Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdstprj1 Structured version   Unicode version

Theorem rrxdstprj1 21599
 Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 finSupp
rrxmval.d ℝ^
rrxdstprj1.1
Assertion
Ref Expression
rrxdstprj1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem rrxdstprj1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 757 . . 3 supp supp
2 simpr 461 . . 3 supp supp supp supp
3 simplr 754 . . 3 supp supp
4 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 finSupp
5 simprl 755 . . . . . . . . 9 supp supp
64, 5rrxfsupp 21592 . . . . . . . 8 supp supp supp
7 simprr 756 . . . . . . . . 9 supp supp
84, 7rrxfsupp 21592 . . . . . . . 8 supp supp supp
9 unfi 7787 . . . . . . . 8 supp supp supp supp
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . 7 supp supp supp supp
114, 5rrxsuppss 21593 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
124, 7rrxsuppss 21593 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
1311, 12unssd 3680 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp
1413sselda 3504 . . . . . . . 8 supp supp supp supp
154, 5rrxf 21591 . . . . . . . . . . 11 supp supp
1615ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10 supp supp
174, 7rrxf 21591 . . . . . . . . . . 11 supp supp
1817ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10 supp supp
1916, 18resubcld 9987 . . . . . . . . 9 supp supp
2019resqcld 12304 . . . . . . . 8 supp supp
2114, 20syldan 470 . . . . . . 7 supp supp supp supp
2219sqge0d 12305 . . . . . . . 8 supp supp
2314, 22syldan 470 . . . . . . 7 supp supp supp supp
24 fveq2 5866 . . . . . . . . 9
25 fveq2 5866 . . . . . . . . 9
2624, 25oveq12d 6302 . . . . . . . 8
2726oveq1d 6299 . . . . . . 7
28 simplr 754 . . . . . . 7 supp supp supp supp
2910, 21, 23, 27, 28fsumge1 13574 . . . . . 6 supp supp supp supp
3013, 28sseldd 3505 . . . . . . . . 9 supp supp
3115, 30ffvelrnd 6022 . . . . . . . 8 supp supp
3217, 30ffvelrnd 6022 . . . . . . . 8 supp supp
3331, 32resubcld 9987 . . . . . . 7 supp supp
34 absresq 13098 . . . . . . 7
3533, 34syl 16 . . . . . 6 supp supp
3610, 21fsumrecl 13519 . . . . . . 7 supp supp supp supp
3710, 21, 23fsumge0 13572 . . . . . . 7 supp supp supp supp
38 resqrtth 13052 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp supp supp supp
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . . 6 supp supp supp supp supp supp
4029, 35, 393brtr4d 4477 . . . . 5 supp supp supp supp
4133recnd 9622 . . . . . . 7 supp supp
4241abscld 13230 . . . . . 6 supp supp
4336, 37resqrtcld 13212 . . . . . 6 supp supp supp supp
4441absge0d 13238 . . . . . 6 supp supp
4536, 37sqrtge0d 13215 . . . . . 6 supp supp supp supp
4642, 43, 44, 45le2sqd 12313 . . . . 5 supp supp supp supp supp supp
4740, 46mpbird 232 . . . 4 supp supp supp supp
48 rrxdstprj1.1 . . . . . 6
4948remetdval 21057 . . . . 5
5031, 32, 49syl2anc 661 . . . 4 supp supp
51 rrxmval.d . . . . . . 7 ℝ^
524, 51rrxmval 21595 . . . . . 6 supp supp
53523expb 1197 . . . . 5 supp supp
5453adantlr 714 . . . 4 supp supp supp supp
5547, 50, 543brtr4d 4477 . . 3 supp supp
561, 2, 3, 55syl21anc 1227 . 2 supp supp
