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Theorem rrxmval 20902
Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnmval 28724. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
rrxmval.d  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
Assertion
Ref Expression
rrxmval  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    h, F, k    h, G, k    h, I, k    h, V, k   
k, X
Allowed substitution hints:    D( h, k)    X( h)

Proof of Theorem rrxmval
Dummy variables  f 
g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . . 6  |-  (ℝ^ `  I
)  =  (ℝ^ `  I
)
2 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  =  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)
31, 2rrxds 20895 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) )  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x
)  -  ( g `
 x ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) ) )
4 rrxmval.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
53, 4syl6reqr 2492 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
61, 2rrxbase 20890 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  (ℝ^ `  I
) )  =  {
h  e.  ( RR 
^m  I )  |  h finSupp  0 } )
7 rrxmval.1 . . . . . 6  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
86, 7syl6reqr 2492 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  X  =  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) )
9 mpt2eq12 6144 . . . . 5  |-  ( ( X  =  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  /\  X  =  ( Base `  (ℝ^ `  I
) ) )  -> 
( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
108, 8, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
f  e.  X , 
g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x
)  -  ( g `
 x ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( f  e.  (
Base `  (ℝ^ `  I
) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) )  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x
)  -  ( g `
 x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
115, 10eqtr4d 2476 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
12113ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
13 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
f  =  F )
14 eqidd 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  ->  x  =  x )
1513, 14fveq12d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( f `  x
)  =  ( F `
 x ) )
16 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
g  =  G )
1716, 14fveq12d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( g `  x
)  =  ( G `
 x ) )
1815, 17oveq12d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( ( f `  x )  -  (
g `  x )
)  =  ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) )
1918oveq1d 6104 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) )
2019mpteq2dv 4377 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) )
2120oveq2d 6105 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
(RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) ) )  =  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) ) )
22 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  F  e.  X )
237, 22rrxf 20898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  F : I --> RR )
2423ffvelrnda 5841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
25 simp3 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  G  e.  X )
267, 25rrxf 20898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  G : I --> RR )
2726ffvelrnda 5841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
2824, 27resubcld 9774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  e.  RR )
2928resqcld 12032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 )  e.  RR )
30 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) )
3129, 30fmptd 5865 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR )
327, 22rrxfsupp 20899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F supp  0 )  e.  Fin )
337, 25rrxfsupp 20899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( G supp  0 )  e.  Fin )
34 unfi 7577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F supp  0 )  e.  Fin  /\  ( G supp  0 )  e.  Fin )  ->  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin )
3532, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin )
367rrxmvallem 20901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  C_  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )
37 ssfi 7531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin  /\  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 )  e.  Fin )
3835, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  e.  Fin )
39 mptexg 5945 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  V  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  e.  _V )
40 funmpt 5452 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )
41 0cn 9376 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
42 funisfsupp 7623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) )  /\  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) )  e.  _V  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) finSupp  0  <->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
4340, 41, 42mp3an13 1305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  e.  _V  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
4439, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
45443ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) finSupp  0  <->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
4638, 45mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0 )
47 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  I  e.  V )
48 regsumsupp 18050 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR  /\  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k ) )
4931, 46, 47, 48syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k ) )
50 suppssdm 6701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  dom  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) )
5130dmmptss 5332 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  C_  I
5250, 51sstri 3363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  I
5352a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  C_  I )
5453sselda 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  ->  k  e.  I )
5530a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) )
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  ->  x  =  k )
5756fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 k ) )
5856fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( G `  x
)  =  ( G `
 k ) )
5957, 58oveq12d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( ( F `  x )  -  ( G `  x )
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
6059oveq1d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
61 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  k  e.  I )
62 ovex 6114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  _V )
6455, 60, 61, 63fvmptd 5777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k )  =  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
6564eqcomd 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) `
 k ) )
6654, 65syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) `
 k ) )
6766sumeq2dv 13178 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  -> 
sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k ) )
6849, 67eqtr4d 2476 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
6968adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
(RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
7023ffvelrnda 5841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
7170recnd 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7226ffvelrnda 5841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
7372recnd 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7471, 73subcld 9717 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  CC )
7574sqcld 12004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  CC )
7654, 75syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  CC )
777, 22rrxsuppss 20900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F supp  0 ) 
C_  I )
787, 25rrxsuppss 20900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( G supp  0 ) 
C_  I )
7977, 78unssd 3530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  C_  I )
8079ssdifssd 3492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  C_  I
)
8180sselda 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
k  e.  I )
8281, 65syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) `
 k ) )
8379ssdifd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  C_  (
I  \  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ) )
8483sselda 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
k  e.  ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ) )
85 ssid 3373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)
8685a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  C_  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) )
8741a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  e.  CC )
8831, 86, 47, 87suppssr 6718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) `  k )  =  0 )
8984, 88syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) `  k )  =  0 )
9082, 89eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  =  0 )
9136, 76, 90, 35fsumss 13200 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  -> 
sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
9291adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
9321, 69, 923eqtrd 2477 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
(RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
9493fveq2d 5693 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
95 fvex 5699 . . 3  |-  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  _V
9695a1i 11 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  _V )
9712, 94, 22, 25, 96ovmpt2d 6216 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3323    u. cun 3324    C_ wss 3326   class class class wbr 4290    e. cmpt 4348   dom cdm 4838   Fun wfun 5410   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091   supp csupp 6688    ^m cmap 7212   Fincfn 7308   finSupp cfsupp 7618   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280    - cmin 9593   2c2 10369   ^cexp 11863   sqrcsqr 12720   sum_csu 13161   Basecbs 14172   distcds 14245    gsumg cgsu 14377  RRfldcrefld 18032  ℝ^crrx 20885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-rp 10990  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-sum 13162  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-prds 14384  df-pws 14386  df-mnd 15413  df-mhm 15462  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-subg 15676  df-ghm 15743  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-cring 16646  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-dvr 16773  df-rnghom 16804  df-drng 16832  df-field 16833  df-subrg 16861  df-staf 16928  df-srng 16929  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-sra 17251  df-rgmod 17252  df-cnfld 17817  df-refld 18033  df-dsmm 18155  df-frlm 18170  df-nm 20173  df-tng 20175  df-tch 20686  df-rrx 20887
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