Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmet Structured version   Unicode version

Theorem rrxmet 21662
 Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 finSupp
rrxmval.d ℝ^
Assertion
Ref Expression
rrxmet
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem rrxmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 finSupp
2 simprl 755 . . . . . . . . 9
31, 2rrxfsupp 21656 . . . . . . . 8 supp
4 simprr 756 . . . . . . . . 9
51, 4rrxfsupp 21656 . . . . . . . 8 supp
6 unfi 7788 . . . . . . . 8 supp supp supp supp
73, 5, 6syl2anc 661 . . . . . . 7 supp supp
81, 2rrxsuppss 21657 . . . . . . . . . 10 supp
91, 4rrxsuppss 21657 . . . . . . . . . 10 supp
108, 9unssd 3680 . . . . . . . . 9 supp supp
1110sselda 3504 . . . . . . . 8 supp supp
121, 2rrxf 21655 . . . . . . . . . . 11
1312ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10
141, 4rrxf 21655 . . . . . . . . . . 11
1514ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10
1613, 15resubcld 9988 . . . . . . . . 9
1716resqcld 12305 . . . . . . . 8
1811, 17syldan 470 . . . . . . 7 supp supp
197, 18fsumrecl 13522 . . . . . 6 supp supp
2016sqge0d 12306 . . . . . . . 8
2111, 20syldan 470 . . . . . . 7 supp supp
227, 18, 21fsumge0 13575 . . . . . 6 supp supp
2319, 22resqrtcld 13215 . . . . 5 supp supp
2423ralrimivva 2885 . . . 4 supp supp
25 eqid 2467 . . . . 5 supp supp supp supp
2625fmpt2 6852 . . . 4 supp supp supp supp
2724, 26sylib 196 . . 3 supp supp
28 rrxmval.d . . . . 5 ℝ^
291, 28rrxmfval 21660 . . . 4 supp supp
3029feq1d 5717 . . 3 supp supp
3127, 30mpbird 232 . 2
32 sqrt00 13063 . . . . . . . 8 supp supp supp supp supp supp supp supp
3319, 22, 32syl2anc 661 . . . . . . 7 supp supp supp supp
347, 18, 21fsum00 13578 . . . . . . 7 supp supp supp supp
3533, 34bitrd 253 . . . . . 6 supp supp supp supp
3616recnd 9623 . . . . . . . . . 10
37 sqeq0 12201 . . . . . . . . . 10
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9
3913recnd 9623 . . . . . . . . . 10
4015recnd 9623 . . . . . . . . . 10
4139, 40subeq0ad 9941 . . . . . . . . 9
4238, 41bitrd 253 . . . . . . . 8
4311, 42syldan 470 . . . . . . 7 supp supp
4443ralbidva 2900 . . . . . 6 supp supp supp supp
4535, 44bitrd 253 . . . . 5 supp supp supp supp
461, 28rrxmval 21659 . . . . . . 7 supp supp
47463expb 1197 . . . . . 6 supp supp
4847eqeq1d 2469 . . . . 5 supp supp
49 ffn 5731 . . . . . . . 8
5012, 49syl 16 . . . . . . 7
51 ffn 5731 . . . . . . . 8
5214, 51syl 16 . . . . . . 7
53 eqfnfv 5976 . . . . . . 7
5450, 52, 53syl2anc 661 . . . . . 6
55 ssun1 3667 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
57 simpl 457 . . . . . . . . . 10
58 0red 9598 . . . . . . . . . 10
5912, 56, 57, 58suppssr 6932 . . . . . . . . 9 supp supp
60 ssun2 3668 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
6214, 61, 57, 58suppssr 6932 . . . . . . . . 9 supp supp
6359, 62eqtr4d 2511 . . . . . . . 8 supp supp
6463ralrimiva 2878 . . . . . . 7 supp supp
6510, 64raldifeq 3916 . . . . . 6 supp supp
6654, 65bitr4d 256 . . . . 5 supp supp
6745, 48, 663bitr4d 285 . . . 4
6873adant2 1015 . . . . . . . . . . 11 supp supp
69 simp1 996 . . . . . . . . . . . 12
70 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12
7123adant2 1015 . . . . . . . . . . . 12
72 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13
731, 72rrxfsupp 21656 . . . . . . . . . . . 12 supp
7469, 70, 71, 73syl12anc 1226 . . . . . . . . . . 11 supp
75 unfi 7788 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp supp supp supp
7668, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
77763expa 1196 . . . . . . . . 9 supp supp supp
7877an32s 802 . . . . . . . 8 supp supp supp
7910adantr 465 . . . . . . . . . . 11 supp supp
80 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
811, 80rrxsuppss 21657 . . . . . . . . . . 11 supp
8279, 81unssd 3680 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
8382sselda 3504 . . . . . . . . 9 supp supp supp
8413adantlr 714 . . . . . . . . . 10
851, 80rrxf 21655 . . . . . . . . . . 11
8685ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10
8784, 86resubcld 9988 . . . . . . . . 9
8883, 87syldan 470 . . . . . . . 8 supp supp supp
8915adantlr 714 . . . . . . . . . 10
9086, 89resubcld 9988 . . . . . . . . 9
9183, 90syldan 470 . . . . . . . 8 supp supp supp
9278, 88, 91trirn 21654 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp supp supp supp supp
9339adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
9486recnd 9623 . . . . . . . . . . . 12
9540adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
9693, 94, 95npncand 9955 . . . . . . . . . . 11