57 simplll 757 . . . . . . 7 supp supp
58 simplrl 759 . . . . . . 7 supp supp
59 ssun1 3667 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 supp supp supp
6160sscond 3641 . . . . . . . 8 supp supp supp
6261sselda 3504 . . . . . . 7 supp supp supp
63 simpr 461 . . . . . . . . 9
644, 63rrxf 21591 . . . . . . . 8
65 ssid 3523 . . . . . . . . 9 supp supp
6665a1i 11 . . . . . . . 8 supp supp
67 simpl 457 . . . . . . . 8
68 0red 9597 . . . . . . . 8
6964, 66, 67, 68suppssr 6931 . . . . . . 7 supp
7057, 58, 62, 69syl21anc 1227 . . . . . 6 supp supp
71 0red 9597 . . . . . 6 supp supp
7270, 71eqeltrd 2555 . . . . 5 supp supp
73 simplrr 760 . . . . . . 7 supp supp
74 ssun2 3668 . . . . . . . . . 10 supp supp supp
7574a1i 11 . . . . . . . . 9 supp supp supp
7675sscond 3641 . . . . . . . 8 supp supp supp
7776sselda 3504 . . . . . . 7 supp supp supp
78 simpr 461 . . . . . . . . 9
794, 78rrxf 21591 . . . . . . . 8
80 ssid 3523 . . . . . . . . 9 supp supp
8180a1i 11 . . . . . . . 8 supp supp
82 simpl 457 . . . . . . . 8
83 0red 9597 . . . . . . . 8
8479, 81, 82, 83suppssr 6931 . . . . . . 7 supp
8557, 73, 77, 84syl21anc 1227 . . . . . 6 supp supp
8685, 71eqeltrd 2555 . . . . 5 supp supp
8772, 86, 49syl2anc 661 . . . 4 supp supp
8870, 85oveq12d 6302 . . . . . . 7 supp supp
89 0m0e0 10645 . . . . . . 7
9088, 89syl6eq 2524 . . . . . 6 supp supp
9190fveq2d 5870 . . . . 5 supp supp
92 abs0 13081 . . . . 5
9391, 92syl6eq 2524 . . . 4 supp supp
9487, 93eqtrd 2508 . . 3 supp supp
954, 51rrxmet 21598 . . . . 5
9695ad3antrrr 729 . . . 4 supp supp
97 metge0 20611 . . . 4
9896, 58, 73, 97syl3anc 1228 . . 3 supp supp
9994, 98eqbrtrd 4467 . 2 supp supp
100 simplr 754 . . . 4
101 simprl 755 . . . . . . 7
1024, 101rrxsuppss 21593 . . . . . 6 supp
103 simprr 756 . . . . . . 7
1044, 103rrxsuppss 21593 . . . . . 6 supp
105102, 104unssd 3680 . . . . 5 supp supp
106 undif 3907 . . . . 5 supp supp supp supp supp supp
107105, 106sylib 196 . . . 4 supp supp supp supp
108100, 107eleqtrrd 2558 . . 3 supp supp supp supp
109 elun 3645 . . 3 supp supp supp supp supp supp supp supp
110108, 109sylib 196 . 2 supp supp supp supp
11156, 99, 110mpjaodan 784 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  crab 2818   cdif 3473   cun 3474   wss 3476   class class class wbr 4447   cxp 4997   cres 5001   ccom 5003  cfv 5588  (class class class)co 6284   supp csupp 6901   cmap 7420  cfn 7516   finSupp cfsupp 7829  cr 9491  cc0 9492   cle 9629   cmin 9805  c2 10585  cexp 12134  csqrt 13029  cabs 13030  csu 13471  cds 14564  cme 18203  ℝ^crrx 21578 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ico 11535  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-prds 14703  df-pws 14705  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-rnghom 17165  df-drng 17198  df-field 17199  df-subrg 17227  df-staf 17294  df-srng 17295  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-xmet 18211  df-met 18212  df-cnfld 18220  df-refld 18436  df-dsmm 18558  df-frlm 18573  df-nm 20866  df-tng 20868  df-tch 21379  df-rrx 21580 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator