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Theorem rrxmet 20919
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
rrxmval.d  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
Assertion
Ref Expression
rrxmet  |-  ( I  e.  V  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
Distinct variable groups:    h, I    h, V
Allowed substitution hints:    D( h)    X( h)

Proof of Theorem rrxmet
Dummy variables  k  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxmval.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
2 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
31, 2rrxfsupp 20913 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  e. 
Fin )
4 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
51, 4rrxfsupp 20913 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  e. 
Fin )
6 unfi 7591 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x supp  0 )  e.  Fin  /\  (
y supp  0 )  e. 
Fin )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  e.  Fin )
73, 5, 6syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  e.  Fin )
81, 2rrxsuppss 20914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  C_  I )
91, 4rrxsuppss 20914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  C_  I )
108, 9unssd 3544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  I
)
1110sselda 3368 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )  ->  k  e.  I
)
121, 2rrxf 20912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x : I --> RR )
1312ffvelrnda 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
x `  k )  e.  RR )
141, 4rrxf 20912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y : I --> RR )
1514ffvelrnda 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
y `  k )  e.  RR )
1613, 15resubcld 9788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  RR )
1716resqcld 12046 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
1811, 17syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )  ->  ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 )  e.  RR )
197, 18fsumrecl 13223 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
2016sqge0d 12047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  0  <_  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
2111, 20syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )
227, 18, 21fsumge0 13270 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )
2319, 22resqrcld 12916 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
2423ralrimivva 2820 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr ` 
sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
25 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
2625fmpt2 6653 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  RR  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
2724, 26sylib 196 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
28 rrxmval.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
291, 28rrxmfval 20917 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) ) )
3029feq1d 5558 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR ) )
3127, 30mpbird 232 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
32 sqr00 12765 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  -> 
( ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
3319, 22, 32syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
347, 18, 21fsum00 13273 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 )  =  0  <->  A. k  e.  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
3533, 34bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  =  0  <->  A. k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
3616recnd 9424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  CC )
37 sqeq0 11942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  CC  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  =  0 ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  =  0 ) )
3913recnd 9424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
x `  k )  e.  CC )
4015recnd 9424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
y `  k )  e.  CC )
4139, 40subeq0ad 9741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
)  =  0  <->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
4238, 41bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
4311, 42syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )  ->  ( ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
4443ralbidva 2743 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. k  e.  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0  <->  A. k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( x `
 k )  =  ( y `  k
) ) )
4535, 44bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  =  0  <->  A. k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( x `
 k )  =  ( y `  k
) ) )
461, 28rrxmval 20916 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
47463expb 1188 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) )
4847eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  0 ) )
49 ffn 5571 . . . . . . . 8  |-  ( x : I --> RR  ->  x  Fn  I )
5012, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  Fn  I )
51 ffn 5571 . . . . . . . 8  |-  ( y : I --> RR  ->  y  Fn  I )
5214, 51syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  Fn  I )
53 eqfnfv 5809 . . . . . . 7  |-  ( ( x  Fn  I  /\  y  Fn  I )  ->  ( x  =  y  <->  A. k  e.  I 
( x `  k
)  =  ( y `
 k ) ) )
5450, 52, 53syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  =  y  <->  A. k  e.  I  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
55 ssun1 3531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x supp  0 )  C_  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  C_  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )
57 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  I  e.  V )
58 0red 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  0  e.  RR )
5912, 56, 57, 58suppssr 6732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( I  \  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ) )  ->  ( x `  k )  =  0 )
60 ssun2 3532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y supp  0 )  C_  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  C_  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )
6214, 61, 57, 58suppssr 6732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( I  \  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ) )  ->  ( y `  k )  =  0 )
6359, 62eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( I  \  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ) )  ->  ( x `  k )  =  ( y `  k ) )
6463ralrimiva 2811 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  A. k  e.  ( I  \  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ) ( x `  k )  =  ( y `  k ) )
6510, 64raldifeq 3780 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. k  e.  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( x `
 k )  =  ( y `  k
)  <->  A. k  e.  I 
( x `  k
)  =  ( y `
 k ) ) )
6654, 65bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  =  y  <->  A. k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
6745, 48, 663bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y ) )
6873adant2 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  e.  Fin )
69 simp1 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  I  e.  V )
70 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  z  e.  X )
7123adant2 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
72 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( z  e.  X  /\  x  e.  X
) )  ->  z  e.  X )
731, 72rrxfsupp 20913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( z  e.  X  /\  x  e.  X
) )  ->  (
z supp  0 )  e. 
Fin )
7469, 70, 71, 73syl12anc 1216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z supp  0 )  e. 
Fin )
75 unfi 7591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  e. 
Fin  /\  ( z supp  0 )  e.  Fin )  ->  ( ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  e. 