9796oveq1d 6300 . . . . . . . . . 10
9883, 97syldan 470 . . . . . . . . 9 supp supp supp
9998sumeq2dv 13491 . . . . . . . 8 supp supp supp supp supp supp
10099fveq2d 5870 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp supp
101 sqsubswap 12198 . . . . . . . . . . . 12
10293, 94, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
10383, 102syldan 470 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
104103sumeq2dv 13491 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp supp supp
105104fveq2d 5870 . . . . . . . 8 supp supp supp supp supp supp
106105oveq1d 6300 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp supp supp supp supp supp supp supp
10792, 100, 1063brtr3d 4476 . . . . . 6 supp supp supp supp supp supp supp supp supp
10847adantr 465 . . . . . . 7 supp supp
10943adant2 1015 . . . . . . . . . . 11
1101, 71rrxsuppss 21657 . . . . . . . . . . . . 13 supp
1111, 109rrxsuppss 21657 . . . . . . . . . . . . 13 supp
112110, 111unssd 3680 . . . . . . . . . . . 12 supp supp
1131, 70rrxsuppss 21657 . . . . . . . . . . . 12 supp
114112, 113unssd 3680 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp
115 ssun1 3667 . . . . . . . . . . . 12 supp supp supp supp supp
116115a1i 11 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp supp supp
1171, 28, 69, 71, 109, 114, 76, 116rrxmetlem 21661 . . . . . . . . . 10 supp supp supp supp supp
118117fveq2d 5870 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp supp
1191183expa 1196 . . . . . . . 8 supp supp supp supp supp
120119an32s 802 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp
121108, 120eqtrd 2508 . . . . . 6 supp supp supp
1221, 28rrxmval 21659 . . . . . . . . . . 11 supp supp
1231223adant3r 1225 . . . . . . . . . 10 supp supp
1241, 28rrxmval 21659 . . . . . . . . . . 11 supp supp
1251243adant3l 1224 . . . . . . . . . 10 supp supp
126123, 125oveq12d 6303 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp
127 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . . . 14 supp supp supp supp
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp supp supp
12955, 115sstri 3513 . . . . . . . . . . . . . 14 supp supp supp supp
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp supp supp
131128, 130unssd 3680 . . . . . . . . . . . 12 supp supp supp supp supp
1321, 28, 69, 70, 71, 114, 76, 131rrxmetlem 21661 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp supp supp
133132fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10 supp supp supp supp supp
13460, 115sstri 3513 . . . . . . . . . . . . . 14 supp supp supp supp
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp supp supp
136128, 135unssd 3680 . . . . . . . . . . . 12 supp supp supp supp supp
1371, 28, 69, 70, 109, 114, 76, 136rrxmetlem 21661 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp supp supp
138137fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10 supp supp supp supp supp
139133, 138oveq12d 6303 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp supp supp supp supp supp supp
140126, 139eqtrd 2508 . . . . . . . 8 supp supp supp supp supp supp
1411403expa 1196 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp supp
142141an32s 802 . . . . . 6 supp supp supp supp supp supp
143107, 121, 1423brtr4d 4477 . . . . 5
144143ralrimiva 2878 . . . 4
14567, 144jca 532 . . 3
146145ralrimivva 2885 . 2
147 ovex 6310 . . . . 5
148147rabex 4598 . . . 4 finSupp
1491, 148eqeltri 2551 . . 3
150 ismet 20653 . . 3
151149, 150ax-mp 5 . 2
15231, 146, 151sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  crab 2818  cvv 3113   cdif 3473   cun 3474   wss 3476   class class class wbr 4447   cxp 4997   wfn 5583  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6285   cmpt2 6287   supp csupp 6902   cmap 7421  cfn 7517   finSupp cfsupp 7830  cc 9491  cr 9492  cc0 9493   caddc 9496   cle 9630   cmin 9806  c2 10586  cexp 12135  csqrt 13032  csu 13474  cds 14567  cme 18215  ℝ^crrx 21642 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-rp 11222  df-ico 11536  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-prds 14706  df-pws 14708  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-cring 17015  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-unit 17104  df-invr 17134  df-dvr 17145  df-rnghom 17177  df-drng 17210  df-field 17211  df-subrg 17239  df-staf 17306  df-srng 17307  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-met 18224  df-cnfld 18232  df-refld 18448  df-dsmm 18570  df-frlm 18585  df-nm 20930  df-tng 20932  df-tch 21443  df-rrx 21644 This theorem is referenced by:  rrxdstprj1  21663
 Copyright terms: Public domain W3C validator