Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxcph Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rrxcph 22429
 Description: Generalized Euclidean real spaces are pre-Hilbert spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r ℝ^
rrxbase.b
Assertion
Ref Expression
rrxcph

Proof of Theorem rrxcph
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . 3 ℝ^
21rrxval 22424 . 2 toCHilRRfld freeLMod
3 eqid 2471 . . 3 toCHilRRfld freeLMod toCHilRRfld freeLMod
4 eqid 2471 . . 3 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
5 eqid 2471 . . 3 ScalarRRfld freeLMod ScalarRRfld freeLMod
6 eqid 2471 . . . 4 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
7 rebase 19251 . . . 4 RRfld
8 remulr 19256 . . . 4 RRfld
9 eqid 2471 . . . 4 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
10 eqid 2471 . . . 4 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
11 re0g 19257 . . . 4 RRfld
12 refldcj 19265 . . . 4 RRfld
13 refld 19264 . . . . 5 RRfld Field
1413a1i 11 . . . 4 RRfld Field
15 fconstmpt 4883 . . . . 5
166, 7, 4frlmbasf 19400 . . . . . . . 8 RRfld freeLMod
17 ffn 5739 . . . . . . . 8
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 RRfld freeLMod
19183adant3 1050 . . . . . 6 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
20 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RRfld freeLMod
2113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RRfld freeLMod RRfld Field
22 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
236, 7, 8, 4, 9frlmipval 19414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RRfld Field RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld g
2420, 21, 22, 22, 23syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld g
25 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 RRfld freeLMod
27 inidm 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
28 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 RRfld freeLMod
2918, 18, 20, 20, 27, 28, 28offval 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 RRfld freeLMod
3018, 18, 20, 20, 27, 28, 28ofval 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 RRfld freeLMod
3116ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 RRfld freeLMod
3231, 31remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 RRfld freeLMod
3330, 32eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 RRfld freeLMod
3426, 29, 33fmpt2d 6069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 RRfld freeLMod
35 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 RRfld freeLMod
37 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3834, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 RRfld freeLMod
396, 11, 4frlmbasfsupp 19398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 RRfld freeLMod finSupp
40 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 RRfld freeLMod
41 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 RRfld freeLMod
4241recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 RRfld freeLMod
4342mul02d 9849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 RRfld freeLMod
4420, 40, 16, 16, 43suppofss1d 6971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 RRfld freeLMod supp supp
45 fsuppsssupp 7917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 finSupp supp supp finSupp
4636, 38, 39, 44, 45syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 RRfld freeLMod finSupp
47 regsumsupp 19267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 finSupp RRfld g supp
4834, 46, 20, 47syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RRfld freeLMod RRfld g supp
49 suppssdm 6946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 supp
50 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5116, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 RRfld freeLMod
5249, 51syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 RRfld freeLMod supp
5344, 52sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 RRfld freeLMod supp
5453sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 RRfld freeLMod supp
5554, 30syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 RRfld freeLMod supp
5655sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RRfld freeLMod supp supp
5748, 56eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RRfld freeLMod RRfld g supp
5824, 57eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp
59583adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . 14 RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp
60 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . 14 RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod
6159, 60eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . 13 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp
6239fsuppimpd 7908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RRfld freeLMod supp
63 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 supp supp supp supp
6462, 44, 63syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 RRfld freeLMod supp
6554, 32syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 RRfld freeLMod supp
6631msqge0d 10203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RRfld freeLMod
6754, 66syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 RRfld freeLMod supp
6864, 65, 67fsum00 13935 . . . . . . . . . . . . . 14 RRfld freeLMod supp supp
69683adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp supp
7061, 69mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp
