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Theorem rrxdstprj1 21599
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
rrxmval.d  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
rrxdstprj1.1  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
rrxdstprj1  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  <_  ( F D G ) )
Distinct variable groups:    h, F    h, G    h, I    h, V
Allowed substitution hints:    A( h)    D( h)    M( h)    X( h)

Proof of Theorem rrxdstprj1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 757 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  I  e.  V
)
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  A  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )
3 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )
4 rrxmval.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  { h  e.  ( RR  ^m  I )  |  h finSupp  0 }
5 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  F  e.  X )
64, 5rrxfsupp 21592 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F supp  0 )  e.  Fin )
7 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  G  e.  X )
84, 7rrxfsupp 21592 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( G supp  0 )  e.  Fin )
9 unfi 7787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F supp  0 )  e.  Fin  /\  ( G supp  0 )  e.  Fin )  ->  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  e. 
Fin )
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  e.  Fin )
114, 5rrxsuppss 21593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F supp  0 )  C_  I
)
124, 7rrxsuppss 21593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( G supp  0 )  C_  I
)
1311, 12unssd 3680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  C_  I
)
1413sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  k  e.  I
)
154, 5rrxf 21591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  F : I --> RR )
1615ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k
)  e.  RR )
174, 7rrxf 21591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  G : I --> RR )
1817ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k
)  e.  RR )
1916, 18resubcld 9987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
)  e.  RR )
2019resqcld 12304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
2114, 20syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 )  e.  RR )
2219sqge0d 12305 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  I )  ->  0  <_  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
2314, 22syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  /\  k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
24 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  ( F `  k )  =  ( F `  A ) )
25 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  ( G `  k )  =  ( G `  A ) )
2624, 25oveq12d 6302 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) )
2726oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
28 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )
2910, 21, 23, 27, 28fsumge1 13574 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ^ 2 )  <_  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
3013, 28sseldd 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  A  e.  I )
3115, 30ffvelrnd 6022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
3217, 30ffvelrnd 6022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( G `  A )  e.  RR )
3331, 32resubcld 9987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) )  e.  RR )
34 absresq 13098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  A
)  -  ( G `
 A ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
3533, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
3610, 21fsumrecl 13519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
3710, 21, 23fsumge0 13572 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
38 resqrtth 13052 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )  -> 
( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
4029, 35, 393brtr4d 4477 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
4133recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) )  e.  CC )
4241abscld 13230 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) )  e.  RR )
4336, 37resqrtcld 13212 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
4441absge0d 13238 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) )
4536, 37sqrtge0d 13215 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  0  <_  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
4642, 43, 44, 45le2sqd 12313 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )  <-> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
4740, 46mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) )  <_  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
48 rrxdstprj1.1 . . . . . 6  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
4948remetdval 21057 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
5031, 32, 49syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F `  A
) M ( G `
 A ) )  =  ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) )
51 rrxmval.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
524, 51rrxmval 21595 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
53523expb 1197 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
5453adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F D G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
5547, 50, 543brtr4d 4477 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  (
( F `  A
) M ( G `
 A ) )  <_  ( F D G ) )
561, 2, 3, 55syl21anc 1227 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( ( F `
 A ) M ( G `  A
) )  <_  ( F D G ) )
57 simplll 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  I  e.  V
)
58 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  F  e.  X
)
59 ssun1 3667 . . . . . . . . . 10  |-  ( F supp  0 )  C_  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )
6059a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F supp  0 ) 
C_  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )
6160sscond 3641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  C_  ( I  \  ( F supp  0 ) ) )
6261sselda 3504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  A  e.  ( I  \  ( F supp  0 ) ) )
63 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  F  e.  X )
644, 63rrxf 21591 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  F : I --> RR )
65 ssid 3523 . . . . . . . . 9  |-  ( F supp  0 )  C_  ( F supp  0 )
6665a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  ( F supp  0 ) 
C_  ( F supp  0
) )
67 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  I  e.  V )
68 0red 9597 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X )  ->  0  e.  RR )
6964, 66, 67, 68suppssr 6931 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  X
)  /\  A  e.  ( I  \  ( F supp  0 ) ) )  ->  ( F `  A )  =  0 )
7057, 58, 62, 69syl21anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( F `  A )  =  0 )
71 0red 9597 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  0  e.  RR )
7270, 71eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
73 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  G  e.  X
)
74 ssun2 3668 . . . . . . . . . 10  |-  ( G supp  0 )  C_  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )
7574a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G supp  0 ) 
C_  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) )
7675sscond 3641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) )  C_  ( I  \  ( G supp  0 ) ) )
7776sselda 3504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  A  e.  ( I  \  ( G supp  0 ) ) )
78 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  G  e.  X )
794, 78rrxf 21591 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  G : I --> RR )
80 ssid 3523 . . . . . . . . 9  |-  ( G supp  0 )  C_  ( G supp  0 )
8180a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  ( G supp  0 ) 
C_  ( G supp  0
) )
82 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  I  e.  V )
83 0red 9597 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X )  ->  0  e.  RR )
8479, 81, 82, 83suppssr 6931 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  G  e.  X
)  /\  A  e.  ( I  \  ( G supp  0 ) ) )  ->  ( G `  A )  =  0 )
8557, 73, 77, 84syl21anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( G `  A )  =  0 )
8685, 71eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  RR )
8772, 86, 49syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A ) M ( G `  A
) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ) )
8870, 85oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) )  =  ( 0  -  0 ) )
89 0m0e0 10645 . . . . . . 7  |-  ( 0  -  0 )  =  0
9088, 89syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) )  =  0 )
9190fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  =  ( abs `  0 ) )
92 abs0 13081 . . . . 5  |-  ( abs `  0 )  =  0
9391, 92syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  =  0 )
9487, 93eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A ) M ( G `  A
) )  =  0 )
954, 51rrxmet 21598 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
9695ad3antrrr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
97 metge0 20611 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  <_  ( F D G ) )
9896, 58, 73, 97syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  0  <_  ( F D G ) )
9994, 98eqbrtrd 4467 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  ->  ( ( F `
 A ) M ( G `  A
) )  <_  ( F D G ) )
100 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A  e.  I )
101 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  X )
1024, 101rrxsuppss 21593 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F supp  0 ) 
C_  I )
103 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  X )
1044, 103rrxsuppss 21593 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G supp  0 ) 
C_  I )
105102, 104unssd 3680 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  C_  I )
106 undif 3907 . . . . 5  |-  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  C_  I  <->  ( ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  u.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  =  I )
107105, 106sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  u.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) )  =  I )
108100, 107eleqtrrd 2558 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A  e.  ( (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  u.  (
I  \  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ) ) )
109 elun 3645 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) )  u.  ( I 
\  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ) )  <->  ( A  e.  ( ( F supp  0
)  u.  ( G supp  0 ) )  \/  A  e.  ( I 
\  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0 ) ) ) ) )
110108, 109sylib 196 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( ( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) )  \/  A  e.  ( I  \  (
( F supp  0 )  u.  ( G supp  0
) ) ) ) )
11156, 99, 110mpjaodan 784 1  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I
)  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  <_  ( F D G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    X. cxp 4997    |` cres 5001    o. ccom 5003   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   supp csupp 6901    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7829   RRcr 9491   0cc0 9492    <_ cle 9629    - cmin 9805   2c2 10585   ^cexp 12134   sqrcsqrt 13029   abscabs 13030   sum_csu 13471   distcds 14564   Metcme 18203  ℝ^crrx 21578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ico 11535  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-prds 14703  df-pws 14705  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-rnghom 17165  df-drng 17198  df-field 17199  df-subrg 17227  df-staf 17294  df-srng 17295  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-xmet 18211  df-met 18212  df-cnfld 18220  df-refld 18436  df-dsmm 18558  df-frlm 18573  df-nm 20866  df-tng 20868  df-tch 21379  df-rrx 21580
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