cexp 11863   sqrcsqr 12720   sum_csu 13161   Basecbs 14172   distcds 14245   gsum_g cgsu 14377  RRfldcrefld 18032  ℝ^crrx 20885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-rp 10990  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-sum 13162  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-prds 14384  df-pws 14386  df-mnd 15413  df-mhm 15462  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-subg 15676  df-ghm 15743  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-cring 16646  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-dvr 16773  df-rnghom 16804  df-drng 16832  df-field 16833  df-subrg 16861  df-staf 16928  df-srng 16929  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-sra 17251  df-rgmod 17252  df-cnfld 17817  df-refld 18033  df-dsmm 18155  df-frlm 18170  df-nm 20173  df-tng 20175  df-tch 20686  df-rrx 20887

This theorem is referenced by:  rrxmfval  20903  rrxmet  20905  rrxdstprj1  20906