Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnmval Structured version   Unicode version

Theorem rrnmval 31586
Description: The value of the Euclidean metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrnmval  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    k, G    k, I    k, X    k, F

Proof of Theorem rrnmval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnval.1 . . . 4  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
21rrnval 31585 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
323ad2ant1 1018 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( Rn `  I
)  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
4 fveq1 5847 . . . . . . 7  |-  ( x  =  F  ->  (
x `  k )  =  ( F `  k ) )
5 fveq1 5847 . . . . . . 7  |-  ( y  =  G  ->  (
y `  k )  =  ( G `  k ) )
64, 5oveqan12d 6296 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
76oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
87sumeq2sdv 13673 . . . 4  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  -> 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
98fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
109adantl 464 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( x  =  F  /\  y  =  G ) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
11 simp2 998 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  F  e.  X )
12 simp3 999 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  G  e.  X )
13 fvex 5858 . . 3  |-  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  e.  _V
1413a1i 11 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  _V )
153, 10, 11, 12, 14ovmpt2d 6410 1  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279    ^m cmap 7456   Fincfn 7553   RRcr 9520    - cmin 9840   2c2 10625   ^cexp 12208   sqrcsqrt 13213   sum_csu 13655   Rncrrn 31583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-sum 13656  df-rrn 31584
This theorem is referenced by:  rrnmet  31587  rrndstprj1  31588  rrndstprj2  31589  rrncmslem  31590  ismrer1  31596
  Copyright terms: Public domain W3C validator