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Theorem rrnequiv 30161
Description: The supremum metric on  RR ^ I is equivalent to the  Rn metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y  |-  Y  =  ( (flds  RR )  ^s  I )
rrnequiv.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
rrnequiv.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrnequiv.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
rrnequiv  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F D G )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) ) )

Proof of Theorem rrnequiv
Dummy variables  k 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnequiv.d . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  Y
)
2 ovex 6310 . . . . . . . 8  |-  (flds  RR )  e.  _V
3 rrnequiv.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
43adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  I  e.  Fin )
5 rrnequiv.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( (flds  RR )  ^s  I )
6 reex 9584 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
7 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  RR )  =  (flds  RR )
8 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar ` fld )  =  (Scalar ` fld )
97, 8resssca 14636 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  e.  _V  ->  (Scalar ` fld )  =  (Scalar `  (flds  RR )
) )
106, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar ` fld )  =  (Scalar `  (flds  RR ) )
115, 10pwsval 14744 . . . . . . . 8  |-  ( ( (flds  RR )  e.  _V  /\  I  e.  Fin )  ->  Y  =  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
122, 4, 11sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  Y  =  ( (Scalar ` fld )
X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
1312fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( dist `  Y )  =  ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
141, 13syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  D  =  ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
1514oveqd 6302 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  =  ( F ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) G ) )
16 fconstmpt 5043 . . . . . 6  |-  ( I  X.  { (flds  RR ) } )  =  ( k  e.  I  |->  (flds  RR ) )
1716oveq2i 6296 . . . . 5  |-  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) )  =  ( (Scalar ` fld ) X_s ( k  e.  I  |->  (flds  RR ) ) )
18 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
19 fvex 5876 . . . . . 6  |-  (Scalar ` fld )  e.  _V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
(Scalar ` fld )  e.  _V )
212a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (flds  RR )  e.  _V )
2221ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
(flds  RR )  e.  _V )
23 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  X )
24 rrnequiv.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
25 ax-resscn 9550 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
26 cnfldbas 18235 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  ( Base ` fld )
277, 26ressbas2 14549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  RR  =  ( Base `  (flds  RR ) ) )
2825, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  RR  =  ( Base `  (flds  RR ) )
295, 28pwsbas 14745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (flds  RR )  e.  _V  /\  I  e.  Fin )  ->  ( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  Y ) )
302, 4, 29sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  Y ) )
3112fveq2d 5870 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( Base `  Y )  =  ( Base `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3230, 31eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3324, 32syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  X  =  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3423, 33eleqtrd 2557 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
35 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  X )
3635, 33eleqtrd 2557 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
37 cnfldds 18241 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
387, 37ressds 14672 . . . . . . 7  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( abs  o.  -  )  =  ( dist `  (flds  RR )
) )
396, 38ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist `  (flds  RR ) )
4039reseq1i 5269 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( dist `  (flds  RR )
)  |`  ( RR  X.  RR ) )
41 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )  =  ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
4217, 18, 20, 4, 22, 34, 36, 28, 40, 41prdsdsval3 14743 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) G )  =  sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
4315, 42eqtrd 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  =  sup (
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
44 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
4524, 44rrndstprj1 30156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  k  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
4645an32s 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
473, 46sylanl1 650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
4847ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
49 ovex 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V
5049rgenw 2825 . . . . . . 7  |-  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V
51 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  =  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )
52 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  ->  ( z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
5351, 52ralrnmpt 6031 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  I  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V  ->  ( A. z  e. 
ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. k  e.  I 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
5450, 53ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
5548, 54sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
5624rrnmet 30155 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
574, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X ) )
58 metge0 20675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) )
5957, 23, 35, 58syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )
60 elsni 4052 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  z  =  0 )
6160breq1d 4457 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  ( z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  0  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
6259, 61syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( z  e.  {
0 }  ->  z  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
6362ralrimiv 2876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  { 0 } z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
64 ralunb 3685 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  ( A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  A. z  e. 
{ 0 } z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
6555, 63, 64sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) )
6617, 18, 20, 4, 22, 28, 34prdsbascl 14741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  e.  RR )
6766r19.21bi 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6817, 18, 20, 4, 22, 28, 36prdsbascl 14741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( G `  k
)  e.  RR )
6968r19.21bi 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
7044remet 21122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( Met `  RR )
71 metcl 20662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( Met `  RR )  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( G `  k
)  e.  RR )  ->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
7270, 71mp3an1 1311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( G `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
7367, 69, 72syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  RR )
7473, 51fmptd 6046 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) : I --> RR )
75 frn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) : I --> RR  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR )
7674, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR )
77 ressxr 9638 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
7876, 77syl6ss 3516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR* )
79 0xr 9641 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
8079a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  e.  RR* )
8180snssd 4172 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
8278, 81unssd 3680 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR* )
83 metcl 20662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  e.  RR )
8457, 23, 35, 83syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR )
8577, 84sseldi 3502 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR* )
86 supxrleub 11519 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR*  /\  ( F ( Rn `  I
) G )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn
`  I ) G )  <->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
8782, 85, 86syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
8865, 87mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) )
8943, 88eqbrtrd 4467 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )
90 rzal 3929 . . . . . . 7  |-  ( I  =  (/)  ->  A. k  e.  I  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
9123, 24syl6eleq 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  ( RR  ^m  I ) )
92 elmapi 7441 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  I )  ->  F : I --> RR )
93 ffn 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( F : I --> RR  ->  F  Fn  I )
9491, 92, 933syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  Fn  I )
9535, 24syl6eleq 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  ( RR  ^m  I ) )
96 elmapi 7441 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( RR  ^m  I )  ->  G : I --> RR )
97 ffn 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( G : I --> RR  ->  G  Fn  I )
9895, 96, 973syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  Fn  I )
99 eqfnfv 5976 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  I  /\  G  Fn  I )  ->  ( F  =  G  <->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) ) )
10094, 98, 99syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F  =  G  <->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) ) )
10190, 100syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( I  =  (/)  ->  F  =  G ) )
102101imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  F  =  G )
103102oveq1d 6300 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  =  ( G ( Rn
`  I ) G ) )
104 met0 20673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  G  e.  X )  ->  ( G ( Rn `  I ) G )  =  0 )
10557, 35, 104syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G ( Rn
`  I ) G )  =  0 )
106 hashcl 12397 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( # `
 I )  e. 
