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Theorem rrxdstprj1 20906
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
rrxmval.d  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
rrxdstprj1.1  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
rrxdstprj1  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  <_  ( F D G ) )
Distinct variable groups:    h, F    h, G    h, I    h, V
Allowed substitution hints:    A( h)    D( h)    M( h)    X( h)

Proof of Theorem rrxdstprj1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 757 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  I  e.  V
)
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  A  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )
3 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )
4 rrxmval.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
5 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  F  e.  X )
64, 5rrxfsupp 20899 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F supp  0 )  e.  Fin )
7 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  G  e.  X )
84, 7rrxfsupp 20899 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( G supp  0 )  e.  Fin )
9 unfi 7577 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F supp  0 )  e.  Fin  /\  ( G supp  0 )  e.  Fin )  ->  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin )
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  e.  Fin )
114, 5rrxsuppss 20900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F supp  0 )  C_  I
)
124, 7rrxsuppss 20900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( G supp  0 )  C_  I
)
1311, 12unssd 3530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  C_  I
)
1413sselda 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  k  e.  I
)
154, 5rrxf 20898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  F : I --> RR )
1615ffvelrnda 5841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k
)  e.  RR )
174, 7rrxf 20898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  G : I --> RR )
1817ffvelrnda 5841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k
)  e.  RR )
1916, 18resubcld 9774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
)  e.  RR )
2019resqcld 12032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
2114, 20syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 )  e.  RR )
2219sqge0d 12033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  0  <_  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
2314, 22syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
24 fveq2 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  ( F `  k )  =  ( F `  A ) )
25 fveq2 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  ( G `  k )  =  ( G `  A ) )
2624, 25oveq12d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) )
2726oveq1d 6104 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
28 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )
2910, 21, 23, 27, 28fsumge1 13258 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ^ 2 )  <_  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
3013, 28sseldd 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  A  e.  I )
3115, 30ffvelrnd 5842 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
3217, 30ffvelrnd 5842 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( G `  A )  e.  RR )
3331, 32resubcld 9774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) )  e.  RR )
34 absresq 12789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  A
)  -  ( G `
 A ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
3533, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
3610, 21fsumrecl 13209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
3710, 21, 23fsumge0 13256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
38 resqrth 12743 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )  -> 
( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
4029, 35, 393brtr4d 4320 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
4133recnd 9410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) )  e.  CC )
4241abscld 12920 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) )  e.  RR )
4336, 37resqrcld 12902 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
4441absge0d 12928 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) )
4536, 37sqrge0d 12905 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  0  <_  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
4642, 43, 44, 45le2sqd 12041 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )  <-> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
4740, 46mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) )  <_  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
48 rrxdstprj1.1 . . . . . 6  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
4948remetdval 20364 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
5031, 32, 49syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F `  A
) M ( G `
 A ) )  =  ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) )
51 rrxmval.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
524, 51rrxmval 20902 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
53523expb 1188 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
5453adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
5547, 50, 543brtr4d 4320 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F `  A
) M ( G `
 A ) )  <_  ( F D G ) )
561, 2, 3, 55syl21anc 1217 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( ( F `
 A ) M ( G `  A
) )  <_  ( F D G ) )
57 simplll 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  I  e.  V
)
58 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  F  e.  X
)
59 ssun1 3517 . . . . . . . . . 10  |-  ( F supp  0 )  C_  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )
6059a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F supp  0 ) 
C_  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )
6160sscond 3491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  C_  ( I  \  ( F supp  0 ) ) )
6261sselda 3354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  A  e.  ( I  \  ( F supp  0 ) ) )
