MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmet Structured version   Unicode version

Theorem rrxmet 21662
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
rrxmval.d  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
Assertion
Ref Expression
rrxmet  |-  ( I  e.  V  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
Distinct variable groups:    h, I    h, V
Allowed substitution hints:    D( h)    X( h)

Proof of Theorem rrxmet
Dummy variables  k  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxmval.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
2 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
31, 2rrxfsupp 21656 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  e. 
Fin )
4 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
51, 4rrxfsupp 21656 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  e. 
Fin )
6 unfi 7788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x supp  0 )  e.  Fin  /\  (
y supp  0 )  e. 
Fin )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  e.  Fin )
73, 5, 6syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  e.  Fin )
81, 2rrxsuppss 21657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  C_  I )
91, 4rrxsuppss 21657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  C_  I )
108, 9unssd 3680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  I
)
1110sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )  ->  k  e.  I
)
121, 2rrxf 21655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x : I --> RR )
1312ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
x `  k )  e.  RR )
141, 4rrxf 21655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y : I --> RR )
1514ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
y `  k )  e.  RR )
1613, 15resubcld 9988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  RR )
1716resqcld 12305 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
1811, 17syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )  ->  ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 )  e.  RR )
197, 18fsumrecl 13522 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
2016sqge0d 12306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  0  <_  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
2111, 20syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )
227, 18, 21fsumge0 13575 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )
2319, 22resqrtcld 13215 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
2423ralrimivva 2885 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr ` 
sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
25 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
2625fmpt2 6852 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  RR  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
2724, 26sylib 196 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
28 rrxmval.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
291, 28rrxmfval 21660 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) ) )
3029feq1d 5717 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR ) )
3127, 30mpbird 232 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
32 sqrt00 13063 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  -> 
( ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
3319, 22, 32syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
347, 18, 21fsum00 13578 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 )  =  0  <->  A. k  e.  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
3533, 34bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  =  0  <->  A. k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
3616recnd 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  CC )
37 sqeq0 12201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  CC  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  =  0 ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  =  0 ) )
3913recnd 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
x `  k )  e.  CC )
4015recnd 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
y `  k )  e.  CC )
4139, 40subeq0ad 9941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
)  =  0  <->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
4238, 41bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
4311, 42syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )  ->  ( ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
4443ralbidva 2900 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. k  e.  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0  <->  A. k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( x `
 k )  =  ( y `  k
) ) )
4535, 44bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  =  0  <->  A. k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( x `
 k )  =  ( y `  k
) ) )
461, 28rrxmval 21659 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
47463expb 1197 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) )
4847eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  0 ) )
49 ffn 5731 . . . . . . . 8  |-  ( x : I --> RR  ->  x  Fn  I )
5012, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  Fn  I )
51 ffn 5731 . . . . . . . 8  |-  ( y : I --> RR  ->  y  Fn  I )
5214, 51syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  Fn  I )
53 eqfnfv 5976 . . . . . . 7  |-  ( ( x  Fn  I  /\  y  Fn  I )  ->  ( x  =  y  <->  A. k  e.  I 
( x `  k
)  =  ( y `
 k ) ) )
5450, 52, 53syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  =  y  <->  A. k  e.  I  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
55 ssun1 3667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x supp  0 )  C_  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  C_  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )
57 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  I  e.  V )
58 0red 9598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  0  e.  RR )
5912, 56, 57, 58suppssr 6932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( I  \  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ) )  ->  ( x `  k )  =  0 )
60 ssun2 3668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y supp  0 )  C_  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  C_  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) )
6214, 61, 57, 58suppssr 6932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( I  \  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ) )  ->  ( y `  k )  =  0 )
6359, 62eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  ( I  \  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ) )  ->  ( x `  k )  =  ( y `  k ) )
6463ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  A. k  e.  ( I  \  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ) ( x `  k )  =  ( y `  k ) )
6510, 64raldifeq 3916 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. k  e.  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( x `
 k )  =  ( y `  k
)  <->  A. k  e.  I 
( x `  k
)  =  ( y `
 k ) ) )
6654, 65bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  =  y  <->  A. k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
6745, 48, 663bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y ) )
6873adant2 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  e.  Fin )
69 simp1 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  I  e.  V )
70 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  z  e.  X )
7123adant2 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
72 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( z  e.  X  /\  x  e.  X
) )  ->  z  e.  X )
731, 72rrxfsupp 21656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( z  e.  X  /\  x  e.  X
) )  ->  (
z supp  0 )  e. 
Fin )
7469, 70, 71, 73syl12anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z supp  0 )  e. 
Fin )
75 unfi 7788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  e. 
Fin  /\  ( z supp  0 )  e.  Fin )  ->  ( ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  e. 
