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Theorem rrxmval 22252
Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnmval 31864. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
rrxmval.d  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
Assertion
Ref Expression
rrxmval  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    h, F, k    h, G, k    h, I, k    h, V, k   
k, X
Allowed substitution hints:    D( h, k)    X( h)

Proof of Theorem rrxmval
Dummy variables  f 
g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . . 6  |-  (ℝ^ `  I
)  =  (ℝ^ `  I
)
2 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  =  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)
31, 2rrxds 22245 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) )  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x
)  -  ( g `
 x ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) ) )
4 rrxmval.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
53, 4syl6reqr 2489 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
61, 2rrxbase 22240 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  (ℝ^ `  I
) )  =  {
h  e.  ( RR 
^m  I )  |  h finSupp  0 } )
7 rrxmval.1 . . . . . 6  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
86, 7syl6reqr 2489 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  X  =  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) )
9 mpt2eq12 6365 . . . . 5  |-  ( ( X  =  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  /\  X  =  ( Base `  (ℝ^ `  I
) ) )  -> 
( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
108, 8, 9syl2anc 665 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
f  e.  X , 
g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x
)  -  ( g `
 x ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( f  e.  (
Base `  (ℝ^ `  I
) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) )  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x
)  -  ( g `
 x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
115, 10eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
12113ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
13 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
f  =  F )
1413fveq1d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( f `  x
)  =  ( F `
 x ) )
15 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
g  =  G )
1615fveq1d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( g `  x
)  =  ( G `
 x ) )
1714, 16oveq12d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( ( f `  x )  -  (
g `  x )
)  =  ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) )
1817oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) )
1918mpteq2dv 4513 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) )
2019oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
(RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) ) )  =  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) ) )
21 simp2 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  F  e.  X )
227, 21rrxf 22248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  F : I --> RR )
2322ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
24 simp3 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  G  e.  X )
257, 24rrxf 22248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  G : I --> RR )
2625ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
2723, 26resubcld 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  e.  RR )
2827resqcld 12439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 )  e.  RR )
29 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) )
3028, 29fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR )
317, 21rrxfsupp 22249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F supp  0 )  e.  Fin )
327, 24rrxfsupp 22249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( G supp  0 )  e.  Fin )
33 unfi 7844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F supp  0 )  e.  Fin  /\  ( G supp  0 )  e.  Fin )  ->  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin )
3431, 32, 33syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin )
357rrxmvallem 22251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  C_  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )
36 ssfi 7798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin  /\  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 )  e.  Fin )
3734, 35, 36syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  e.  Fin )
38 mptexg 6150 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  V  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  e.  _V )
39 funmpt 5637 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )
40 0cn 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
41 funisfsupp 7894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) )  /\  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) )  e.  _V  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) finSupp  0  <->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
4239, 40, 41mp3an13 1351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  e.  _V  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
4338, 42syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0  <->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
44433ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) finSupp  0  <->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 )  e. 
Fin ) )
4537, 44mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0 )
46 simp1 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  I  e.  V )
47 regsumsupp 19121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR  /\  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k ) )
4830, 45, 46, 47syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k ) )
49 suppssdm 6938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  dom  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) )
5029dmmptss 5351 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  C_  I
5149, 50sstri 3479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  I
5251a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  C_  I )
5352sselda 3470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  ->  k  e.  I )
54 eqidd 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) )
55 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  ->  x  =  k )
5655fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 k ) )
5755fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( G `  x
)  =  ( G `
 k ) )
5856, 57oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( ( F `  x )  -  ( G `  x )
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
5958oveq1d 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  k  e.  I )  /\  x  =  k )  -> 
( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
60 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  k  e.  I )
61 ovex 6333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  e. 
_V
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  _V )
6354, 59, 60, 62fvmptd 5970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k )  =  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
6463eqcomd 2437 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) `
 k ) )
6553, 64syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) `
 k ) )
6665sumeq2dv 13747 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  -> 
sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) `  k ) )
6748, 66eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
6867adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
(RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
6922ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
7069recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7125ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
7271recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7370, 72subcld 9985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  CC )
7473sqcld 12411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  CC )
7553, 74syldan 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  CC )
767, 21rrxsuppss 22250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F supp  0 ) 
C_  I )
777, 24rrxsuppss 22250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( G supp  0 ) 
C_  I )
7876, 77unssd 3648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  C_  I )
7978ssdifssd 3609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  C_  I
)
8079sselda 3470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
k  e.  I )
8180, 64syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) `
 k ) )
8278ssdifd 3607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) )  C_  (
I  \  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ) )
8382sselda 3470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
k  e.  ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ) )
84 ssid 3489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 )  C_  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)
8584a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
)  C_  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) )
86 0cnd 9635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  e.  CC )
8730, 85, 46, 86suppssr 6957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) `  k )  =  0 )
8883, 87syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) `  k )  =  0 )
8981, 88eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  k  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  \ 
( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) ^
2 ) ) supp  0
) ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  =  0 )
9035, 75, 89, 34fsumss 13769 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  -> 
sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
9190adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( x  e.  I  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( G `  x )
) ^ 2 ) ) supp  0 ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
9220, 68, 913eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
(RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
9392fveq2d 5885 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X
)  /\  ( f  =  F  /\  g  =  G ) )  -> 
( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
94 fvex 5891 . . 3  |-  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  _V
9594a1i 11 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  _V )
9612, 93, 21, 24, 95ovmpt2d 6438 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    u. cun 3440    C_ wss 3442   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   Fun wfun 5595   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   supp csupp 6925    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   finSupp cfsupp 7889   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538    - cmin 9859   2c2 10659   ^cexp 12269   sqrcsqrt 13275   sum_csu 13730   Basecbs 15084   distcds 15161    gsumg cgsu 15298  RRfldcrefld 19103  ℝ^crrx 22235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-rnghom 17878  df-drng 17912  df-field 17913  df-subrg 17941  df-staf 18008  df-srng 18009  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-cnfld 18906  df-refld 19104  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-nm 21528  df-tng 21530  df-tch 22040  df-rrx 22237
This theorem is referenced by:  rrxmfval  22253  rrxmet  22255  rrxdstprj1  22256
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