Theorem rrxmval 21595

Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnmval 29955. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	|- X = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 }
rrxmval.d	|- D = ( dist ` (ℝ^ ` I ) )

Assertion

Ref	Expression
rrxmval	|- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F D G ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   h, F, k   h, G, k   h, I, k   h, V, k   k, X

Allowed substitution hints:   D( h, k)   X( h)

Proof of Theorem rrxmval

Dummy variables f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . . . . 6 |- (ℝ^ ` I ) = (ℝ^ ` I )
2		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) = ( Base ` (ℝ^ ` I ) )
3	1, 2	rrxds 21588	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( dist ` (ℝ^ ` I ) ) )
4		rrxmval.d	. . . . 5 |- D = ( dist ` (ℝ^ ` I ) )
5	3, 4	syl6reqr 2527	. . . 4 |- ( I e. V -> D = ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
6	1, 2	rrxbase 21583	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 } )
7		rrxmval.1	. . . . . 6 |- X = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 }
8	6, 7	syl6reqr 2527	. . . . 5 |- ( I e. V -> X = ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) )
9		mpt2eq12 6341	. . . . 5 |- ( ( X = ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) /\ X = ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) ) -> ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
10	8, 8, 9	syl2anc 661	. . . 4 |- ( I e. V -> ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
11	5, 10	eqtr4d 2511	. . 3 |- ( I e. V -> D = ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
12	11	3ad2ant1 1017	. 2 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> D = ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
13		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> f = F )
14		eqidd 2468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> x = x )
15	13, 14	fveq12d 5872	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
16		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> g = G )
17	16, 14	fveq12d 5872	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( g ` x ) = ( G ` x ) )
18	15, 17	oveq12d 6302	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) = ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) )
19	18	oveq1d 6299	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
20	19	mpteq2dv 4534	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) )
21	20	oveq2d 6300	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) )
22		simp2 997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> F e. X )
23	7, 22	rrxf 21591	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> F : I --> RR )
24	23	ffvelrnda 6021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. RR )
25		simp3 998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> G e. X )
26	7, 25	rrxf 21591	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> G : I --> RR )
27	26	ffvelrnda 6021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. RR )
28	24, 27	resubcld 9987	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. RR )
29	28	resqcld 12304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) e. RR )
30		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
31	29, 30	fmptd 6045	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR )
32	7, 22	rrxfsupp 21592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F supp 0 ) e. Fin )
33	7, 25	rrxfsupp 21592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( G supp 0 ) e. Fin )
34		unfi 7787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F supp 0 ) e. Fin /\ ( G supp 0 ) e. Fin ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin )
35	32, 33, 34	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin )
36	7	rrxmvallem 21594	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) )
37		ssfi 7740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin /\ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin )
38	35, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin )
39		mptexg 6130	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) e. _V )
40		funmpt 5624	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
41		0cn 9588	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. CC
42		funisfsupp 7834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) /\ ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) e. _V /\ 0 e. CC ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
43	40, 41, 42	mp3an13 1315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) e. _V -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
44	39, 43	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
45	44	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
46	38, 45	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 )
47		simp1 996	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> I e. V )
48		regsumsupp 18453	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR /\ ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 /\ I e. V ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
49	31, 46, 47, 48	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
50		suppssdm 6914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ dom ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
51	30	dmmptss 5503	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) C_ I
52	50, 51	sstri 3513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ I
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ I )
54	53	sselda 3504	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) -> k e. I )
55	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) )
56		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> x = k )
57	56	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
58	56	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( G ` x ) = ( G ` k ) )
59	57, 58	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) = ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) )
60	59	oveq1d 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
61		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> k e. I )
62		ovex 6309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. _V
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. _V )
64	55, 60, 61, 63	fvmptd 5955	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) = ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
65	64	eqcomd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
66	54, 65	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
67	66	sumeq2dv 13488	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
68	49, 67	eqtr4d 2511	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
69	68	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
70	23	ffvelrnda 6021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. RR )
71	70	recnd 9622	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. CC )
72	26	ffvelrnda 6021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. RR )
73	72	recnd 9622	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. CC )
74	71, 73	subcld 9930	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) e. CC )
75	74	sqcld 12276	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. CC )
76	54, 75	syldan 470	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. CC )
77	7, 22	rrxsuppss 21593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F supp 0 ) C_ I )
78	7, 25	rrxsuppss 21593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( G supp 0 ) C_ I )
79	77, 78	unssd 3680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) C_ I )
80	79	ssdifssd 3642	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) C_ I )
81	80	sselda 3504	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> k e. I )
82	81, 65	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
83	79	ssdifd 3640	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) C_ ( I \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) )
84	83	sselda 3504	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> k e. ( I \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) )
85		ssid 3523	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 )
86	85	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) )
87	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> 0 e. CC )
88	31, 86, 47, 87	suppssr 6931	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( I \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) = 0 )
89	84, 88	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) = 0 )
90	82, 89	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = 0 )
91	36, 76, 90, 35	fsumss 13510	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
92	91	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
93	21, 69, 92	3eqtrd 2512	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
94	93	fveq2d 5870	. 2 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )
95		fvex 5876	. . 3 |- ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) e. _V
96	95	a1i 11	. 2 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) e. _V )
97	12, 94, 22, 25, 96	ovmpt2d 6414	1 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F D G ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   |-> cmpt2 6286   supp csupp 6901   ^m cmap 7420   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7829   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   - cmin 9805   2c2 10585   ^cexp 12134   sqrcsqrt 13029   sum_csu 13471   Basecbs 14490   distcds 14564   gsum_g cgsu 14696  RRfldcrefld 18435  ℝ^crrx 21578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-prds 14703  df-pws 14705  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-rnghom 17165  df-drng 17198  df-field 17199  df-subrg 17227  df-staf 17294  df-srng 17295  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-cnfld 18220  df-refld 18436  df-dsmm 18558  df-frlm 18573  df-nm 20866  df-tng 20868  df-tch 21379  df-rrx 21580

This theorem is referenced by:  rrxmfval  21596  rrxmet  21598  rrxdstprj1  21599