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Theorem rrxmval 21595
Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnmval 29955. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
rrxmval.d  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
Assertion
Ref Expression
rrxmval  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    h, F, k    h, G, k    h, I, k    h, V, k   
k, X
Allowed substitution hints:    D( h, k)    X( h)

Proof of Theorem rrxmval
Dummy variables  f 
g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (ℝ^ `  I
)  =  (ℝ^ `  I
)
2 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  =  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)
31, 2rrxds 21588 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) )  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x
)  -  ( g `
 x ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) ) )
4 rrxmval.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
53, 4syl6reqr 2527 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
61, 2rrxbase 21583 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  (ℝ^ `  I
) )  =  {
h  e.  ( RR 
^m  I )  |  h finSupp  0 } )
7 rrxmval.1 . . . . . 6  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
86, 7syl6reqr 2527 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  X  =  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) )
9 mpt2eq12 6341 . . . . 5  |-  ( ( X  =  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  /\  X  =  ( Base `  (ℝ^ `  I
) ) )  -> 
( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
108, 8, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
f  e.  X , 
g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x
)  -  ( g `
 x ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( f  e.  (
Base `  (ℝ^ `  I
) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) )  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x
)  -  ( g `
 x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
115, 10eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
12113ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
13 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
f  =  F )
14 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  ->  x  =  x )
1513, 14fveq12d 5872 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( f `  x
)  =  ( F `
 x ) )
16 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
g  =  G )
1716, 14fveq12d 5872 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( g `  x
)  =  ( G `
 x ) )
1815, 17oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( ( f `  x )  -  (
g `  x )
)  =  ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) )
1918oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) )
2019mpteq2dv 4534 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) )
2120oveq2d 6300 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
(RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) ) )  =  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) ) )
22 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  F  e.  X )
237, 22rrxf 21591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  F : I --> RR )
2423ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
25 simp3 998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  G  e.  X )
267, 25rrxf 21591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  G : I --> RR )
2726ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
2824, 27resubcld 9987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  e.  RR )
2928resqcld 12304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 )  e.  RR )
30 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) )
3129, 30fmptd 6045 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR )
327, 22rrxfsupp 21592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F supp  0 )  e.  Fin )
337, 25rrxfsupp 21592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( G supp  0 )  e.  Fin )
34 unfi 7787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F supp  0 )  e.  Fin  /\  ( G supp  0 )  e.  Fin )  ->  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin )
3532, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin )
367rrxmvallem 21594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  C_  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )
37 ssfi 7740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin  /\  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 )  e.  Fin )
3835, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  e.  Fin )
39 mptexg 6130 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  V  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  e.  _V )
40 funmpt 5624 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )
41 0cn 9588 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
42 funisfsupp 7834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) )  /\  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) )  e.  _V  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) finSupp  0  <->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
4340, 41, 42mp3an13 1315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  e.  _V  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
4439, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
45443ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) finSupp  0  <->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
4638, 45mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0 )
47 simp1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  I  e.  V )
48 regsumsupp 18453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR  /\  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k ) )
4931, 46, 47, 48syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k ) )
50 suppssdm 6914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  dom  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) )
5130dmmptss 5503 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  C_  I
5250, 51sstri 3513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  I
5352a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  C_  I )
5453sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  ->  k  e.  I )
5530a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) )
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  ->  x  =  k )
5756fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 k ) )
5856fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( G `  x
)  =  ( G `
 k ) )
5957, 58oveq12d 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( ( F `  x )  -  ( G `  x )
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
6059oveq1d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
61 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  k  e.  I )
62 ovex 6309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  _V )
6455, 60, 61, 63fvmptd 5955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k )  =  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
6564eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) `
 k ) )
6654, 65syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) `
 k ) )
6766sumeq2dv 13488 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  -> 
sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k ) )
6849, 67eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
6968adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
(RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
7023ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
7170recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7226ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
7372recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7471, 73subcld 9930 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  CC )
7574sqcld 12276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  CC )
7654, 75syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  CC )
777, 22rrxsuppss 21593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F supp  0 ) 
C_  I )
787, 25rrxsuppss 21593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( G supp  0 ) 
C_  I )
7977, 78unssd 3680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  C_  I )
8079ssdifssd 3642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  C_  I
)
8180sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
k  e.  I )
8281, 65syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) `
 k ) )
8379ssdifd 3640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  C_  (
I  \  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ) )
8483sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
k  e.  ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ) )
85 ssid 3523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)
8685a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  C_  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) )
8741a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  e.  CC )
8831, 86, 47, 87suppssr 6931 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) `  k )  =  0 )
8984, 88syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) `  k )  =  0 )
9082, 89eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  =  0 )
9136, 76, 90, 35fsumss 13510 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  -> 
sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
9291adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
9321, 69, 923eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
(RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
9493fveq2d 5870 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
95 fvex 5876 . . 3  |-  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  _V
9695a1i 11 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  _V )
9712, 94, 22, 25, 96ovmpt2d 6414 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   supp csupp 6901    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7829   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492    - cmin 9805   2c2 10585   ^cexp 12134   sqrcsqrt 13029   sum_csu 13471   Basecbs 14490   distcds 14564    gsumg cgsu 14696  RRfldcrefld 18435  ℝ^crrx 21578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-prds 14703  df-pws 14705  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-rnghom 17165  df-drng 17198  df-field 17199  df-subrg 17227  df-staf 17294  df-srng 17295  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-cnfld 18220  df-refld 18436  df-dsmm 18558  df-frlm 18573  df-nm 20866  df-tng 20868  df-tch 21379  df-rrx 21580
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