Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxds Structured version   Unicode version

Theorem rrxds 22115
 Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Compare with df-rrn 31584. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 20-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r ℝ^
rrxbase.b
Assertion
Ref Expression
rrxds RRfld g
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem rrxds
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . . 4 ℝ^
21rrxval 22109 . . 3 toCHilRRfld freeLMod
32fveq2d 5852 . 2 toCHilRRfld freeLMod
4 recrng 18953 . . . . 5 RRfld
5 srngring 17819 . . . . 5 RRfld RRfld
64, 5ax-mp 5 . . . 4 RRfld
7 eqid 2402 . . . . 5 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
87frlmlmod 19076 . . . 4 RRfld RRfld freeLMod
96, 8mpan 668 . . 3 RRfld freeLMod
10 lmodgrp 17837 . . 3 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
11 eqid 2402 . . . 4 toCHilRRfld freeLMod toCHilRRfld freeLMod
12 eqid 2402 . . . 4 toCHilRRfld freeLMod toCHilRRfld freeLMod
13 eqid 2402 . . . 4 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
1411, 12, 13tchds 21964 . . 3 RRfld freeLMod toCHilRRfld freeLMod RRfld freeLMod toCHilRRfld freeLMod
159, 10, 143syl 20 . 2 toCHilRRfld freeLMod RRfld freeLMod toCHilRRfld freeLMod
16 eqid 2402 . . . . . . . 8 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
1716, 13grpsubf 16439 . . . . . . 7 RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod
189, 10, 173syl 20 . . . . . 6 RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod
19 rrxbase.b . . . . . . . . . 10
201, 19rrxbase 22110 . . . . . . . . 9 finSupp
21 rebase 18938 . . . . . . . . . . 11 RRfld
22 re0g 18944 . . . . . . . . . . 11 RRfld
23 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11 finSupp finSupp
247, 21, 22, 23frlmbas 19082 . . . . . . . . . 10 RRfld finSupp RRfld freeLMod
256, 24mpan 668 . . . . . . . . 9 finSupp RRfld freeLMod
2620, 25eqtrd 2443 . . . . . . . 8 RRfld freeLMod
2726sqxpeqd 4848 . . . . . . 7 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
2827, 26feq23d 5708 . . . . . 6 RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod
2918, 28mpbird 232 . . . . 5 RRfld freeLMod
3029fovrnda 6426 . . . 4 RRfld freeLMod
31 ffn 5713 . . . . . 6 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
3229, 31syl 17 . . . . 5 RRfld freeLMod
33 fnov 6390 . . . . 5 RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod
3432, 33sylib 196 . . . 4 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
351, 19rrxnm 22113 . . . . 5 RRfld g
362fveq2d 5852 . . . . 5 toCHilRRfld freeLMod
3735, 36eqtr2d 2444 . . . 4 toCHilRRfld freeLMod RRfld g
38 fveq1 5847 . . . . . . . 8 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
3938oveq1d 6292 . . . . . . 7 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
4039mpteq2dv 4481 . . . . . 6 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
4140oveq2d 6293 . . . . 5 RRfld freeLMod RRfld g RRfld g RRfld freeLMod
4241fveq2d 5852 . . . 4 RRfld freeLMod RRfld g RRfld g RRfld freeLMod
4330, 34, 37, 42fmpt2co 6866 . . 3 toCHilRRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld g RRfld freeLMod
44 simp1 997 . . . . . . . . . . . . . 14
45 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4626adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RRfld freeLMod
4745, 46eleqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . . . 15 RRfld freeLMod
48473impb 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 RRfld freeLMod
497, 21, 16frlmbasmap 19087 . . . . . . . . . . . . . 14 RRfld freeLMod
5044, 48, 49syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13
51 elmapi 7477 . . . . . . . . . . . . 13
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12
53 ffn 5713 . . . . . . . . . . . 12
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11
55 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655, 46eleqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . . . 15 RRfld freeLMod
57563impb 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 RRfld freeLMod
587, 21, 16frlmbasmap 19087 . . . . . . . . . . . . . 14 RRfld freeLMod
5944, 57, 58syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13
60 elmapi 7477 . . . . . . . . . . . . 13
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12
62 ffn 5713 . . . . . . . . . . . 12
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11
64 inidm 3647 . . . . . . . . . . 11
65 eqidd 2403 . . . . . . . . . . 11
66 eqidd 2403 . . . . . . . . . . 11
6754, 63, 44, 44, 64, 65, 66offval 6527 . . . . . . . . . 10 RRfld RRfld
686a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 RRfld
69 simpl 455 . . . . . . . . . . . 12
70 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12 RRfld RRfld
717, 16, 68, 69, 47, 56, 70, 13frlmsubgval 19092 . . . . . . . . . . 11 RRfld freeLMod RRfld
72713impb 1193 . . . . . . . . . 10 RRfld freeLMod RRfld
7352ffvelrnda 6008 . . . . . . . . . . . 12
7461ffvelrnda 6008 . . . . . . . . . . . 12
7570resubgval 18941 . . . . . . . . . . . 12 RRfld
7673, 74, 75syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11 RRfld
7776mpteq2dva 4480 . . . . . . . . . 10 RRfld
7867, 72, 773eqtr4d 2453 . . . . . . . . 9 RRfld freeLMod
7973, 74resubcld 10027 . . . . . . . . 9
8078, 79fvmpt2d 5942 . . . . . . . 8 RRfld freeLMod
8180oveq1d 6292 . . . . . . 7 RRfld freeLMod
8281mpteq2dva 4480 . . . . . 6 RRfld freeLMod
8382oveq2d 6293 . . . . 5 RRfld g RRfld freeLMod RRfld g
8483fveq2d 5852 . . . 4 RRfld g RRfld freeLMod RRfld g
8584mpt2eq3dva 6341 . . 3 RRfld g RRfld freeLMod RRfld g
8643, 85eqtrd 2443 . 2 toCHilRRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld g
873, 15, 863eqtr2rd 2450 1 RRfld g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  crab 2757   class class class wbr 4394   cmpt 4452   cxp 4820   ccom 4826   wfn 5563  wf 5564  cfv 5568  (class class class)co 6277   cmpt2 6279   cof 6518   cmap 7456   finSupp cfsupp 7862  cr 9520  cc0 9521   cmin 9840  c2 10625  cexp 12208  csqrt 13213  cbs 14839  cds 14916   g cgsu 15053  cgrp 16375  csg 16377  crg 17516  csr 17811  clmod 17830  RRfldcrefld 18936   freeLMod cfrlm 19073  cnm 21387  toCHilctch 21904  ℝ^crrx 22105 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-0g 15054  df-prds 15060  df-pws 15062  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-cmn 17122  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-rnghom 17682  df-drng 17716  df-field 17717  df-subrg 17745  df-staf 17812  df-srng 17813  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-cnfld 18739  df-refld 18937  df-dsmm 19059  df-frlm 19074  df-nm 21393  df-tng 21395  df-tch 21906  df-rrx 22107 This theorem is referenced by:  rrxmval  22122  rrxmfval  22123
 Copyright terms: Public domain W3C validator