MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmfval Structured version   Unicode version

Theorem rrxmfval 21701
Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnval 30250. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
rrxmval.d  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
Assertion
Ref Expression
rrxmfval  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
f supp  0 )  u.  ( g supp  0 ) ) ( ( ( f `  k )  -  ( g `  k ) ) ^
2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, f,
g    f, h, k, g, I    f, V, g, h, k    f, X, g, k
Allowed substitution hints:    D( h, k)    X( h)

Proof of Theorem rrxmfval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) )
2 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
31, 2fnmpt2i 6864 . . . 4  |-  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) )  Fn  ( ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  X.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
) )
4 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (ℝ^ `  I
)  =  (ℝ^ `  I
)
5 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  =  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)
64, 5rrxds 21693 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) )  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x
)  -  ( g `
 x ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) ) )
7 rrxmval.d . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
86, 7syl6reqr 2527 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
94, 5rrxbase 21688 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  (ℝ^ `  I
) )  =  {
h  e.  ( RR 
^m  I )  |  h finSupp  0 } )
10 rrxmval.1 . . . . . . 7  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
119, 10syl6reqr 2527 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  X  =  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) )
1211, 11xpeq12d 5030 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( X  X.  X )  =  ( ( Base `  (ℝ^ `  I ) )  X.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ) )
138, 12fneq12d 5679 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( D  Fn  ( X  X.  X )  <->  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) )  Fn  ( ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  X.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
) ) ) )
143, 13mpbiri 233 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  D  Fn  ( X  X.  X
) )
15 fnov 6405 . . 3  |-  ( D  Fn  ( X  X.  X )  <->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( f D g ) ) )
1614, 15sylib 196 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( f D g ) ) )
1710, 7rrxmval 21700 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  f  e.  X  /\  g  e.  X )  ->  ( f D g )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( f supp  0 )  u.  ( g supp  0
) ) ( ( ( f `  k
)  -  ( g `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
1817mpt2eq3dva 6356 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
f  e.  X , 
g  e.  X  |->  ( f D g ) )  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( f supp  0 )  u.  ( g supp  0
) ) ( ( ( f `  k
)  -  ( g `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
1916, 18eqtrd 2508 1  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
f supp  0 )  u.  ( g supp  0 ) ) ( ( ( f `  k )  -  ( g `  k ) ) ^
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821    u. cun 3479   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   supp csupp 6913    ^m cmap 7432   finSupp cfsupp 7841   RRcr 9503   0cc0 9504    - cmin 9817   2c2 10597   ^cexp 12146   sqrcsqrt 13046   sum_csu 13488   Basecbs 14507   distcds 14581    gsumg cgsu 14713  RRfldcrefld 18509  ℝ^crrx 21683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-rnghom 17236  df-drng 17269  df-field 17270  df-subrg 17298  df-staf 17365  df-srng 17366  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-cnfld 18291  df-refld 18510  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-nm 20971  df-tng 20973  df-tch 21484  df-rrx 21685
This theorem is referenced by:  rrxmet  21703
  Copyright terms: Public domain W3C validator