MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmfval Structured version   Unicode version

Theorem rrxmfval 21040
Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnval 28894. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
rrxmval.d  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
Assertion
Ref Expression
rrxmfval  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
f supp  0 )  u.  ( g supp  0 ) ) ( ( ( f `  k )  -  ( g `  k ) ) ^
2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, f,
g    f, h, k, g, I    f, V, g, h, k    f, X, g, k
Allowed substitution hints:    D( h, k)    X( h)

Proof of Theorem rrxmfval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) )
2 fvex 5812 . . . . 5  |-  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `
 x )  -  ( g `  x
) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
31, 2fnmpt2i 6756 . . . 4  |-  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) )  Fn  ( ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  X.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
) )
4 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (ℝ^ `  I
)  =  (ℝ^ `  I
)
5 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  =  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)
64, 5rrxds 21032 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) )  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x
)  -  ( g `
 x ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) ) )
7 rrxmval.d . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
86, 7syl6reqr 2514 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
94, 5rrxbase 21027 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  (ℝ^ `  I
) )  =  {
h  e.  ( RR 
^m  I )  |  h finSupp  0 } )
10 rrxmval.1 . . . . . . 7  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
119, 10syl6reqr 2514 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  X  =  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) )
1211, 11xpeq12d 4976 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( X  X.  X )  =  ( ( Base `  (ℝ^ `  I ) )  X.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ) )
138, 12fneq12d 5614 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( D  Fn  ( X  X.  X )  <->  ( f  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I ) ) ,  g  e.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  |->  ( sqr `  (RRfld  gsumg  (
x  e.  I  |->  ( ( ( f `  x )  -  (
g `  x )
) ^ 2 ) ) ) ) )  Fn  ( ( Base `  (ℝ^ `  I )
)  X.  ( Base `  (ℝ^ `  I )
) ) ) )
143, 13mpbiri 233 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  D  Fn  ( X  X.  X
) )
15 fnov 6311 . . 3  |-  ( D  Fn  ( X  X.  X )  <->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( f D g ) ) )
1614, 15sylib 196 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( f D g ) ) )
1710, 7rrxmval 21039 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  f  e.  X  /\  g  e.  X )  ->  ( f D g )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( f supp  0 )  u.  ( g supp  0
) ) ( ( ( f `  k
)  -  ( g `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
1817mpt2eq3dva 6262 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
f  e.  X , 
g  e.  X  |->  ( f D g ) )  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( f supp  0 )  u.  ( g supp  0
) ) ( ( ( f `  k
)  -  ( g `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
1916, 18eqtrd 2495 1  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( f  e.  X ,  g  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
f supp  0 )  u.  ( g supp  0 ) ) ( ( ( f `  k )  -  ( g `  k ) ) ^
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803    u. cun 3437   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949    Fn wfn 5524   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   supp csupp 6803    ^m cmap 7327   finSupp cfsupp 7734   RRcr 9395   0cc0 9396    - cmin 9709   2c2 10485   ^cexp 11985   sqrcsqr 12843   sum_csu 13284   Basecbs 14295   distcds 14369    gsumg cgsu 14501  RRfldcrefld 18162  ℝ^crrx 21022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-rp 11106  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-sum 13285  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-prds 14508  df-pws 14510  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-subg 15800  df-ghm 15867  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-cring 16774  df-oppr 16841  df-dvdsr 16859  df-unit 16860  df-invr 16890  df-dvr 16901  df-rnghom 16932  df-drng 16960  df-field 16961  df-subrg 16989  df-staf 17056  df-srng 17057  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-cnfld 17947  df-refld 18163  df-dsmm 18285  df-frlm 18300  df-nm 20310  df-tng 20312  df-tch 20823  df-rrx 21024
This theorem is referenced by:  rrxmet  21042
  Copyright terms: Public domain W3C validator