Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmet Structured version   Unicode version

Theorem rrxmet 21961
 Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 finSupp
rrxmval.d ℝ^
Assertion
Ref Expression
rrxmet
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem rrxmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 finSupp
2 simprl 756 . . . . . . . . 9
31, 2rrxfsupp 21955 . . . . . . . 8 supp
4 simprr 757 . . . . . . . . 9
51, 4rrxfsupp 21955 . . . . . . . 8 supp
6 unfi 7805 . . . . . . . 8 supp supp supp supp
73, 5, 6syl2anc 661 . . . . . . 7 supp supp
81, 2rrxsuppss 21956 . . . . . . . . . 10 supp
91, 4rrxsuppss 21956 . . . . . . . . . 10 supp
108, 9unssd 3676 . . . . . . . . 9 supp supp
1110sselda 3499 . . . . . . . 8 supp supp
121, 2rrxf 21954 . . . . . . . . . . 11
1312ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10
141, 4rrxf 21954 . . . . . . . . . . 11
1514ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10
1613, 15resubcld 10008 . . . . . . . . 9
1716resqcld 12339 . . . . . . . 8
1811, 17syldan 470 . . . . . . 7 supp supp
197, 18fsumrecl 13568 . . . . . 6 supp supp
2016sqge0d 12340 . . . . . . . 8
2111, 20syldan 470 . . . . . . 7 supp supp
227, 18, 21fsumge0 13621 . . . . . 6 supp supp
2319, 22resqrtcld 13261 . . . . 5 supp supp
2423ralrimivva 2878 . . . 4 supp supp
25 eqid 2457 . . . . 5 supp supp supp supp
2625fmpt2 6866 . . . 4 supp supp supp supp
2724, 26sylib 196 . . 3 supp supp
28 rrxmval.d . . . . 5 ℝ^
291, 28rrxmfval 21959 . . . 4 supp supp
3029feq1d 5723 . . 3 supp supp
3127, 30mpbird 232 . 2
32 sqrt00 13109 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp supp supp supp
3319, 22, 32syl2anc 661 . . . . . 6 supp supp supp supp
347, 18, 21fsum00 13624 . . . . . 6 supp supp supp supp
3516recnd 9639 . . . . . . . . . 10
36 sqeq0 12235 . . . . . . . . . 10
3735, 36syl 16 . . . . . . . . 9
3813recnd 9639 . . . . . . . . . 10
3915recnd 9639 . . . . . . . . . 10
4038, 39subeq0ad 9960 . . . . . . . . 9
4137, 40bitrd 253 . . . . . . . 8
4211, 41syldan 470 . . . . . . 7 supp supp
4342ralbidva 2893 . . . . . 6 supp supp supp supp
4433, 34, 433bitrd 279 . . . . 5 supp supp supp supp
451, 28rrxmval 21958 . . . . . . 7 supp supp
46453expb 1197 . . . . . 6 supp supp
4746eqeq1d 2459 . . . . 5 supp supp
48 ffn 5737 . . . . . . . 8
4912, 48syl 16 . . . . . . 7
50 ffn 5737 . . . . . . . 8
5114, 50syl 16 . . . . . . 7
52 eqfnfv 5982 . . . . . . 7
5349, 51, 52syl2anc 661 . . . . . 6
54 ssun1 3663 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
56 simpl 457 . . . . . . . . . 10
57 0red 9614 . . . . . . . . . 10
5812, 55, 56, 57suppssr 6949 . . . . . . . . 9 supp supp
59 ssun2 3664 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
6114, 60, 56, 57suppssr 6949 . . . . . . . . 9 supp supp
6258, 61eqtr4d 2501 . . . . . . . 8 supp supp
6362ralrimiva 2871 . . . . . . 7 supp supp
6410, 63raldifeq 3920 . . . . . 6 supp supp
6553, 64bitr4d 256 . . . . 5 supp supp
6644, 47, 653bitr4d 285 . . . 4
6773adant2 1015 . . . . . . . . . . 11 supp supp
68 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12
691, 68rrxfsupp 21955 . . . . . . . . . . 11 supp
70 unfi 7805 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp supp supp supp
7167, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
72713expa 1196 . . . . . . . . 9 supp supp supp
7372an32s 804 . . . . . . . 8 supp supp supp
7410adantr 465 . . . . . . . . . . 11 supp supp
75 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
761, 75rrxsuppss 21956 . . . . . . . . . . 11 supp
7774, 76unssd 3676 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
7877sselda 3499 . . . . . . . . 9 supp supp supp
7913adantlr 714 . . . . . . . . . 10
801, 75rrxf 21954 . . . . . . . . . . 11
8180ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10
8279, 81resubcld 10008 . . . . . . . . 9
8378, 82syldan 470 . . . . . . . 8 supp supp supp
8415adantlr 714 . . . . . . . . . 10
8581, 84resubcld 10008 . . . . . . . . 9
8678, 85syldan 470 . . . . . . . 8 supp supp supp
8773, 83, 86trirn 21953 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp supp supp supp supp
8838adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
8981recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12
9039adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
9188, 89, 90npncand 9974 . . . . . . . . . . 11
9291oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