Fin )
7668, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  e.  Fin )
77763expa 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) )  e.  Fin )
7877an32s 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  e.  Fin )
7910adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  I
)
80 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
811, 80rrxsuppss 21657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
z supp  0 )  C_  I )
8279, 81unssd 3680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  C_  I )
8382sselda 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  k  e.  I )
8413adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x `  k )  e.  RR )
851, 80rrxf 21655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z : I --> RR )
8685ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( z `  k )  e.  RR )
8784, 86resubcld 9988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
x `  k )  -  ( z `  k ) )  e.  RR )
8883, 87syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  e.  RR )
8915adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( y `  k )  e.  RR )
9086, 89resubcld 9988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
z `  k )  -  ( y `  k ) )  e.  RR )
9183, 90syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  (
( z `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  RR )
9278, 88, 91trirn 21654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( ( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  +  ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ) ^
2 ) )  <_ 
( ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( z `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
9339adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x `  k )  e.  CC )
9486recnd 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( z `  k )  e.  CC )
9540adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( y `  k )  e.  CC )
9693, 94, 95npncand 9955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  +  ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) )  =  ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) )
9796oveq1d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
)  +  ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
9883, 97syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( z `  k
) )  +  ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )
9998sumeq2dv 13491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( ( x `  k )  -  (
z `  k )
)  +  ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )
10099fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( ( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  +  ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ) ^
2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
101 sqsubswap 12198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x `  k
)  e.  CC  /\  ( z `  k
)  e.  CC )  ->  ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) ) ^
2 )  =  ( ( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )
10293, 94, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )
10383, 102syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )
104103sumeq2dv 13491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( z `
 k ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )
105104fveq2d 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) ) )
106105oveq1d 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( z `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
10792, 100, 1063brtr3d 4476 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  <_ 
( ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
10847adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) )
10943adant2 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
1101, 71rrxsuppss 21657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  C_  I )
1111, 109rrxsuppss 21657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  C_  I )
112110, 111unssd 3680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  I
)
1131, 70rrxsuppss 21657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z supp  0 )  C_  I )
114112, 113unssd 3680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )  C_  I )
115 ssun1 3667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) )  C_  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) )
116115a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )
1171, 28, 69, 71, 109, 114, 76, 116rrxmetlem 21661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )
118117fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
1191183expa 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
x supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
120119an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
121108, 120eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
1221, 28rrxmval 21659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( x supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
1231223adant3r 1225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z D x )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( x supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) ) )
1241, 28rrxmval 21659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
1251243adant3l 1224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z D y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) )
126123, 125oveq12d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( x supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) ) )
127 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z supp  0 )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z supp  0 )  C_  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) )
12955, 115sstri 3513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x supp  0 )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x supp  0 )  C_  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) )
131128, 130unssd 3680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z supp  0 )  u.  ( x supp  0
) )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )
1321, 28, 69, 70, 71, 114, 76, 131rrxmetlem 21661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( z supp  0
)  u.  ( x supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )
133132fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( x supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) ) )
13460, 115sstri 3513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y supp  0 )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) )
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y supp  0 )  C_  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) )
136128, 135unssd 3680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  C_  (
( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) )
1371, 28, 69, 70, 109, 114, 76, 136rrxmetlem 21661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( z supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) )
138137fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( z supp  0 )  u.  ( y supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
139133, 138oveq12d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( x supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
z supp  0 )  u.  ( y supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
140126, 139eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
1411403expa 1196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  z  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0 )  u.  (
y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0
) ) ( ( ( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
142141an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( ( x supp  0
)  u.  ( y supp  0 ) )  u.  ( z supp  0 ) ) ( ( ( z `  k )  -  ( x `  k ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  ( (
( x supp  0 )  u.  ( y supp  0
) )  u.  (
z supp  0 ) ) ( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
143107, 121, 1423brtr4d 4477 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
144143ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
14567, 144jca 532 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
146145ralrimivva 2885 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
147 ovex 6310 . . . . 5  |-  ( RR 
^m  I )  e. 
_V
148147rabex 4598 . . . 4  |-  { h  e.  ( RR  ^m  I
)  |  h finSupp  0 }  e.  _V
1491, 148eqeltri 2551 . . 3  |-  X  e. 
_V
150 ismet 20653 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
151149, 150ax-mp 5 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
15231, 146, 151sylanbrc 664 1  |-  ( I  e.  V  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    X. cxp 4997    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   supp csupp 6902    ^m cmap 7421   Fincfn 7517   finSupp cfsupp 7830   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493    + caddc 9496    <_ cle 9630    - cmin 9806   2c2 10586   ^cexp 12135   sqrcsqrt 13032   sum_csu 13474   distcds 14567   Metcme 18215  ℝ^crrx 21642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-rp 11222  df-ico 11536  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-prds 14706  df-pws 14708  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-cring 17015  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-unit 17104  df-invr 17134  df-dvr 17145  df-rnghom 17177  df-drng 17210  df-field 17211  df-subrg 17239  df-staf 17306  df-srng 17307  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-met 18224  df-cnfld 18232  df-refld 18448  df-dsmm 18570  df-frlm 18585  df-nm 20930  df-tng 20932  df-tch 21443  df-rrx 21644
This theorem is referenced by:  rrxdstprj1  21663
  Copyright terms: Public domain W3C validator