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Theorem rrxmet 21961
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
rrxmval.d  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
Assertion
Ref Expression
rrxmet  |-  ( I  e.  V  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
Distinct variable groups:    h, I    h, V
Allowed substitution hints:    D( h)    X( h)

Proof of Theorem rrxmet
Dummy variables  k  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxmval.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
2 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
31, 2rrxfsupp 21955 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  e. 
Fin )
4 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
51, 4rrxfsupp 21955 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  e. 
Fin )
6 unfi 7805 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x supp  0 )  e.  Fin  /\  (
y supp  0 )  e. 
Fin )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  e.  Fin )
73, 5, 6syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  e.  Fin )
81, 2rrxsuppss 21956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  C_  I )
91, 4rrxsuppss 21956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  C_  I )
108, 9unssd 3676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  I
)
1110sselda 3499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )  ->  k  e.  I
)
121, 2rrxf 21954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x : I --> RR )
1312ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
x `  k )  e.  RR )
141, 4rrxf 21954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y : I --> RR )
1514ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
y `  k )  e.  RR )
1613, 15resubcld 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  RR )
1716resqcld 12339 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
1811, 17syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )  ->  ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 )  e.  RR )
197, 18fsumrecl 13568 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
2016sqge0d 12340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  0  <_  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
2111, 20syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )
227, 18, 21fsumge0 13621 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )
2319, 22resqrtcld 13261 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
2423ralrimivva 2878 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr ` 
sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
25 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
2625fmpt2 6866 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  RR  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
2724, 26sylib 196 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
28 rrxmval.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
291, 28rrxmfval 21959 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) ) )
3029feq1d 5723 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR ) )
3127, 30mpbird 232 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
32 sqrt00 13109 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  -> 
( ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
3319, 22, 32syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
347, 18, 21fsum00 13624 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 )  =  0  <->  A. k  e.  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
3516recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  CC )
36 sqeq0 12235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  CC  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  =  0 ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  =  0 ) )
3813recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
x `  k )  e.  CC )
3915recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
y `  k )  e.  CC )
4038, 39subeq0ad 9960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
)  =  0  <->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
4137, 40bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
4211, 41syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )  ->  ( ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
4342ralbidva 2893 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. k  e.  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0  <->  A. k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( x `
 k )  =  ( y `  k
) ) )
4433, 34, 433bitrd 279 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  =  0  <->  A. k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( x `
 k )  =  ( y `  k
) ) )
451, 28rrxmval 21958 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
46453expb 1197 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) )
4746eqeq1d 2459 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  0 ) )
48 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( x : I --> RR  ->  x  Fn  I )
4912, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  Fn  I )
50 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( y : I --> RR  ->  y  Fn  I )
5114, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  Fn  I )
52 eqfnfv 5982 . . . . . . 7  |-  ( ( x  Fn  I  /\  y  Fn  I )  ->  ( x  =  y  <->  A. k  e.  I 
( x `  k
)  =  ( y `
 k ) ) )
5349, 51, 52syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  =  y  <->  A. k  e.  I  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
54 ssun1 3663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x supp  0 )  C_  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  C_  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )
56 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  I  e.  V )
57 0red 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  0  e.  RR )
5812, 55, 56, 57suppssr 6949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( I  \  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ) )  ->  ( x `  k )  =  0 )
59 ssun2 3664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y supp  0 )  C_  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  C_  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )
6114, 60, 56, 57suppssr 6949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( I  \  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ) )  ->  ( y `  k )  =  0 )
6258, 61eqtr4d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( I  \  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ) )  ->  ( x `  k )  =  ( y `  k ) )
6362ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  A. k  e.  ( I  \  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ) ( x `  k )  =  ( y `  k ) )
6410, 63raldifeq 3920 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. k  e.  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( x `
 k )  =  ( y `  k
)  <->  A. k  e.  I 
( x `  k
)  =  ( y `
 k ) ) )
6553, 64bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  =  y  <->  A. k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
6644, 47, 653bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y ) )
6773adant2 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  e.  Fin )
68 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  z  e.  X )
691, 68rrxfsupp 21955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z supp  0 )  e. 
Fin )
70 unfi 7805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  e. 
Fin  /\  ( z supp  0 )  e.  Fin )  ->  ( ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  e. 
