MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxbase Structured version   Unicode version

Theorem rrxbase 21946
Description: The base of the generalized real Euclidean space is the set of functions with finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r  |-  H  =  (ℝ^ `  I )
rrxbase.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
Assertion
Ref Expression
rrxbase  |-  ( I  e.  V  ->  B  =  { f  e.  ( RR  ^m  I )  |  f finSupp  0 } )
Distinct variable groups:    B, f    f, I    f, V
Allowed substitution hint:    H( f)

Proof of Theorem rrxbase
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . . . 5  |-  H  =  (ℝ^ `  I )
21rrxval 21945 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  H  =  (toCHil `  (RRfld freeLMod  I ) ) )
32fveq2d 5876 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  H )  =  ( Base `  (toCHil `  (RRfld freeLMod  I ) ) ) )
4 eqid 2457 . . . 4  |-  (toCHil `  (RRfld freeLMod  I ) )  =  (toCHil `  (RRfld freeLMod  I ) )
5 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  (RRfld freeLMod  I ) )  =  ( Base `  (RRfld freeLMod  I ) )
64, 5tchbas 21788 . . 3  |-  ( Base `  (RRfld freeLMod  I ) )  =  ( Base `  (toCHil `  (RRfld freeLMod  I ) ) )
73, 6syl6eqr 2516 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  H )  =  ( Base `  (RRfld freeLMod  I ) ) )
8 rrxbase.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  H
)
98a1i 11 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  B  =  ( Base `  H
) )
10 refld 18782 . . 3  |- RRfld  e. Field
11 eqid 2457 . . . 4  |-  (RRfld freeLMod  I )  =  (RRfld freeLMod  I )
12 rebase 18769 . . . 4  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
13 re0g 18775 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` RRfld )
14 eqid 2457 . . . 4  |-  { f  e.  ( RR  ^m  I )  |  f finSupp 
0 }  =  {
f  e.  ( RR 
^m  I )  |  f finSupp  0 }
1511, 12, 13, 14frlmbas 18913 . . 3  |-  ( (RRfld 
e. Field  /\  I  e.  V
)  ->  { f  e.  ( RR  ^m  I
)  |  f finSupp  0 }  =  ( Base `  (RRfld freeLMod  I ) ) )
1610, 15mpan 670 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  { f  e.  ( RR  ^m  I )  |  f finSupp 
0 }  =  (
Base `  (RRfld freeLMod  I ) ) )
177, 9, 163eqtr4d 2508 1  |-  ( I  e.  V  ->  B  =  { f  e.  ( RR  ^m  I )  |  f finSupp  0 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   finSupp cfsupp 7847   RRcr 9508   0cc0 9509   Basecbs 14644  Fieldcfield 17524  RRfldcrefld 18767   freeLMod cfrlm 18904  toCHilctch 21740  ℝ^crrx 21941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-subg 16325  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-field 17526  df-subrg 17554  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-cnfld 18548  df-refld 18768  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-tng 21231  df-tch 21742  df-rrx 21943
This theorem is referenced by:  rrxnm  21949  rrxds  21951  rrxmval  21958  rrxmfval  21959  ehlbase  21964
  Copyright terms: Public domain W3C validator