Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnequiv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rrnequiv 32231
 Description: The supremum metric on is equivalent to the metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y flds s
rrnequiv.d
rrnequiv.1
rrnequiv.i
Assertion
Ref Expression
rrnequiv

Proof of Theorem rrnequiv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnequiv.d . . . . . 6
2 ovex 6336 . . . . . . . 8 flds
3 rrnequiv.i . . . . . . . . 9
43adantr 472 . . . . . . . 8
5 rrnequiv.y . . . . . . . . 9 flds s
6 reex 9648 . . . . . . . . . 10
7 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 flds flds
8 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 Scalarfld Scalarfld
97, 8resssca 15353 . . . . . . . . . 10 Scalarfld Scalarflds
106, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Scalarfld Scalarflds
115, 10pwsval 15462 . . . . . . . 8 flds Scalarflds flds
122, 4, 11sylancr 676 . . . . . . 7 Scalarflds flds
1312fveq2d 5883 . . . . . 6 Scalarflds flds
141, 13syl5eq 2517 . . . . 5 Scalarflds flds
1514oveqd 6325 . . . 4 Scalarflds flds
16 fconstmpt 4883 . . . . . 6 flds flds
1716oveq2i 6319 . . . . 5 Scalarflds flds Scalarflds flds
18 eqid 2471 . . . . 5 Scalarflds flds Scalarflds flds
19 fvex 5889 . . . . . 6 Scalarfld
2019a1i 11 . . . . 5 Scalarfld
212a1i 11 . . . . . 6 flds
2221ralrimiva 2809 . . . . 5 flds
23 simprl 772 . . . . . 6
24 rrnequiv.1 . . . . . . 7
25 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . 11
26 cnfldbas 19051 . . . . . . . . . . . 12 fld
277, 26ressbas2 15258 . . . . . . . . . . 11 flds
2825, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 flds
295, 28pwsbas 15463 . . . . . . . . 9 flds
302, 4, 29sylancr 676 . . . . . . . 8
3112fveq2d 5883 . . . . . . . 8 Scalarflds flds
3230, 31eqtrd 2505 . . . . . . 7 Scalarflds flds
3324, 32syl5eq 2517 . . . . . 6 Scalarflds flds
3423, 33eleqtrd 2551 . . . . 5 Scalarflds flds
35 simprr 774 . . . . . 6
3635, 33eleqtrd 2551 . . . . 5 Scalarflds flds
37 cnfldds 19057 . . . . . . . 8 fld
387, 37ressds 15389 . . . . . . 7 flds
396, 38ax-mp 5 . . . . . 6 flds
4039reseq1i 5107 . . . . 5 flds
41 eqid 2471 . . . . 5 Scalarflds flds Scalarflds flds
4217, 18, 20, 4, 22, 34, 36, 28, 40, 41prdsdsval3 15461 . . . 4 Scalarflds flds
4315, 42eqtrd 2505 . . 3
44 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
4524, 44rrndstprj1 32226 . . . . . . . . 9
4645an32s 821 . . . . . . . 8
473, 46sylanl1 662 . . . . . . 7
4847ralrimiva 2809 . . . . . 6
49 ovex 6336 . . . . . . . 8
5049rgenw 2768 . . . . . . 7
51 eqid 2471 . . . . . . . 8
52 breq1 4398 . . . . . . . 8
5351, 52ralrnmpt 6046 . . . . . . 7
5450, 53ax-mp 5 . . . . . 6
5548, 54sylibr 217 . . . . 5
5624rrnmet 32225 . . . . . . . . 9
574, 56syl 17 . . . . . . . 8
58 metge0 21438 . . . . . . . 8
5957, 23, 35, 58syl3anc 1292 . . . . . . 7
60 elsni 3985 . . . . . . . 8
6160breq1d 4405 . . . . . . 7
6259, 61syl5ibrcom 230 . . . . . 6
6362ralrimiv 2808 . . . . 5
64 ralunb 3606 . . . . 5
6555, 63, 64sylanbrc 677 . . . 4
6617, 18, 20, 4, 22, 28, 34prdsbascl 15459 . . . . . . . . . . 11
6766r19.21bi 2776 . . . . . . . . . 10
6817, 18, 20, 4, 22, 28, 36prdsbascl 15459 . . . . . . . . . . 11
6968r19.21bi 2776 . . . . . . . . . 10
7044remet 21886 . . . . . . . . . . 11
71 metcl 21425 . . . . . . . . . . 11
7270, 71mp3an1 1377 . . . . . . . . . 10
7367, 69, 72syl2anc 673 . . . . . . . . 9
7473, 51fmptd 6061 . . . . . . . 8
75 frn 5747 . . . . . . . 8
7674, 75syl 17 . . . . . . 7
77 ressxr 9702 . . . . . . 7
7876, 77syl6ss 3430 . . . . . 6
79 0xr 9705 . . . . . . . 8
8079a1i 11 . . . . . . 7
8180snssd 4108 . . . . . 6
8278, 81unssd 3601 . . . . 5
83 metcl 21425 . . . . . . 7
8457, 23, 35, 83syl3anc 1292 . . . . . 6
8577, 84sseldi 3416 . . . . 5
86 supxrleub 11637 . . . . 5
8782, 85, 86syl2anc 673 . . . 4
8865, 87mpbird 240 . . 3
8943, 88eqbrtrd 4416 . 2
90 rzal 3862 . . . . . . 7
9123, 24syl6eleq 2559 . . . . . . . . 9
92 elmapi 7511 . . . . . . . . 9
93 ffn 5739 . . . . . . . . 9
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . 8
9535, 24syl6eleq 2559 . . . . . . . . 9
96 elmapi 7511 . . . . . . . . 9
97 ffn 5739 . . . . . . . . 9
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . 8
99 eqfnfv 5991 . . . . . . . 8
10094, 98, 99syl2anc 673 . . . . . . 7
10190, 100syl5ibr 229 . . . . . 6
102101imp 436 . . . . 5
103102oveq1d 6323 . . . 4
104 met0 21436 . . . . . . 7
10557, 35, 104syl2anc 673 . . . . . 6
106 hashcl 12576 . . . . . . . . . 10
1074, 106syl 17 . . . . . . . . 9
108107nn0red 10950 . . . . . . . 8
109107nn0ge0d 10952 . . . . . . . 8
110108, 109resqrtcld 13556 . . . . . . 7
1115, 1, 24repwsmet 32230 . . . . . . . . 9
1124, 111syl 17 . . . . . . . 8
113 metcl 21425 . . . . . . . 8
114112, 23, 35, 113syl3anc 1292 . . . . . . 7
115108, 109sqrtge0d 13559 . . . . . . 7
116 metge0 21438 . . . . . . . 8
117112, 23, 35, 116syl3anc 1292 . . . . . . 7
118110, 114, 115, 117mulge0d 10211 . . . . . 6
119105, 118eqbrtrd 4416 . . . . 5
120119adantr 472 . . . 4
121103, 120eqbrtrd 4416 . . 3
12284adantr 472 . . . . . . 7
123110, 114remulcld 9689 . . . . . . . . 9
124123adantr 472 . . . . . . . 8
125 rpre 11331 . . . . . . . . 9
126125ad2antll 743 . . . . . . . 8
127124, 126readdcld 9688 . . . . . . 7
1284adantr 472 . . . . . . . . . 10
129 simprl 772 . . . . . . . . . 10
130 eldifsn 4088 . . . . . . . . . 10
131128, 129, 130sylanbrc 677 . . . . . . . . 9
13223adantr 472 . . . . . . . . 9
13335adantr 472 . . . . . . . . 9
134114adantr 472 . . . . . . . . . . 11
135 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13
136 hashnncl 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137128, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138129, 137mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15
139138nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . 14
140139rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . . . . . 13
141135, 140rpdivcld 11381 . . . . . . . . . . . 12
142141rpred 11364 . . . . . . . . . . 11
143134, 142readdcld 9688 . . . . . . . . . 10
144 0red 9662 . . . . . . . . . . 11
145117adantr 472 . . . . . . . . . . 11
146134, 141ltaddrpd 11394 . . . . . . . . . . 11
147144, 134, 143, 145, 146lelttrd 9810 . . . . . . . . . 10
148143, 147elrpd 11361 . . . . . . . . 9
14973adantlr 729 . . . . . . . . . . 11
150134adantr 472 . . . . . . . . . . 11
151143adantr 472 . . . . . . . . . . 11
15282ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
153 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . 14
154 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
15551elrnmpt1 5089 . . . . . . . . . . . . . . 15
156154, 49, 155sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14
157153, 156sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13
158 supxrub 11635 . . . . . . . . . . . . 13
159152, 157, 158syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
16043ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
161159, 160breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . 11
162146adantr 472 . . . . . . . . . . 11
163149, 150, 151, 161, 162lelttrd 9810 . . . . . . . . . 10
164163ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9
16524, 44rrndstprj2 32227 . . . . . . . . 9
166131, 132, 133, 148, 164, 165syl32anc 1300 . . . . . . . 8
167134recnd 9687 . . . . . . . . . 10
168142recnd 9687 . . . . . . . . . 10
169110adantr 472 . . . . . . . . . . 11
170169recnd 9687 . . . . . . . . . 10
171167, 168, 170adddird 9686 . . . . . . . . 9
172167, 170mulcomd 9682 . . . . . . . . . 10
173126recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
174140rpne0d 11369 . . . . . . . . . . 11
175173, 170, 174divcan1d 10406 . . . . . . . . . 10
176172, 175oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
177171, 176eqtrd 2505 . . . . . . . 8
178166, 177breqtrd 4420 . . . . . . 7
179122, 127, 178ltled 9800 . . . . . 6
180179anassrs 660 . . . . 5
181180ralrimiva 2809 . . . 4
182 alrple 11522 . . . . . 6
18384, 123, 182syl2anc 673 . . . . 5
184183adantr 472 . . . 4
185181, 184mpbird 240 . . 3
186121, 185pm2.61dane 2730 . 2
18789, 186jca 541 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   wss 3390  c0 3722  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   crn 4840   cres 4841   ccom 4843   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490  cfn 7587  csup 7972  cc 9555  cr 9556  cc0 9557   caddc 9560   cmul 9562  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  cn0 10893  crp 11325  chash 12553  csqrt 13373  cabs 13374  cbs 15199   ↾s cress 15200  Scalarcsca 15271  cds 15277  scprds 15422   s cpws 15423  cme 19033  ℂfldccnfld 19047  crrn 32221 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-prds 15424  df-pws 15426  df-xmet 19040  df-met 19041  df-cnfld 19048  df-rrn 32222 This theorem is referenced by:  rrntotbnd  32232
 Copyright terms: Public domain W3C validator