Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rrxmval 22359
 Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnmval 32160. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 finSupp
rrxmval.d ℝ^
Assertion
Ref Expression
rrxmval supp supp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem rrxmval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . . 6 ℝ^ ℝ^
2 eqid 2451 . . . . . 6 ℝ^ ℝ^
31, 2rrxds 22352 . . . . 5 ℝ^ ℝ^ RRfld g ℝ^
4 rrxmval.d . . . . 5 ℝ^
53, 4syl6reqr 2504 . . . 4 ℝ^ ℝ^ RRfld g
61, 2rrxbase 22347 . . . . . 6 ℝ^ finSupp
7 rrxmval.1 . . . . . 6 finSupp
86, 7syl6reqr 2504 . . . . 5 ℝ^
9 mpt2eq12 6351 . . . . 5 ℝ^ ℝ^ RRfld g ℝ^ ℝ^ RRfld g
108, 8, 9syl2anc 667 . . . 4 RRfld g ℝ^ ℝ^ RRfld g
115, 10eqtr4d 2488 . . 3 RRfld g
12113ad2ant1 1029 . 2 RRfld g
13 simprl 764 . . . . . . . . 9
1413fveq1d 5867 . . . . . . . 8
15 simprr 766 . . . . . . . . 9
1615fveq1d 5867 . . . . . . . 8
1714, 16oveq12d 6308 . . . . . . 7
1817oveq1d 6305 . . . . . 6
1918mpteq2dv 4490 . . . . 5
2019oveq2d 6306 . . . 4 RRfld g RRfld g
21 simp2 1009 . . . . . . . . . . . 12
227, 21rrxf 22355 . . . . . . . . . . 11
2322ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10
24 simp3 1010 . . . . . . . . . . . 12
257, 24rrxf 22355 . . . . . . . . . . 11
2625ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10
2723, 26resubcld 10047 . . . . . . . . 9
2827resqcld 12442 . . . . . . . 8
29 eqid 2451 . . . . . . . 8
3028, 29fmptd 6046 . . . . . . 7
317, 21rrxfsupp 22356 . . . . . . . . . 10 supp
327, 24rrxfsupp 22356 . . . . . . . . . 10 supp
33 unfi 7838 . . . . . . . . . 10 supp supp supp supp
3431, 32, 33syl2anc 667 . . . . . . . . 9 supp supp
357rrxmvallem 22358 . . . . . . . . 9 supp supp supp
36 ssfi 7792 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp supp supp
3734, 35, 36syl2anc 667 . . . . . . . 8 supp
38 mptexg 6135 . . . . . . . . . 10
39 funmpt 5618 . . . . . . . . . . 11
40 0cn 9635 . . . . . . . . . . 11
41 funisfsupp 7888 . . . . . . . . . . 11 finSupp supp
4239, 40, 41mp3an13 1355 . . . . . . . . . 10 finSupp supp
4338, 42syl 17 . . . . . . . . 9 finSupp supp
44433ad2ant1 1029 . . . . . . . 8 finSupp supp
4537, 44mpbird 236 . . . . . . 7 finSupp
46 simp1 1008 . . . . . . 7
47 regsumsupp 19190 . . . . . . 7 finSupp RRfld g supp
4830, 45, 46, 47syl3anc 1268 . . . . . 6 RRfld g supp
49 suppssdm 6927 . . . . . . . . . . 11 supp
5029dmmptss 5331 . . . . . . . . . . 11
5149, 50sstri 3441 . . . . . . . . . 10 supp
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 supp
5352sselda 3432 . . . . . . . 8 supp
54 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10
55 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13
5655fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12
5755fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12
5856, 57oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11
5958oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10
60 simpr 463 . . . . . . . . . 10
61 ovex 6318 . . . . . . . . . . 11
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10
6354, 59, 60, 62fvmptd 5954 . . . . . . . . 9
6463eqcomd 2457 . . . . . . . 8
6553, 64syldan 473 . . . . . . 7 supp
6665sumeq2dv 13769 . . . . . 6 supp supp
6748, 66eqtr4d 2488 . . . . 5 RRfld g supp
6867adantr 467 . . . 4 RRfld g supp
6922ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10
7069recnd 9669 . . . . . . . . 9
7125ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10
7271recnd 9669 . . . . . . . . 9
7370, 72subcld 9986 . . . . . . . 8
7473sqcld 12414 . . . . . . 7
7553, 74syldan 473 . . . . . 6 supp
767, 21rrxsuppss 22357 . . . . . . . . . . 11 supp
777, 24rrxsuppss 22357 . . . . . . . . . . 11 supp
7876, 77unssd 3610 . . . . . . . . . 10 supp supp
7978ssdifssd 3571 . . . . . . . . 9 supp supp supp
8079sselda 3432 . . . . . . . 8 supp supp supp
8180, 64syldan 473 . . . . . . 7 supp supp supp
8278ssdifd 3569 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp
8382sselda 3432 . . . . . . . 8 supp supp supp supp
84 ssid 3451 . . . . . . . . . 10 supp supp
8584a1i 11 . . . . . . . . 9 supp supp
86 0cnd 9636 . . . . . . . . 9
8730, 85, 46, 86suppssr 6946 . . . . . . . 8 supp
8883, 87syldan 473 . . . . . . 7 supp supp supp
8981, 88eqtrd 2485 . . . . . 6 supp supp supp
9035, 75, 89, 34fsumss 13791 . . . . 5 supp supp supp
9190adantr 467 . . . 4 supp supp supp
9220, 68, 913eqtrd 2489 . . 3 RRfld g supp supp
9392fveq2d 5869 . 2 RRfld g supp supp
94 fvex 5875 . . 3 supp supp
9594a1i 11 . 2 supp supp
9612, 93, 21, 24, 95ovmpt2d 6424 1 supp supp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  crab 2741  cvv 3045   cdif 3401   cun 3402   wss 3404   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cdm 4834   wfun 5576  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmpt2 6292   supp csupp 6914   cmap 7472  cfn 7569   finSupp cfsupp 7883  cc 9537  cr 9538  cc0 9539   cmin 9860  c2 10659  cexp 12272  csqrt 13296  csu 13752  cbs 15121  cds 15199   g cgsu 15339  RRfldcrefld 19172  ℝ^crrx 22342 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-rnghom 17943  df-drng 17977  df-field 17978  df-subrg 18006  df-staf 18073  df-srng 18074  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-cnfld 18971  df-refld 19173  df-dsmm 19295  df-frlm 19310  df-nm 21597  df-tng 21599  df-tch 22147  df-rrx 22344 This theorem is referenced by:  rrxmfval  22360  rrxmet  22362  rrxdstprj1  22363
 Copyright terms: Public domain W3C validator