Fin )
7668, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  e.  Fin )
77763expa 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) )  e.  Fin )
7877an32s 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  e.  Fin )
7910adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  I
)
80 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
811, 80rrxsuppss 20914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
z supp  0 )  C_  I )
8279, 81unssd 3544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  C_  I )
8382sselda 3368 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  k  e.  I )
8413adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x `  k )  e.  RR )
851, 80rrxf 20912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z : I --> RR )
8685ffvelrnda 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( z `  k )  e.  RR )
8784, 86resubcld 9788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
x `  k )  -  ( z `  k ) )  e.  RR )
8883, 87syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  e.  RR )
8915adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( y `  k )  e.  RR )
9086, 89resubcld 9788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
z `  k )  -  ( y `  k ) )  e.  RR )
9183, 90syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  (
( z `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  RR )
9278, 88, 91trirn 20911 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( ( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  +  ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ) ^
2 ) )  <_ 
( ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( z `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
9339adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x `  k )  e.  CC )
9486recnd 9424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( z `  k )  e.  CC )
9540adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( y `  k )  e.  CC )
9693, 94, 95npncand 9755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  +  ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) )  =  ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) )
9796oveq1d 6118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
)  +  ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
9883, 97syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( z `  k
) )  +  ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )
9998sumeq2dv 13192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( ( x `  k )  -  (
z `  k )
)  +  ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )
10099fveq2d 5707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( ( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  +  ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ) ^
2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
101 sqsubswap 11939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x `  k
)  e.  CC  /\  ( z `  k
)  e.  CC )  ->  ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) ) ^
2 )  =  ( ( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )
10293, 94, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )
10383, 102syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )
104103sumeq2dv 13192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( z `
 k ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )
105104fveq2d 5707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) ) )
106105oveq1d 6118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( z `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
10792, 100, 1063brtr3d 4333 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  <_ 
( ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
10847adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) )
10943adant2 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
1101, 71rrxsuppss 20914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  C_  I )
1111, 109rrxsuppss 20914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  C_  I )
112110, 111unssd 3544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  I
)
1131, 70rrxsuppss 20914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z supp  0 )  C_  I )
114112, 113unssd 3544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  C_  I )
115 ssun1 3531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) )  C_  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) )
116115a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )
1171, 28, 69, 71, 109, 114, 76, 116rrxmetlem 20918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )
118117fveq2d 5707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
1191183expa 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
120119an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
121108, 120eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
1221, 28rrxmval 20916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( x supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
1231223adant3r 1215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z D x )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( x supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) ) )
1241, 28rrxmval 20916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
1251243adant3l 1214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) )
126123, 125oveq12d 6121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( x supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) ) )
127 ssun2 3532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z supp  0 )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z supp  0 )  C_  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) )
12955, 115sstri 3377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x supp  0 )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  C_  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) )
131128, 130unssd 3544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z supp  0 )  u.  ( x supp  0
) )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )
1321, 28, 69, 70, 71, 114, 76, 131rrxmetlem 20918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( z supp  0
)  u.  ( x supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )
133132fveq2d 5707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( x supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) ) )
13460, 115sstri 3377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y supp  0 )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  C_  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) )
136128, 135unssd 3544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )
1371, 28, 69, 70, 109, 114, 76, 136rrxmetlem 20918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( z supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )
138137fveq2d 5707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
139133, 138oveq12d 6121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( x supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
140126, 139eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
1411403expa 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
142141an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
143107, 121, 1423brtr4d 4334 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
144143ralrimiva 2811 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
14567, 144jca 532 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
146145ralrimivva 2820 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
147 ovex 6128 . . . . 5  |-  ( RR 
^m  I )  e. 
_V
148147rabex 4455 . . . 4  |-  { h  e.  ( RR  ^m  I
)  |  h finSupp  0 }  e.  _V
1491, 148eqeltri 2513 . . 3  |-  X  e. 
_V
150 ismet 19910 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
151149, 150ax-mp 5 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
15231, 146, 151sylanbrc 664 1  |-  ( I  e.  V  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   {crab 2731   _Vcvv 2984    \ cdif 3337    u. cun 3338    C_ wss 3340   class class class wbr 4304    X. cxp 4850    Fn wfn 5425   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    e. cmpt2 6105   supp csupp 6702    ^m cmap 7226   Fincfn 7322   finSupp cfsupp 7632   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294    + caddc 9297    <_ cle 9431    - cmin 9607   2c2 10383   ^cexp 11877   sqrcsqr 12734   sum_csu 13175   distcds 14259   Metcme 17814  ℝ^crrx 20899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-tpos 6757  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-rp 11004  df-ico 11318  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-sum 13176  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-prds 14398  df-pws 14400  df-mnd 15427  df-mhm 15476  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-subg 15690  df-ghm 15757  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-cring 16660  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-invr 16776  df-dvr 16787  df-rnghom 16818  df-drng 16846  df-field 16847  df-subrg 16875  df-staf 16942  df-srng 16943  df-lmod 16962  df-lss 17026  df-sra 17265  df-rgmod 17266  df-met 17823  df-cnfld 17831  df-refld 18047  df-dsmm 18169  df-frlm 18184  df-nm 20187  df-tng 20189  df-tch 20700  df-rrx 20901
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