Fin )
7167, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  e.  Fin )
72713expa 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) )  e.  Fin )
7372an32s 804 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  e.  Fin )
7410adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  I
)
75 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
761, 75rrxsuppss 21956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
z supp  0 )  C_  I )
7774, 76unssd 3676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  C_  I )
7877sselda 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  k  e.  I )
7913adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x `  k )  e.  RR )
801, 75rrxf 21954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z : I --> RR )
8180ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( z `  k )  e.  RR )
8279, 81resubcld 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
x `  k )  -  ( z `  k ) )  e.  RR )
8378, 82syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  e.  RR )
8415adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( y `  k )  e.  RR )
8581, 84resubcld 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
z `  k )  -  ( y `  k ) )  e.  RR )
8678, 85syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  (
( z `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  RR )
8773, 83, 86trirn 21953 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( ( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  +  ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ) ^
2 ) )  <_ 
( ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( z `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
8838adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x `  k )  e.  CC )
8981recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( z `  k )  e.  CC )
9039adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( y `  k )  e.  CC )
9188, 89, 90npncand 9974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  +  ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) )  =  ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) )
9291oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
)  +  ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
9378, 92syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( z `  k
) )  +  ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )
9493sumeq2dv 13537 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( ( x `  k )  -  (
z `  k )
)  +  ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )
9594fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( ( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  +  ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ) ^
2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
96 sqsubswap 12232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x `  k
)  e.  CC  /\  ( z `  k
)  e.  CC )  ->  ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) ) ^
2 )  =  ( ( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )
9788, 89, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )
9878, 97syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )
9998sumeq2dv 13537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( z `
 k ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )
10099fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) ) )
101100oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( z `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
10287, 95, 1013brtr3d 4485 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  <_ 
( ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
10346adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) )
104 simp1 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  I  e.  V )
10523adant2 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
10643adant2 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
1071, 105rrxsuppss 21956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  C_  I )
1081, 106rrxsuppss 21956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  C_  I )
109107, 108unssd 3676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  I
)
1101, 68rrxsuppss 21956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z supp  0 )  C_  I )
111109, 110unssd 3676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  C_  I )
112 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) )  C_  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) )
113112a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )
1141, 28, 104, 105, 106, 111, 71, 113rrxmetlem 21960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )
115114fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
1161153expa 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
117116an32s 804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
118103, 117eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
1191, 28rrxmval 21958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( x supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
1201193adant3r 1225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z D x )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( x supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) ) )
1211, 28rrxmval 21958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
1221213adant3l 1224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) )
123120, 122oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( x supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) ) )
124 ssun2 3664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z supp  0 )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z supp  0 )  C_  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) )
12654, 112sstri 3508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x supp  0 )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  C_  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) )
128125, 127unssd 3676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z supp  0 )  u.  ( x supp  0
) )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )
1291, 28, 104, 68, 105, 111, 71, 128rrxmetlem 21960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( z supp  0
)  u.  ( x supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )
130129fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( x supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) ) )
13159, 112sstri 3508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y supp  0 )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  C_  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) )
133125, 132unssd 3676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )
1341, 28, 104, 68, 106, 111, 71, 133rrxmetlem 21960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( z supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )
135134fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
136130, 135oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( x supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
137123, 136eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
1381373expa 1196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
139138an32s 804 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
140102, 118, 1393brtr4d 4486 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
141140ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
14266, 141jca 532 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
143142ralrimivva 2878 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
144 ovex 6324 . . . 4  |-  ( RR 
^m  I )  e. 
_V
1451, 144rabex2 4609 . . 3  |-  X  e. 
_V
146 ismet 20952 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
147145, 146ax-mp 5 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
14831, 143, 147sylanbrc 664 1  |-  ( I  e.  V  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    X. cxp 5006    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   supp csupp 6917    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512    <_ cle 9646    - cmin 9824   2c2 10606   ^cexp 12169   sqrcsqrt 13078   sum_csu 13520   distcds 14721   Metcme 18531  ℝ^crrx 21941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ico 11560  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-field 17526  df-subrg 17554  df-staf 17621  df-srng 17622  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-met 18540  df-cnfld 18548  df-refld 18768  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-nm 21229  df-tng 21231  df-tch 21742  df-rrx 21943
This theorem is referenced by:  rrxdstprj1  21962
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