Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnmval Structured version   Unicode version

Theorem rrnmval 28868
Description: The value of the Euclidean metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrnmval  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    k, G    k, I    k, X    k, F

Proof of Theorem rrnmval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnval.1 . . . 4  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
21rrnval 28867 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
323ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( Rn `  I
)  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
4 fveq1 5791 . . . . . . 7  |-  ( x  =  F  ->  (
x `  k )  =  ( F `  k ) )
5 fveq1 5791 . . . . . . 7  |-  ( y  =  G  ->  (
y `  k )  =  ( G `  k ) )
64, 5oveqan12d 6212 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
76oveq1d 6208 . . . . 5  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
87sumeq2sdv 13292 . . . 4  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  -> 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
98fveq2d 5796 . . 3  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
109adantl 466 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( x  =  F  /\  y  =  G ) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
11 simp2 989 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  F  e.  X )
12 simp3 990 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  G  e.  X )
13 fvex 5802 . . 3  |-  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  e.  _V
1413a1i 11 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  _V )
153, 10, 11, 12, 14ovmpt2d 6321 1  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    |-> cmpt2 6195    ^m cmap 7317   Fincfn 7413   RRcr 9385    - cmin 9699   2c2 10475   ^cexp 11975   sqrcsqr 12833   sum_csu 13274   Rncrrn 28865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-sum 13275  df-rrn 28866
This theorem is referenced by:  rrnmet  28869  rrndstprj1  28870  rrndstprj2  28871  rrncmslem  28872  ismrer1  28878
  Copyright terms: Public domain W3C validator