NN0 )
1074, 106syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( # `  I )  e.  NN0 )
108107nn0red 10854 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( # `  I )  e.  RR )
109107nn0ge0d 10856 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( # `  I
) )
110108, 109resqrtcld 13215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  RR )
1115, 1, 24repwsmet 30160 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
1124, 111syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
113 metcl 20662 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  e.  RR )
114112, 23, 35, 113syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  e.  RR )
115108, 109sqrtge0d 13218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( # `  I
) ) )
116 metge0 20675 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  <_  ( F D G ) )
117112, 23, 35, 116syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F D G ) )
118110, 114, 115, 117mulge0d 10130 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
119105, 118eqbrtrd 4467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
120119adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( G
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
121103, 120eqbrtrd 4467 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
12284adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  e.  RR )
123110, 114remulcld 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )
124123adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )
125 rpre 11227 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
126125ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR )
127124, 126readdcld 9624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r )  e.  RR )
1284adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  Fin )
129 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  =/=  (/) )
130 eldifsn 4152 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  <->  ( I  e.  Fin  /\  I  =/=  (/) ) )
131128, 129, 130sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  ( Fin  \  { (/)
} ) )
13223adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  F  e.  X )
13335adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  G  e.  X )
134114adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  e.  RR )
135 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR+ )
136 hashnncl 12405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
137128, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
138129, 137mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( # `
 I )  e.  NN )
139138nnrpd 11256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( # `
 I )  e.  RR+ )
140139rpsqrtcld 13209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  RR+ )
141135, 140rpdivcld 11274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+ )
142141rpred 11257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR )
143134, 142readdcld 9624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  e.  RR )
144 0re 9597 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
145144a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  e.  RR )
146117adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  <_  ( F D G ) )
147134, 141ltaddrpd 11286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  < 
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
148145, 134, 143, 146, 147lelttrd 9740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  <  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
149143, 148elrpd 11255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  e.  RR+ )
15073adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
151134adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  e.  RR )
152143adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  e.  RR )
15382ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR* )
154 ssun1 3667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  C_  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } )
155 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  k  e.  I )
15651elrnmpt1 5251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  I  /\  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  _V )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) )
157155, 49, 156sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) )
158154, 157sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
159 supxrub 11517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR*  /\  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
160153, 158, 159syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
16143ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  =  sup (
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
162160, 161breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F D G ) )
163147adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  <  ( ( F D G )  +  ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
164150, 151, 152, 162, 163lelttrd 9740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
165164ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
16624, 44rrndstprj2 30157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  e.  RR+  /\  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
167131, 132, 133, 149, 165, 166syl32anc 1236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( ( ( F D G )  +  ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
168134recnd 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  e.  CC )
169142recnd 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  CC )
170110adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  RR )
171170recnd 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  CC )
172168, 169, 171adddird 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  ( ( ( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  +  ( ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
173168, 171mulcomd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  =  ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
174126recnd 9623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  CC )
175140rpne0d 11262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  =/=  0
)
176174, 171, 175divcan1d 10322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  r )
177173, 176oveq12d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  +  ( ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
178172, 177eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
179167, 178breqtrd 4471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
180122, 127, 179ltled 9733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
181180anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  I  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
182181ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
183 alrple 11406 . . . . . 6  |-  ( ( ( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR  /\  ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )  ->  (
( F ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
18484, 123, 183syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
185184adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
186182, 185mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
187121, 186pm2.61dane 2785 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
18889, 187jca 532 1  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F D G )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    ^m cmap 7421   Fincfn 7517   supcsup 7901   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493    + caddc 9496    x. cmul 9498   RR*cxr 9628    < clt 9629    <_ cle 9630    - cmin 9806    / cdiv 10207   NNcn 10537   NN0cn0 10796   RR+crp 11221   #chash 12374   sqrcsqrt 13032   abscabs 13033   Basecbs 14493   ↾s cress 14494  Scalarcsca 14561   distcds 14567   X_scprds 14704    ^s cpws 14705   Metcme 18215  ℂfldccnfld 18231   Rncrrn 30151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-prds 14706  df-pws 14708  df-xmet 18223  df-met 18224  df-cnfld 18232  df-rrn 30152
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  30162
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