Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdstprj1 Structured version   Unicode version

Theorem rrxdstprj1 22256
 Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 finSupp
rrxmval.d ℝ^
rrxdstprj1.1
Assertion
Ref Expression
rrxdstprj1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem rrxdstprj1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 766 . . 3 supp supp
2 simpr 462 . . 3 supp supp supp supp
3 simplr 760 . . 3 supp supp
4 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 finSupp
5 simprl 762 . . . . . . . . 9 supp supp
64, 5rrxfsupp 22249 . . . . . . . 8 supp supp supp
7 simprr 764 . . . . . . . . 9 supp supp
84, 7rrxfsupp 22249 . . . . . . . 8 supp supp supp
9 unfi 7844 . . . . . . . 8 supp supp supp supp
106, 8, 9syl2anc 665 . . . . . . 7 supp supp supp supp
114, 5rrxsuppss 22250 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
124, 7rrxsuppss 22250 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
1311, 12unssd 3648 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp
1413sselda 3470 . . . . . . . 8 supp supp supp supp
154, 5rrxf 22248 . . . . . . . . . . 11 supp supp
1615ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10 supp supp
174, 7rrxf 22248 . . . . . . . . . . 11 supp supp
1817ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10 supp supp
1916, 18resubcld 10046 . . . . . . . . 9 supp supp
2019resqcld 12439 . . . . . . . 8 supp supp
2114, 20syldan 472 . . . . . . 7 supp supp supp supp
2219sqge0d 12440 . . . . . . . 8 supp supp
2314, 22syldan 472 . . . . . . 7 supp supp supp supp
24 fveq2 5881 . . . . . . . . 9
25 fveq2 5881 . . . . . . . . 9
2624, 25oveq12d 6323 . . . . . . . 8
2726oveq1d 6320 . . . . . . 7
28 simplr 760 . . . . . . 7 supp supp supp supp
2910, 21, 23, 27, 28fsumge1 13835 . . . . . 6 supp supp supp supp
3013, 28sseldd 3471 . . . . . . . . 9 supp supp
3115, 30ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8 supp supp
3217, 30ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8 supp supp
3331, 32resubcld 10046 . . . . . . 7 supp supp
34 absresq 13344 . . . . . . 7
3533, 34syl 17 . . . . . 6 supp supp
3610, 21fsumrecl 13778 . . . . . . 7 supp supp supp supp
3710, 21, 23fsumge0 13833 . . . . . . 7 supp supp supp supp
38 resqrtth 13298 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp supp supp supp
3936, 37, 38syl2anc 665 . . . . . 6 supp supp supp supp supp supp
4029, 35, 393brtr4d 4456 . . . . 5 supp supp supp supp
4133recnd 9668 . . . . . . 7 supp supp
4241abscld 13476 . . . . . 6 supp supp
4336, 37resqrtcld 13458 . . . . . 6 supp supp supp supp
4441absge0d 13484 . . . . . 6 supp supp
4536, 37sqrtge0d 13461 . . . . . 6 supp supp supp supp
4642, 43, 44, 45le2sqd 12448 . . . . 5 supp supp supp supp supp supp
4740, 46mpbird 235 . . . 4 supp supp supp supp
48 rrxdstprj1.1 . . . . . 6
4948remetdval 21718 . . . . 5
5031, 32, 49syl2anc 665 . . . 4 supp supp
51 rrxmval.d . . . . . . 7 ℝ^
524, 51rrxmval 22252 . . . . . 6 supp supp
53523expb 1206 . . . . 5 supp supp
5453adantlr 719 . . . 4 supp supp supp supp
5547, 50, 543brtr4d 4456 . . 3 supp supp
561, 2, 3, 55syl21anc 1263 . 2 supp supp
57 simplll 766 . . . . . . 7 supp supp
58 simplrl 768 . . . . . . 7 supp supp
59 ssun1 3635 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 supp supp supp
6160sscond 3608 . . . . . . . 8 supp supp supp
6261sselda 3470 . . . . . . 7 supp supp supp
63 simpr 462 . . . . . . . . 9
644, 63rrxf 22248 . . . . . . . 8
65 ssid 3489 . . . . . . . . 9 supp supp
6665a1i 11 . . . . . . . 8 supp supp
67 simpl 458 . . . . . . . 8
68 0red 9643 . . . . . . . 8
6964, 66, 67, 68suppssr 6957 . . . . . . 7 supp
7057, 58, 62, 69syl21anc 1263 . . . . . 6 supp supp
71 0red 9643 . . . . . 6 supp supp
7270, 71eqeltrd 2517 . . . . 5 supp supp
73 simplrr 769 . . . . . . 7 supp supp
74 ssun2 3636 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
7574a1i 11 . . . . . . . . 9 supp supp supp
7675sscond 3608 . . . . . . . 8 supp supp supp
7776sselda 3470 . . . . . . 7 supp supp supp
78 simpr 462 . . . . . . . . 9
794, 78rrxf 22248 . . . . . . . 8
80 ssid 3489 . . . . . . . . 9 supp supp
8180a1i 11 . . . . . . . 8 supp supp
82 simpl 458 . . . . . . . 8
83 0red 9643 . . . . . . . 8
8479, 81, 82, 83suppssr 6957 . . . . . . 7 supp
8557, 73, 77, 84syl21anc 1263 . . . . . 6 supp supp
8685, 71eqeltrd 2517 . . . . 5 supp supp
8772, 86, 49syl2anc 665 . . . 4 supp supp
8870, 85oveq12d 6323 . . . . . 6 supp supp
89 0m0e0 10719 . . . . . 6
9088, 89syl6eq 2486 . . . . 5 supp supp
9190abs00bd 13333 . . . 4 supp supp
9287, 91eqtrd 2470 . . 3 supp supp
934, 51rrxmet 22255 . . . . 5
9493ad3antrrr 734 . . . 4 supp supp
95 metge0 21291 . . . 4
9694, 58, 73, 95syl3anc 1264 . . 3 supp supp
9792, 96eqbrtrd 4446 . 2 supp supp
98 simplr 760 . . . 4
99 simprl 762 . . . . . . 7
1004, 99rrxsuppss 22250 . . . . . 6 supp
101 simprr 764 . . . . . . 7
1024, 101rrxsuppss 22250 . . . . . 6 supp
103100, 102unssd 3648 . . . . 5 supp supp
104 undif 3882 . . . . 5 supp supp supp supp supp supp
105103, 104sylib 199 . . . 4 supp supp supp supp
10698, 105eleqtrrd 2520 . . 3 supp supp supp supp
107 elun 3612 . . 3 supp supp supp supp supp supp supp supp
108106, 107sylib 199 . 2 supp supp supp supp
10956, 97, 108mpjaodan 793 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 369   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  crab 2786   cdif 3439   cun 3440   wss 3442   class class class wbr 4426   cxp 4852   cres 4856   ccom 4858  cfv 5601  (class class class)co 6305   supp csupp 6925   cmap 7480  cfn 7577   finSupp cfsupp 7889  cr 9537  cc0 9538   cle 9675   cmin 9859  c2 10659  cexp 12269  csqrt 13275  cabs 13276  csu 13730  cds 15161  cme 18891  ℝ^crrx 22235 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-rnghom 17878  df-drng 17912  df-field 17913  df-subrg 17941  df-staf 18008  df-srng 18009  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-xmet 18898  df-met 18899  df-cnfld 18906  df-refld 19104  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-nm 21528  df-tng 21530  df-tch 22040  df-rrx 22237 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator