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Theorem rrndstprj2 31867
Description: Bound on the distance between two points in Euclidean space given bounds on the distances in each coordinate. This theorem and rrndstprj1 31866 can be used to show that the supremum norm and Euclidean norm are equivalent. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrndstprj1.1  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
rrndstprj2  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
Distinct variable groups:    n, G    n, I    n, M    R, n    n, F
Allowed substitution hint:    X( n)

Proof of Theorem rrndstprj2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1008 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  I  e.  ( Fin  \  { (/) } ) )
21eldifad 3454 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  I  e.  Fin )
3 simpl2 1009 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  F  e.  X
)
4 simpl3 1010 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  G  e.  X
)
5 rrnval.1 . . . 4  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
65rrnmval 31864 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
72, 3, 4, 6syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
8 eldifsni 4129 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  ->  I  =/=  (/) )
91, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  I  =/=  (/) )
103, 5syl6eleq 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  F  e.  ( RR  ^m  I ) )
11 elmapi 7501 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  I )  ->  F : I --> RR )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  F : I --> RR )
1312ffvelrnda 6037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
144, 5syl6eleq 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  G  e.  ( RR  ^m  I ) )
15 elmapi 7501 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( RR  ^m  I )  ->  G : I --> RR )
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  G : I --> RR )
1716ffvelrnda 6037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
1813, 17resubcld 10046 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  e.  RR )
1918resqcld 12439 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
20 simprl 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  R  e.  RR+ )
2120rpred 11341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  R  e.  RR )
2221resqcld 12439 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R ^
2 )  e.  RR )
2322adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
24 absresq 13344 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
2518, 24syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
26 rrndstprj1.1 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
2726remetdval 21718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( G `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ) )
2813, 17, 27syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  =  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ) )
29 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( F `  n ) M ( G `  n ) )  <  R )
30 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
31 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
3230, 31oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  =  ( ( F `
 k ) M ( G `  k
) ) )
3332breq1d 4436 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( F `  n ) M ( G `  n ) )  <  R  <->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  < 
R ) )
3433rspccva 3187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  I 
( ( F `  n ) M ( G `  n ) )  <  R  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  <  R )
3529, 34sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  < 
R )
3628, 35eqbrtrrd 4448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  R
)
3718recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  e.  CC )
3837abscld 13476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  e.  RR )
3921adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  R  e.  RR )
4037absge0d 13484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  0  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ) )
4120rpge0d 11345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  R
)
4241adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  0  <_  R )
4338, 39, 40, 42lt2sqd 12447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )  <  R  <->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ) ^ 2 )  <  ( R ^
2 ) ) )
4436, 43mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ) ^ 2 )  <  ( R ^ 2 ) )
4525, 44eqbrtrrd 4448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  < 
( R ^ 2 ) )
462, 9, 19, 23, 45fsumlt 13838 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  <  sum_ k  e.  I 
( R ^ 2 ) )
472, 19fsumrecl 13778 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
4818sqge0d 12440 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  0  <_  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
492, 19, 48fsumge0 13833 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
50 resqrtth 13298 . . . . 5  |-  ( (
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
5147, 49, 50syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
52 hashnncl 12544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
532, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
549, 53mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  NN )
5554nnrpd 11339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  RR+ )
5655rpred 11341 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  RR )
5755rpge0d 11345 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  ( # `
 I ) )
58 resqrtth 13298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  I
)  e.  RR  /\  0  <_  ( # `  I
) )  ->  (
( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 )  =  ( # `  I
) )
5956, 57, 58syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  ( # `  I
) ) ^ 2 )  =  ( # `  I ) )
6059oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( # `  I
) ) )
6122recnd 9668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R ^
2 )  e.  CC )
6255rpcnd 11343 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  CC )
6361, 62mulcomd 9663 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( # `  I
) )  =  ( ( # `  I
)  x.  ( R ^ 2 ) ) )
6460, 63eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( # `  I )  x.  ( R ^ 2 ) ) )
6520rpcnd 11343 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  R  e.  CC )
6655rpsqrtcld 13452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  RR+ )
6766rpcnd 11343 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  CC )
6865, 67sqmuld 12425 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 ) ) )
69 fsumconst 13829 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( R ^ 2 )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  I  ( R ^ 2 )  =  ( ( # `  I )  x.  ( R ^ 2 ) ) )
702, 61, 69syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  sum_ k  e.  I 
( R ^ 2 )  =  ( (
# `  I )  x.  ( R ^ 2 ) ) )
7164, 68, 703eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( R ^ 2 ) )
7246, 51, 713brtr4d 4456 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 ) )
7347, 49resqrtcld 13458 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  RR )
7420, 66rpmulcld 11357 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I ) ) )  e.  RR+ )
7574rpred 11341 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I ) ) )  e.  RR )
7647, 49sqrtge0d 13461 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
7774rpge0d 11345 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
7873, 75, 76, 77lt2sqd 12447 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  <->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 ) ) )
7972, 78mpbird 235 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
807, 79eqbrtrd 4446 1  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782    \ cdif 3439   (/)c0 3767   {csn 4002   class class class wbr 4426    X. cxp 4852    |` cres 4856    o. ccom 4858   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   NNcn 10609   2c2 10659   RR+crp 11302   ^cexp 12269   #chash 12512   sqrcsqrt 13275   abscabs 13276   sum_csu 13730   Rncrrn 31861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-rrn 31862
This theorem is referenced by:  rrncmslem  31868  rrnequiv  31871
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