Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrvsum Structured version   Unicode version

Theorem rrvsum 28019
Description: An indexed sum of random variables is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rrvsum.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
rrvsum.2  |-  ( ph  ->  X : NN --> (rRndVar `  P
) )
rrvsum.3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  S  =  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `  N
) )
Assertion
Ref Expression
rrvsum  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  S  e.  (rRndVar `  P )
)

Proof of Theorem rrvsum
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrvsum.3 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  S  =  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `  N
) )
2 fveq2 5857 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 k )  =  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `  1
) )
32eleq1d 2529 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
(  seq 1 (  oF  +  ,  X
) `  k )  e.  (rRndVar `  P )  <->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X
) `  1 )  e.  (rRndVar `  P )
) )
43imbi2d 316 . . . 4  |-  ( k  =  1  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 k )  e.  (rRndVar `  P )
)  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X
) `  1 )  e.  (rRndVar `  P )
) ) )
5 fveq2 5857 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 k )  =  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `  n
) )
65eleq1d 2529 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
(  seq 1 (  oF  +  ,  X
) `  k )  e.  (rRndVar `  P )  <->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X
) `  n )  e.  (rRndVar `  P )
) )
76imbi2d 316 . . . 4  |-  ( k  =  n  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 k )  e.  (rRndVar `  P )
)  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X
) `  n )  e.  (rRndVar `  P )
) ) )
8 fveq2 5857 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 k )  =  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `  (
n  +  1 ) ) )
98eleq1d 2529 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq 1 (  oF  +  ,  X
) `  k )  e.  (rRndVar `  P )  <->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X
) `  ( n  +  1 ) )  e.  (rRndVar `  P
) ) )
109imbi2d 316 . . . 4  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 k )  e.  (rRndVar `  P )
)  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X
) `  ( n  +  1 ) )  e.  (rRndVar `  P
) ) ) )
11 fveq2 5857 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 k )  =  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `  N
) )
1211eleq1d 2529 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  (
(  seq 1 (  oF  +  ,  X
) `  k )  e.  (rRndVar `  P )  <->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X
) `  N )  e.  (rRndVar `  P )
) )
1312imbi2d 316 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 k )  e.  (rRndVar `  P )
)  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X
) `  N )  e.  (rRndVar `  P )
) ) )
14 1z 10883 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
15 seq1 12076 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 1 )  =  ( X `  1
) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 1 )  =  ( X `  1
)
17 1nn 10536 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
18 rrvsum.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X : NN --> (rRndVar `  P
) )
1918ffvelrnda 6012 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  e.  NN )  ->  ( X `
 1 )  e.  (rRndVar `  P )
)
2017, 19mpan2 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  1
)  e.  (rRndVar `  P
) )
2116, 20syl5eqel 2552 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `  1
)  e.  (rRndVar `  P
) )
22 seqp1 12078 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( (  seq 1
(  oF  +  ,  X ) `  n
)  oF  +  ( X `  ( n  +  1 ) ) ) )
23 nnuz 11106 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2422, 23eleq2s 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( (  seq 1
(  oF  +  ,  X ) `  n
)  oF  +  ( X `  ( n  +  1 ) ) ) )
2524ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 n )  e.  (rRndVar `  P )
)  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( (  seq 1
(  oF  +  ,  X ) `  n
)  oF  +  ( X `  ( n  +  1 ) ) ) )
26 rrvsum.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 n )  e.  (rRndVar `  P )
)  ->  P  e. Prob )
28 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 n )  e.  (rRndVar `  P )
)  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 n )  e.  (rRndVar `  P )
)
29 peano2nn 10537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
3018ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  NN )  ->  ( X `  ( n  +  1 ) )  e.  (rRndVar `  P
) )
3129, 30sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X `
 ( n  + 
1 ) )  e.  (rRndVar `  P )
)
3231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 n )  e.  (rRndVar `  P )
)  ->  ( X `  ( n  +  1 ) )  e.  (rRndVar `  P ) )
3327, 28, 32rrvadd 28017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 n )  e.  (rRndVar `  P )
)  ->  ( (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 n )  oF  +  ( X `
 ( n  + 
1 ) ) )  e.  (rRndVar `  P
) )
3425, 33eqeltrd 2548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 n )  e.  (rRndVar `  P )
)  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 ( n  + 
1 ) )  e.  (rRndVar `  P )
)
3534ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  oF  +  ,  X
) `  n )  e.  (rRndVar `  P )  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `  (
n  +  1 ) )  e.  (rRndVar `  P
) ) )
3635expcom 435 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 n )  e.  (rRndVar `  P )  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `  (
n  +  1 ) )  e.  (rRndVar `  P
) ) ) )
3736a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 n )  e.  (rRndVar `  P )
)  ->  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `  (
n  +  1 ) )  e.  (rRndVar `  P
) ) ) )
384, 7, 10, 13, 21, 37nnind 10543 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  (  seq 1
(  oF  +  ,  X ) `  N
)  e.  (rRndVar `  P
) ) )
3938impcom 430 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  X ) `
 N )  e.  (rRndVar `  P )
)
401, 39eqeltrd 2548 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  S  e.  (rRndVar `  P )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oFcof 6513   1c1 9482    + caddc 9484   NNcn 10525   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071    seqcseq 12063  Probcprb 27972  rRndVarcrrv 28005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-ac2 8832  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-ac 8486  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-refld 18401  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-cmp 19646  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-fcls 20170  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-cfil 21422  df-cmet 21424  df-cms 21502  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665  df-cxp 22666  df-logb 27633  df-esum 27667  df-siga 27734  df-sigagen 27765  df-brsiga 27779  df-sx 27786  df-meas 27793  df-mbfm 27848  df-prob 27973  df-rrv 28006
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator