Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxbase Structured version   Unicode version

Theorem rrxbase 21946
 Description: The base of the generalized real Euclidean space is the set of functions with finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r ℝ^
rrxbase.b
Assertion
Ref Expression
rrxbase finSupp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem rrxbase
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . . . 5 ℝ^
21rrxval 21945 . . . 4 toCHilRRfld freeLMod
32fveq2d 5876 . . 3 toCHilRRfld freeLMod
4 eqid 2457 . . . 4 toCHilRRfld freeLMod toCHilRRfld freeLMod
5 eqid 2457 . . . 4 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
64, 5tchbas 21788 . . 3 RRfld freeLMod toCHilRRfld freeLMod
73, 6syl6eqr 2516 . 2 RRfld freeLMod
8 rrxbase.b . . 3
98a1i 11 . 2
10 refld 18782 . . 3 RRfld Field
11 eqid 2457 . . . 4 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
12 rebase 18769 . . . 4 RRfld
13 re0g 18775 . . . 4 RRfld
14 eqid 2457 . . . 4 finSupp finSupp
1511, 12, 13, 14frlmbas 18913 . . 3 RRfld Field finSupp RRfld freeLMod
1610, 15mpan 670 . 2 finSupp RRfld freeLMod
177, 9, 163eqtr4d 2508 1 finSupp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1395   wcel 1819  crab 2811   class class class wbr 4456  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmap 7438   finSupp cfsupp 7847  cr 9508  cc0 9509  cbs 14644  Fieldcfield 17524  RRfldcrefld 18767   freeLMod cfrlm 18904  toCHilctch 21740  ℝ^crrx 21941 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-subg 16325  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-field 17526  df-subrg 17554  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-cnfld 18548  df-refld 18768  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-tng 21231  df-tch 21742  df-rrx 21943 This theorem is referenced by:  rrxnm  21949  rrxds  21951  rrxmval  21958  rrxmfval  21959  ehlbase  21964
 Copyright terms: Public domain W3C validator