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Theorem rrndstprj2 28727
Description: Bound on the distance between two points in Euclidean space given bounds on the distances in each coordinate. This theorem and rrndstprj1 28726 can be used to show that the supremum norm and Euclidean norm are equivalent. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrndstprj1.1  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
rrndstprj2  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
Distinct variable groups:    n, G    n, I    n, M    R, n    n, F
Allowed substitution hint:    X( n)

Proof of Theorem rrndstprj2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  I  e.  ( Fin  \  { (/) } ) )
21eldifad 3338 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  I  e.  Fin )
3 simpl2 992 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  F  e.  X
)
4 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  G  e.  X
)
5 rrnval.1 . . . 4  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
65rrnmval 28724 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
72, 3, 4, 6syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
8 eldifsni 3999 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  ->  I  =/=  (/) )
91, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  I  =/=  (/) )
103, 5syl6eleq 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  F  e.  ( RR  ^m  I ) )
11 elmapi 7232 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  I )  ->  F : I --> RR )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  F : I --> RR )
1312ffvelrnda 5841 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
144, 5syl6eleq 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  G  e.  ( RR  ^m  I ) )
15 elmapi 7232 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( RR  ^m  I )  ->  G : I --> RR )
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  G : I --> RR )
1716ffvelrnda 5841 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
1813, 17resubcld 9774 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  e.  RR )
1918resqcld 12032 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
20 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  R  e.  RR+ )
2120rpred 11025 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  R  e.  RR )
2221resqcld 12032 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R ^
2 )  e.  RR )
2322adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
24 absresq 12789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
2518, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
26 rrndstprj1.1 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
2726remetdval 20364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( G `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ) )
2813, 17, 27syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  =  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ) )
29 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( F `  n ) M ( G `  n ) )  <  R )
30 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
31 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
3230, 31oveq12d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  =  ( ( F `
 k ) M ( G `  k
) ) )
3332breq1d 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( F `  n ) M ( G `  n ) )  <  R  <->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  < 
R ) )
3433rspccva 3070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  I 
( ( F `  n ) M ( G `  n ) )  <  R  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  <  R )
3529, 34sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  < 
R )
3628, 35eqbrtrrd 4312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  R
)
3718recnd 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  e.  CC )
3837abscld 12920 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  e.  RR )
3921adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  R  e.  RR )
4037absge0d 12928 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  0  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ) )
4120rpge0d 11029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  R
)
4241adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  0  <_  R )
4338, 39, 40, 42lt2sqd 12040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )  <  R  <->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ) ^ 2 )  <  ( R ^
2 ) ) )
4436, 43mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ) ^ 2 )  <  ( R ^ 2 ) )
4525, 44eqbrtrrd 4312 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  < 
( R ^ 2 ) )
462, 9, 19, 23, 45fsumlt 13261 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  <  sum_ k  e.  I 
( R ^ 2 ) )
472, 19fsumrecl 13209 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
4818sqge0d 12033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  0  <_  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
492, 19, 48fsumge0 13256 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
50 resqrth 12743 . . . . 5  |-  ( (
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
5147, 49, 50syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
52 hashnncl 12132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
532, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
549, 53mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  NN )
5554nnrpd 11024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  RR+ )
5655rpred 11025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  RR )
5755rpge0d 11029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  ( # `
 I ) )
58 resqrth 12743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  I
)  e.  RR  /\  0  <_  ( # `  I
) )  ->  (
( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 )  =  ( # `  I
) )
5956, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  ( # `  I
) ) ^ 2 )  =  ( # `  I ) )
6059oveq2d 6105 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( # `  I
) ) )
6122recnd 9410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R ^
2 )  e.  CC )
6255rpcnd 11027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  CC )
6361, 62mulcomd 9405 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( # `  I
) )  =  ( ( # `  I
)  x.  ( R ^ 2 ) ) )
6460, 63eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( # `  I )  x.  ( R ^ 2 ) ) )
6520rpcnd 11027 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  R  e.  CC )
6655rpsqrcld 12896 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  RR+ )
6766rpcnd 11027 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  CC )
6865, 67sqmuld 12018 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 ) ) )
69 fsumconst 13255 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( R ^ 2 )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  I  ( R ^ 2 )  =  ( ( # `  I )  x.  ( R ^ 2 ) ) )
702, 61, 69syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  sum_ k  e.  I 
( R ^ 2 )  =  ( (
# `  I )  x.  ( R ^ 2 ) ) )
7164, 68, 703eqtr4d 2483 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( R ^ 2 ) )
7246, 51, 713brtr4d 4320 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 ) )
7347, 49resqrcld 12902 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  RR )
7420, 66rpmulcld 11041 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I ) ) )  e.  RR+ )
7574rpred 11025 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I ) ) )  e.  RR )
7647, 49sqrge0d 12905 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
7774rpge0d 11029 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
7873, 75, 76, 77lt2sqd 12040 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  <->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 ) ) )
7972, 78mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
807, 79eqbrtrd 4310 1  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   A.wral 2713    \ cdif 3323   (/)c0 3635   {csn 3875   class class class wbr 4290    X. cxp 4836    |` cres 4840    o. ccom 4842   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    ^m cmap 7212   Fincfn 7308   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280    x. cmul 9285    < clt 9416    <_ cle 9417    - cmin 9593   NNcn 10320   2c2 10369   RR+crp 10989   ^cexp 11863   #chash 12101   sqrcsqr 12720   abscabs 12721   sum_csu 13161   Rncrrn 28721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-ico 11304  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-sum 13162  df-rrn 28722
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