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Theorem rrxdstprj1 22256
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
rrxmval.d  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
rrxdstprj1.1  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
rrxdstprj1  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  <_  ( F D G ) )
Distinct variable groups:    h, F    h, G    h, I    h, V
Allowed substitution hints:    A( h)    D( h)    M( h)    X( h)

Proof of Theorem rrxdstprj1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 766 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  I  e.  V
)
2 simpr 462 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  A  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )
3 simplr 760 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )
4 rrxmval.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
5 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  F  e.  X )
64, 5rrxfsupp 22249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F supp  0 )  e.  Fin )
7 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  G  e.  X )
84, 7rrxfsupp 22249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( G supp  0 )  e.  Fin )
9 unfi 7844 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F supp  0 )  e.  Fin  /\  ( G supp  0 )  e.  Fin )  ->  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin )
106, 8, 9syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  e.  Fin )
114, 5rrxsuppss 22250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F supp  0 )  C_  I
)
124, 7rrxsuppss 22250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( G supp  0 )  C_  I
)
1311, 12unssd 3648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  C_  I
)
1413sselda 3470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  k  e.  I
)
154, 5rrxf 22248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  F : I --> RR )
1615ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k
)  e.  RR )
174, 7rrxf 22248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  G : I --> RR )
1817ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k
)  e.  RR )
1916, 18resubcld 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
)  e.  RR )
2019resqcld 12439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
2114, 20syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 )  e.  RR )
2219sqge0d 12440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  0  <_  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
2314, 22syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
24 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  ( F `  k )  =  ( F `  A ) )
25 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  ( G `  k )  =  ( G `  A ) )
2624, 25oveq12d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) )
2726oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
28 simplr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )
2910, 21, 23, 27, 28fsumge1 13835 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ^ 2 )  <_  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
3013, 28sseldd 3471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  A  e.  I )
3115, 30ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
3217, 30ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( G `  A )  e.  RR )
3331, 32resubcld 10046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) )  e.  RR )
34 absresq 13344 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  A
)  -  ( G `
 A ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
3533, 34syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
3610, 21fsumrecl 13778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
3710, 21, 23fsumge0 13833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
38 resqrtth 13298 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )  -> 
( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
3936, 37, 38syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
4029, 35, 393brtr4d 4456 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
4133recnd 9668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) )  e.  CC )
4241abscld 13476 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) )  e.  RR )
4336, 37resqrtcld 13458 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
4441absge0d 13484 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) )
4536, 37sqrtge0d 13461 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  0  <_  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
4642, 43, 44, 45le2sqd 12448 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )  <-> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
4740, 46mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) )  <_  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
48 rrxdstprj1.1 . . . . . 6  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
4948remetdval 21718 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
5031, 32, 49syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F `  A
) M ( G `
 A ) )  =  ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) )
51 rrxmval.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
524, 51rrxmval 22252 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
53523expb 1206 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
5453adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
5547, 50, 543brtr4d 4456 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F `  A
) M ( G `
 A ) )  <_  ( F D G ) )
561, 2, 3, 55syl21anc 1263 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( ( F `
 A ) M ( G `  A
) )  <_  ( F D G ) )
57 simplll 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  I  e.  V
)
58 simplrl 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  F  e.  X
)
59 ssun1 3635 . . . . . . . . . 10  |-  ( F supp  0 )  C_  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )
6059a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F supp  0 ) 
C_  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )
6160sscond 3608 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  C_  ( I  \  ( F supp  0 ) ) )
6261sselda 3470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  A  e.  ( I  \  ( F supp  0 ) ) )
63 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  F  e.  X )
644, 63rrxf 22248 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  F : I --> RR )
65 ssid 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( F supp  0 )  C_  ( F supp  0 )
6665a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  ( F supp  0 ) 
C_  ( F supp  0
) )
67 simpl 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  I  e.  V )
68 0red 9643 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  0  e.  RR )
6964, 66, 67, 68suppssr 6957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X
)  /\  A  e.  ( I  \  ( F supp  0 ) ) )  ->  ( F `  A )  =  0 )
7057, 58, 62, 69syl21anc 1263 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( F `  A )  =  0 )
71 0red 9643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  0  e.  RR )
7270, 71eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
73 simplrr 769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  G  e.  X
)
74 ssun2 3636 . . . . . . . . . 10  |-  ( G supp  0 )  C_  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )
7574a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G supp  0 ) 
C_  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )
7675sscond 3608 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  C_  ( I  \  ( G supp  0 ) ) )
7776sselda 3470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  A  e.  ( I  \  ( G supp  0 ) ) )
78 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  G  e.  X )
794, 78rrxf 22248 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  G : I --> RR )
80 ssid 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( G supp  0 )  C_  ( G supp  0 )
8180a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  ( G supp  0 ) 
C_  ( G supp  0
) )
82 simpl 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  I  e.  V )
83 0red 9643 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  0  e.  RR )
8479, 81, 82, 83suppssr 6957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X
)  /\  A  e.  ( I  \  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( G `  A )  =  0 )
8557, 73, 77, 84syl21anc 1263 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( G `  A )  =  0 )
8685, 71eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  RR )
8772, 86, 49syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A ) M ( G `  A
) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ) )
8870, 85oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) )  =  ( 0  -  0 ) )
89 0m0e0 10719 . . . . . 6  |-  ( 0  -  0 )  =  0
9088, 89syl6eq 2486 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) )  =  0 )
9190abs00bd 13333 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  =  0 )
9287, 91eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A ) M ( G `  A
) )  =  0 )
934, 51rrxmet 22255 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
9493ad3antrrr 734 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
95 metge0 21291 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  <_  ( F D G ) )
9694, 58, 73, 95syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  0  <_  ( F D G ) )
9792, 96eqbrtrd 4446 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A ) M ( G `  A
) )  <_  ( F D G ) )
98 simplr 760 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A  e.  I )
99 simprl 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  X )
1004, 99rrxsuppss 22250 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F supp  0 ) 
C_  I )
101 simprr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  X )
1024, 101rrxsuppss 22250 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G supp  0 ) 
C_  I )
103100, 102unssd 3648 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  C_  I )
104 undif 3882 . . . . 5  |-  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  C_  I  <->  ( ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  u.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  =  I )
105103, 104sylib 199 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  u.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  =  I )
10698, 105eleqtrrd 2520 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A  e.  ( (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  u.  (
I  \  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ) ) )
107 elun 3612 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  u.  ( I 
\  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ) )  <->  ( A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  \/  A  e.  ( I 
\  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ) ) )
108106, 107sylib 199 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  \/  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) ) )
10956, 97, 108mpjaodan 793 1  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  <_  ( F D G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786    \ cdif 3439    u. cun 3440    C_ wss 3442   class class class wbr 4426    X. cxp 4852    |` cres 4856    o. ccom 4858   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supp csupp 6925    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   finSupp cfsupp 7889   RRcr 9537   0cc0 9538    <_ cle 9675    - cmin 9859   2c2 10659   ^cexp 12269   sqrcsqrt 13275   abscabs 13276   sum_csu 13730   distcds 15161   Metcme 18891  ℝ^crrx 22235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-rnghom 17878  df-drng 17912  df-field 17913  df-subrg 17941  df-staf 18008  df-srng 18009  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-xmet 18898  df-met 18899  df-cnfld 18906  df-refld 19104  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-nm 21528  df-tng 21530  df-tch 22040  df-rrx 22237
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