7170r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . 11 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp
7271adantlr 729 . . . . . . . . . 10 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp
73313adantl3 1188 . . . . . . . . . . . . 13 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
7473recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
7574, 74mul0ord 10284 . . . . . . . . . . 11 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
7675adantr 472 . . . . . . . . . 10 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp
7772, 76mpbid 215 . . . . . . . . 9 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp
78 oridm 523 . . . . . . . . 9
7977, 78sylib 201 . . . . . . . 8 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp
80343adant3 1050 . . . . . . . . . . 11 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
8180adantr 472 . . . . . . . . . 10 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
82 ssid 3437 . . . . . . . . . . 11 supp supp
8382a1i 11 . . . . . . . . . 10 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp supp
84 simpl1 1033 . . . . . . . . . 10 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
85 0red 9662 . . . . . . . . . 10 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
8681, 83, 84, 85suppssr 6965 . . . . . . . . 9 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp
87303adantl3 1188 . . . . . . . . . . . . 13 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
8887eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . 12 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
8988, 75bitrd 261 . . . . . . . . . . 11 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
9089, 78syl6bb 269 . . . . . . . . . 10 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
9190biimpa 492 . . . . . . . . 9 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
9286, 91syldan 478 . . . . . . . 8 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp
93 undif 3839 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp supp
9453, 93sylib 201 . . . . . . . . . . . 12 RRfld freeLMod supp supp
9594eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11 RRfld freeLMod supp supp
96953adant3 1050 . . . . . . . . . 10 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp supp
9796biimpar 493 . . . . . . . . 9 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp supp
98 elun 3565 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp
9997, 98sylib 201 . . . . . . . 8 RRfld freeLMod RRfld freeLMod supp supp
10079, 92, 99mpjaodan 803 . . . . . . 7 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
101100ralrimiva 2809 . . . . . 6 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
102 fconstfv 6143 . . . . . . 7
103 c0ex 9655 . . . . . . . 8
104103fconst2 6137 . . . . . . 7
105102, 104sylbb1 220 . . . . . 6
10619, 101, 105syl2anc 673 . . . . 5 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
107 isfld 18062 . . . . . . . . . . 11 RRfld Field RRfld RRfld
10813, 107mpbi 213 . . . . . . . . . 10 RRfld RRfld
109108simpli 465 . . . . . . . . 9 RRfld
110 drngring 18060 . . . . . . . . 9 RRfld RRfld
111109, 110ax-mp 5 . . . . . . . 8 RRfld
1126, 11frlm0 19394 . . . . . . . 8 RRfld RRfld freeLMod
113111, 112mpan 684 . . . . . . 7 RRfld freeLMod
11415, 113syl5reqr 2520 . . . . . 6 RRfld freeLMod
1151143ad2ant1 1051 . . . . 5 RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod
11615, 106, 1153eqtr4a 2531 . . . 4 RRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod
117 cjre 13279 . . . . 5
118117adantl 473 . . . 4
119 id 22 . . . 4
1206, 7, 8, 4, 9, 10, 11, 12, 14, 116, 118, 119frlmphl 19416 . . 3 RRfld freeLMod
121 df-refld 19250 . . . 4 RRfld flds
1226frlmsca 19393 . . . . 5 RRfld Field RRfld ScalarRRfld freeLMod
12313, 122mpan 684 . . . 4 RRfld ScalarRRfld freeLMod
124121, 123syl5reqr 2520 . . 3 ScalarRRfld freeLMod flds
125 simpr1 1036 . . . 4
126 simpr3 1038 . . . 4
127125, 126resqrtcld 13556 . . 3
12864, 65, 67fsumge0 13932 . . . . 5 RRfld freeLMod supp
129128, 57breqtrrd 4422 . . . 4 RRfld freeLMod RRfld g
130129, 24breqtrrd 4422 . . 3 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
1313, 4, 5, 120, 124, 9, 127, 130tchcph 22289 . 2 toCHilRRfld freeLMod
1322, 131eqeltrd 2549 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   wss 3390  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   cdm 4839   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cof 6548   supp csupp 6933  cfn 7587   finSupp cfsupp 7901  cr 9556  cc0 9557   cmul 9562   cle 9694  ccj 13236  csu 13829  cbs 15199   ↾s cress 15200  Scalarcsca 15271  cip 15273  c0g 15416   g cgsu 15417  crg 17858  ccrg 17859  cdr 18053  Fieldcfield 18054  ℂfldccnfld 19047  RRfldcrefld 19249   freeLMod cfrlm 19386  ccph 22222  toCHilctch 22223  ℝ^crrx 22420 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-field 18056  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-staf 18151  df-srng 18152  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lmhm 18323  df-lvec 18404  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-refld 19250  df-phl 19270  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-xms 21413  df-ms 21414  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-tng 21677  df-nrg 21678  df-nlm 21679  df-clm 22172  df-cph 22224  df-tch 22225  df-rrx 22422 This theorem is referenced by:  rrxngp  38263
 Copyright terms: Public domain W3C validator