63 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  F  e.  X )
644, 63rrxf 20898 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  F : I --> RR )
65 ssid 3373 . . . . . . . . 9  |-  ( F supp  0 )  C_  ( F supp  0 )
6665a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  ( F supp  0 ) 
C_  ( F supp  0
) )
67 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  I  e.  V )
68 0red 9385 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  0  e.  RR )
6964, 66, 67, 68suppssr 6718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X
)  /\  A  e.  ( I  \  ( F supp  0 ) ) )  ->  ( F `  A )  =  0 )
7057, 58, 62, 69syl21anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( F `  A )  =  0 )
71 0red 9385 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  0  e.  RR )
7270, 71eqeltrd 2515 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
73 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  G  e.  X
)
74 ssun2 3518 . . . . . . . . . 10  |-  ( G supp  0 )  C_  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )
7574a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G supp  0 ) 
C_  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )
7675sscond 3491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  C_  ( I  \  ( G supp  0 ) ) )
7776sselda 3354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  A  e.  ( I  \  ( G supp  0 ) ) )
78 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  G  e.  X )
794, 78rrxf 20898 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  G : I --> RR )
80 ssid 3373 . . . . . . . . 9  |-  ( G supp  0 )  C_  ( G supp  0 )
8180a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  ( G supp  0 ) 
C_  ( G supp  0
) )
82 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  I  e.  V )
83 0red 9385 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  0  e.  RR )
8479, 81, 82, 83suppssr 6718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X
)  /\  A  e.  ( I  \  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( G `  A )  =  0 )
8557, 73, 77, 84syl21anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( G `  A )  =  0 )
8685, 71eqeltrd 2515 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  RR )
8772, 86, 49syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A ) M ( G `  A
) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ) )
8870, 85oveq12d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) )  =  ( 0  -  0 ) )
89 0m0e0 10429 . . . . . . 7  |-  ( 0  -  0 )  =  0
9088, 89syl6eq 2489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) )  =  0 )
9190fveq2d 5693 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  =  ( abs `  0 ) )
92 abs0 12772 . . . . 5  |-  ( abs `  0 )  =  0
9391, 92syl6eq 2489 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  =  0 )
9487, 93eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A ) M ( G `  A
) )  =  0 )
954, 51rrxmet 20905 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
9695ad3antrrr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
97 metge0 19918 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  <_  ( F D G ) )
9896, 58, 73, 97syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  0  <_  ( F D G ) )
9994, 98eqbrtrd 4310 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A ) M ( G `  A
) )  <_  ( F D G ) )
100 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A  e.  I )
101 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  X )
1024, 101rrxsuppss 20900 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F supp  0 ) 
C_  I )
103 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  X )
1044, 103rrxsuppss 20900 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G supp  0 ) 
C_  I )
105102, 104unssd 3530 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  C_  I )
106 undif 3757 . . . . 5  |-  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  C_  I  <->  ( ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  u.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  =  I )
107105, 106sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  u.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  =  I )
108100, 107eleqtrrd 2518 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A  e.  ( (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  u.  (
I  \  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ) ) )
109 elun 3495 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  u.  ( I 
\  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ) )  <->  ( A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  \/  A  e.  ( I 
\  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ) ) )
110108, 109sylib 196 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  \/  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) ) )
11156, 99, 110mpjaodan 784 1  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  <_  ( F D G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2717    \ cdif 3323    u. cun 3324    C_ wss 3326   class class class wbr 4290    X. cxp 4836    |` cres 4840    o. ccom 4842   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   supp csupp 6688    ^m cmap 7212   Fincfn 7308   finSupp cfsupp 7618   RRcr 9279   0cc0 9280    <_ cle 9417    - cmin 9593   2c2 10369   ^cexp 11863   sqrcsqr 12720   abscabs 12721   sum_csu 13161   distcds 14245   Metcme 17800  ℝ^crrx 20885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-ico 11304  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-sum 13162  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-prds 14384  df-pws 14386  df-mnd 15413  df-mhm 15462  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-subg 15676  df-ghm 15743  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-cring 16646  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-dvr 16773  df-rnghom 16804  df-drng 16832  df-field 16833  df-subrg 16861  df-staf 16928  df-srng 16929  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-sra 17251  df-rgmod 17252  df-xmet 17808  df-met 17809  df-cnfld 17817  df-refld 18033  df-dsmm 18155  df-frlm 18170  df-nm 20173  df-tng 20175  df-tch 20686  df-rrx 20887
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