Theorem rrxmval 22359

Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnmval 32160. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	|- X = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 }
rrxmval.d	|- D = ( dist ` (ℝ^ ` I ) )

Assertion

Ref	Expression
rrxmval	|- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F D G ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   h, F, k   h, G, k   h, I, k   h, V, k   k, X

Allowed substitution hints:   D( h, k)   X( h)

Proof of Theorem rrxmval

Dummy variables f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2451	. . . . . 6 |- (ℝ^ ` I ) = (ℝ^ ` I )
2		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) = ( Base ` (ℝ^ ` I ) )
3	1, 2	rrxds 22352	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( dist ` (ℝ^ ` I ) ) )
4		rrxmval.d	. . . . 5 |- D = ( dist ` (ℝ^ ` I ) )
5	3, 4	syl6reqr 2504	. . . 4 |- ( I e. V -> D = ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
6	1, 2	rrxbase 22347	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 } )
7		rrxmval.1	. . . . . 6 |- X = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 }
8	6, 7	syl6reqr 2504	. . . . 5 |- ( I e. V -> X = ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) )
9		mpt2eq12 6351	. . . . 5 |- ( ( X = ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) /\ X = ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) ) -> ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
10	8, 8, 9	syl2anc 667	. . . 4 |- ( I e. V -> ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
11	5, 10	eqtr4d 2488	. . 3 |- ( I e. V -> D = ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
12	11	3ad2ant1 1029	. 2 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> D = ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
13		simprl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> f = F )
14	13	fveq1d 5867	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
15		simprr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> g = G )
16	15	fveq1d 5867	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( g ` x ) = ( G ` x ) )
17	14, 16	oveq12d 6308	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) = ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) )
18	17	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
19	18	mpteq2dv 4490	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) )
20	19	oveq2d 6306	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) )
21		simp2 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> F e. X )
22	7, 21	rrxf 22355	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> F : I --> RR )
23	22	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. RR )
24		simp3 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> G e. X )
25	7, 24	rrxf 22355	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> G : I --> RR )
26	25	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. RR )
27	23, 26	resubcld 10047	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. RR )
28	27	resqcld 12442	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) e. RR )
29		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
30	28, 29	fmptd 6046	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR )
31	7, 21	rrxfsupp 22356	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F supp 0 ) e. Fin )
32	7, 24	rrxfsupp 22356	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( G supp 0 ) e. Fin )
33		unfi 7838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F supp 0 ) e. Fin /\ ( G supp 0 ) e. Fin ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin )
34	31, 32, 33	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin )
35	7	rrxmvallem 22358	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) )
36		ssfi 7792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin /\ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin )
37	34, 35, 36	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin )
38		mptexg 6135	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) e. _V )
39		funmpt 5618	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
40		0cn 9635	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. CC
41		funisfsupp 7888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) /\ ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) e. _V /\ 0 e. CC ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
42	39, 40, 41	mp3an13 1355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) e. _V -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
43	38, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
44	43	3ad2ant1 1029	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
45	37, 44	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 )
46		simp1 1008	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> I e. V )
47		regsumsupp 19190	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR /\ ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 /\ I e. V ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
48	30, 45, 46, 47	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
49		suppssdm 6927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ dom ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
50	29	dmmptss 5331	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) C_ I
51	49, 50	sstri 3441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ I
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ I )
53	52	sselda 3432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) -> k e. I )
54		eqidd 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) )
55		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> x = k )
56	55	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
57	55	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( G ` x ) = ( G ` k ) )
58	56, 57	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) = ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) )
59	58	oveq1d 6305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
60		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> k e. I )
61		ovex 6318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. _V
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. _V )
63	54, 59, 60, 62	fvmptd 5954	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) = ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
64	63	eqcomd 2457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
65	53, 64	syldan 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
66	65	sumeq2dv 13769	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
67	48, 66	eqtr4d 2488	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
68	67	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
69	22	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. RR )
70	69	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. CC )
71	25	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. RR )
72	71	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. CC )
73	70, 72	subcld 9986	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) e. CC )
74	73	sqcld 12414	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. CC )
75	53, 74	syldan 473	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. CC )
76	7, 21	rrxsuppss 22357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F supp 0 ) C_ I )
77	7, 24	rrxsuppss 22357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( G supp 0 ) C_ I )
78	76, 77	unssd 3610	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) C_ I )
79	78	ssdifssd 3571	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) C_ I )
80	79	sselda 3432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> k e. I )
81	80, 64	syldan 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
82	78	ssdifd 3569	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) C_ ( I \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) )
83	82	sselda 3432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> k e. ( I \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) )
84		ssid 3451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 )
85	84	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) )
86		0cnd 9636	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> 0 e. CC )
87	30, 85, 46, 86	suppssr 6946	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( I \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) = 0 )
88	83, 87	syldan 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) = 0 )
89	81, 88	eqtrd 2485	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = 0 )
90	35, 75, 89, 34	fsumss 13791	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
91	90	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
92	20, 68, 91	3eqtrd 2489	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
93	92	fveq2d 5869	. 2 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )
94		fvex 5875	. . 3 |- ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) e. _V
95	94	a1i 11	. 2 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) e. _V )
96	12, 93, 21, 24, 95	ovmpt2d 6424	1 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F D G ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   u. cun 3402   C_ wss 3404   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   |-> cmpt2 6292   supp csupp 6914   ^m cmap 7472   Fincfn 7569   finSupp cfsupp 7883   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   - cmin 9860   2c2 10659   ^cexp 12272   sqrcsqrt 13296   sum_csu 13752   Basecbs 15121   distcds 15199   gsum_g cgsu 15339  RRfldcrefld 19172  ℝ^crrx 22342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-rnghom 17943  df-drng 17977  df-field 17978  df-subrg 18006  df-staf 18073  df-srng 18074  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-cnfld 18971  df-refld 19173  df-dsmm 19295  df-frlm 19310  df-nm 21597  df-tng 21599  df-tch 22147  df-rrx 22344

This theorem is referenced by:  rrxmfval  22360  rrxmet  22362  rrxdstprj1  22363