9378, 92syldan 470 . . . . . . . . 9 supp supp supp
9493sumeq2dv 13537 . . . . . . . 8 supp supp supp supp supp supp
9594fveq2d 5876 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp supp
96 sqsubswap 12232 . . . . . . . . . . . 12
9788, 89, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
9878, 97syldan 470 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
9998sumeq2dv 13537 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp supp supp
10099fveq2d 5876 . . . . . . . 8 supp supp supp supp supp supp
101100oveq1d 6311 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp supp supp supp supp supp supp supp
10287, 95, 1013brtr3d 4485 . . . . . 6 supp supp supp supp supp supp supp supp supp
10346adantr 465 . . . . . . 7 supp supp
104 simp1 996 . . . . . . . . . . 11
10523adant2 1015 . . . . . . . . . . 11
10643adant2 1015 . . . . . . . . . . 11
1071, 105rrxsuppss 21956 . . . . . . . . . . . . 13 supp
1081, 106rrxsuppss 21956 . . . . . . . . . . . . 13 supp
109107, 108unssd 3676 . . . . . . . . . . . 12 supp supp
1101, 68rrxsuppss 21956 . . . . . . . . . . . 12 supp
111109, 110unssd 3676 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp
112 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . 12 supp supp supp supp supp
113112a1i 11 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp supp supp
1141, 28, 104, 105, 106, 111, 71, 113rrxmetlem 21960 . . . . . . . . . 10 supp supp supp supp supp
115114fveq2d 5876 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp supp
1161153expa 1196 . . . . . . . 8 supp supp supp supp supp
117116an32s 804 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp
118103, 117eqtrd 2498 . . . . . 6 supp supp supp
1191, 28rrxmval 21958 . . . . . . . . . . 11 supp supp
1201193adant3r 1225 . . . . . . . . . 10 supp supp
1211, 28rrxmval 21958 . . . . . . . . . . 11 supp supp
1221213adant3l 1224 . . . . . . . . . 10 supp supp
123120, 122oveq12d 6314 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp
124 ssun2 3664 . . . . . . . . . . . . . 14 supp supp supp supp
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp supp supp
12654, 112sstri 3508 . . . . . . . . . . . . . 14 supp supp supp supp
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp supp supp
128125, 127unssd 3676 . . . . . . . . . . . 12 supp supp supp supp supp
1291, 28, 104, 68, 105, 111, 71, 128rrxmetlem 21960 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp supp supp
130129fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10 supp supp supp supp supp
13159, 112sstri 3508 . . . . . . . . . . . . . 14 supp supp supp supp
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp supp supp
133125, 132unssd 3676 . . . . . . . . . . . 12 supp supp supp supp supp
1341, 28, 104, 68, 106, 111, 71, 133rrxmetlem 21960 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp supp supp
135134fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10 supp supp supp supp supp
136130, 135oveq12d 6314 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp supp supp supp supp supp supp
137123, 136eqtrd 2498 . . . . . . . 8 supp supp supp supp supp supp
1381373expa 1196 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp supp
139138an32s 804 . . . . . 6 supp supp supp supp supp supp
140102, 118, 1393brtr4d 4486 . . . . 5
141140ralrimiva 2871 . . . 4
14266, 141jca 532 . . 3
143142ralrimivva 2878 . 2
144 ovex 6324 . . . 4
1451, 144rabex2 4609 . . 3
146 ismet 20952 . . 3
147145, 146ax-mp 5 . 2
14831, 143, 147sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  crab 2811  cvv 3109   cdif 3468   cun 3469   wss 3471   class class class wbr 4456   cxp 5006   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298   supp csupp 6917   cmap 7438  cfn 7535   finSupp cfsupp 7847  cc 9507  cr 9508  cc0 9509   caddc 9512   cle 9646   cmin 9824  c2 10606  cexp 12169  csqrt 13078  csu 13520  cds 14721  cme 18531  ℝ^crrx 21941 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ico 11560  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-field 17526  df-subrg 17554  df-staf 17621  df-srng 17622  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-met 18540  df-cnfld 18548  df-refld 18768  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-nm 21229  df-tng 21231  df-tch 21742  df-rrx 21943 This theorem is referenced by:  rrxdstprj1  21962
 Copyright terms: Public domain W3C validator