Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnmval Structured version   Unicode version

Theorem rrnmval 29927
Description: The value of the Euclidean metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrnmval  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    k, G    k, I    k, X    k, F

Proof of Theorem rrnmval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnval.1 . . . 4  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
21rrnval 29926 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
323ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( Rn `  I
)  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
4 fveq1 5863 . . . . . . 7  |-  ( x  =  F  ->  (
x `  k )  =  ( F `  k ) )
5 fveq1 5863 . . . . . . 7  |-  ( y  =  G  ->  (
y `  k )  =  ( G `  k ) )
64, 5oveqan12d 6301 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
76oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
87sumeq2sdv 13485 . . . 4  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  -> 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
98fveq2d 5868 . . 3  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
109adantl 466 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( x  =  F  /\  y  =  G ) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
11 simp2 997 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  F  e.  X )
12 simp3 998 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  G  e.  X )
13 fvex 5874 . . 3  |-  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  e.  _V
1413a1i 11 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  _V )
153, 10, 11, 12, 14ovmpt2d 6412 1  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   RRcr 9487    - cmin 9801   2c2 10581   ^cexp 12130   sqrcsqrt 13025   sum_csu 13467   Rncrrn 29924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-sum 13468  df-rrn 29925
This theorem is referenced by:  rrnmet  29928  rrndstprj1  29929  rrndstprj2  29930  rrncmslem  29931  ismrer1  29937
  Copyright terms: Public domain W3C validator