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Theorem rrxmval 22359
Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnmval 32160. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
rrxmval.d  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
Assertion
Ref Expression
rrxmval  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    h, F, k    h, G, k    h, I, k    h, V, k   
k, X
Allowed substitution hints:    D( h, k)    X( h)

Proof of Theorem rrxmval
Dummy variables  f 
g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . . 6  |-  (ℝ^ `  I
)  =  (ℝ^ `  I
)
2 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  =  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)
31, 2rrxds 22352 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) )  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x
)  -  ( g `
 x ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) ) )
4 rrxmval.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
53, 4syl6reqr 2504 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
61, 2rrxbase 22347 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  (ℝ^ `  I
) )  =  {
h  e.  ( RR 
^m  I )  |  h finSupp  0 } )
7 rrxmval.1 . . . . . 6  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
86, 7syl6reqr 2504 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  X  =  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) )
9 mpt2eq12 6351 . . . . 5  |-  ( ( X  =  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  /\  X  =  ( Base `  (ℝ^ `  I
) ) )  -> 
( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
108, 8, 9syl2anc 667 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
f  e.  X , 
g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x
)  -  ( g `
 x ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( f  e.  (
Base `  (ℝ^ `  I
) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) )  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x
)  -  ( g `
 x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
115, 10eqtr4d 2488 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
12113ad2ant1 1029 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
13 simprl 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
f  =  F )
1413fveq1d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( f `  x
)  =  ( F `
 x ) )
15 simprr 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
g  =  G )
1615fveq1d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( g `  x
)  =  ( G `
 x ) )
1714, 16oveq12d 6308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( ( f `  x )  -  (
g `  x )
)  =  ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) )
1817oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) )
1918mpteq2dv 4490 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) )
2019oveq2d 6306 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
(RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) ) )  =  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) ) )
21 simp2 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  F  e.  X )
227, 21rrxf 22355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  F : I --> RR )
2322ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
24 simp3 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  G  e.  X )
257, 24rrxf 22355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  G : I --> RR )
2625ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
2723, 26resubcld 10047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  e.  RR )
2827resqcld 12442 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 )  e.  RR )
29 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) )
3028, 29fmptd 6046 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR )
317, 21rrxfsupp 22356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F supp  0 )  e.  Fin )
327, 24rrxfsupp 22356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( G supp  0 )  e.  Fin )
33 unfi 7838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F supp  0 )  e.  Fin  /\  ( G supp  0 )  e.  Fin )  ->  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin )
3431, 32, 33syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin )
357rrxmvallem 22358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  C_  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )
36 ssfi 7792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin  /\  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 )  e.  Fin )
3734, 35, 36syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  e.  Fin )
38 mptexg 6135 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  V  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  e.  _V )
39 funmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )
40 0cn 9635 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
41 funisfsupp 7888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) )  /\  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) )  e.  _V  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) finSupp  0  <->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
4239, 40, 41mp3an13 1355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  e.  _V  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
4338, 42syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
44433ad2ant1 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) finSupp  0  <->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
4537, 44mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0 )
46 simp1 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  I  e.  V )
47 regsumsupp 19190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR  /\  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k ) )
4830, 45, 46, 47syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k ) )
49 suppssdm 6927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  dom  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) )
5029dmmptss 5331 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  C_  I
5149, 50sstri 3441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  I
5251a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  C_  I )
5352sselda 3432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  ->  k  e.  I )
54 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) )
55 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  ->  x  =  k )
5655fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 k ) )
5755fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( G `  x
)  =  ( G `
 k ) )
5856, 57oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( ( F `  x )  -  ( G `  x )
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
5958oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
60 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  k  e.  I )
61 ovex 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  e. 
_V
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  _V )
6354, 59, 60, 62fvmptd 5954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k )  =  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
6463eqcomd 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) `
 k ) )
6553, 64syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) `
 k ) )
6665sumeq2dv 13769 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  -> 
sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k ) )
6748, 66eqtr4d 2488 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
6867adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
(RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
6922ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
7069recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7125ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
7271recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7370, 72subcld 9986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  CC )
7473sqcld 12414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  CC )
7553, 74syldan 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  CC )
767, 21rrxsuppss 22357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F supp  0 ) 
C_  I )
777, 24rrxsuppss 22357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( G supp  0 ) 
C_  I )
7876, 77unssd 3610 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  C_  I )
7978ssdifssd 3571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  C_  I
)
8079sselda 3432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
k  e.  I )
8180, 64syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) `
 k ) )
8278ssdifd 3569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  C_  (
I  \  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ) )
8382sselda 3432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
k  e.  ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ) )
84 ssid 3451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)
8584a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  C_  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) )
86 0cnd 9636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  e.  CC )
8730, 85, 46, 86suppssr 6946 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) `  k )  =  0 )
8883, 87syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) `  k )  =  0 )
8981, 88eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  =  0 )
9035, 75, 89, 34fsumss 13791 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  -> 
sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
9190adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
9220, 68, 913eqtrd 2489 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
(RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
9392fveq2d 5869 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
94 fvex 5875 . . 3  |-  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  _V
9594a1i 11 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  _V )
9612, 93, 21, 24, 95ovmpt2d 6424 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    C_ wss 3404   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   supp csupp 6914    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   finSupp cfsupp 7883   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539    - cmin 9860   2c2 10659   ^cexp 12272   sqrcsqrt 13296   sum_csu 13752   Basecbs 15121   distcds 15199    gsumg cgsu 15339  RRfldcrefld 19172  ℝ^crrx 22342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-rnghom 17943  df-drng 17977  df-field 17978  df-subrg 18006  df-staf 18073  df-srng 18074  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-cnfld 18971  df-refld 19173  df-dsmm 19295  df-frlm 19310  df-nm 21597  df-tng 21599  df-tch 22147  df-rrx 22344
This theorem is referenced by:  rrxmfval  22360  rrxmet  22362  rrxdstprj1  22363
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