Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnval Structured version   Unicode version

Theorem rrnval 28752
Description: The n-dimensional Euclidean space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrnval  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, I    k, X, x, y

Proof of Theorem rrnval
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6120 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  ( RR  ^m  i )  =  ( RR  ^m  I
) )
2 rrnval.1 . . . 4  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
31, 2syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  ( RR  ^m  i )  =  X )
4 sumeq1 13187 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
54fveq2d 5716 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
63, 3, 5mpt2eq123dv 6169 . 2  |-  ( i  =  I  ->  (
x  e.  ( RR 
^m  i ) ,  y  e.  ( RR 
^m  i )  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
7 df-rrn 28751 . 2  |-  Rn  =  ( i  e.  Fin  |->  ( x  e.  ( RR  ^m  i ) ,  y  e.  ( RR 
^m  i )  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
8 fvrn0 5733 . . . . 5  |-  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )
98rgen2w 2805 . . . 4  |-  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )
10 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
1110fmpt2 6662 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> ( ran  sqr  u.  {
(/) } ) )
129, 11mpbi 208 . . 3  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X
) --> ( ran  sqr  u. 
{ (/) } )
13 ovex 6137 . . . . 5  |-  ( RR 
^m  I )  e. 
_V
142, 13eqeltri 2513 . . . 4  |-  X  e. 
_V
1514, 14xpex 6529 . . 3  |-  ( X  X.  X )  e. 
_V
16 cnex 9384 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
17 sqrf 12872 . . . . . 6  |-  sqr : CC
--> CC
18 frn 5586 . . . . . 6  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  ran 
sqr  C_  CC )
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  sqr  C_  CC
2016, 19ssexi 4458 . . . 4  |-  ran  sqr  e.  _V
21 p0ex 4500 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
2220, 21unex 6399 . . 3  |-  ( ran 
sqr  u.  { (/) } )  e.  _V
23 fex2 6553 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> ( ran  sqr  u.  {
(/) } )  /\  ( X  X.  X )  e. 
_V  /\  ( ran  sqr 
u.  { (/) } )  e.  _V )  -> 
( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )  e.  _V )
2412, 15, 22, 23mp3an 1314 . 2  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  e. 
_V
256, 7, 24fvmpt 5795 1  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993    u. cun 3347    C_ wss 3349   (/)c0 3658   {csn 3898    X. cxp 4859   ran crn 4862   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    e. cmpt2 6114    ^m cmap 7235   Fincfn 7331   CCcc 9301   RRcr 9302    - cmin 9616   2c2 10392   ^cexp 11886   sqrcsqr 12743   sum_csu 13184   Rncrrn 28750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-sum 13185  df-rrn 28751
This theorem is referenced by:  rrnmval  28753  rrnmet  28754
  Copyright terms: Public domain W3C validator