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Theorem rrndstprj1 29929
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrndstprj1.1  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
rrndstprj1  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )

Proof of Theorem rrndstprj1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  I  e.  Fin )
2 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  X )
3 rrnval.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
42, 3syl6eleq 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  ( RR  ^m  I ) )
5 elmapi 7437 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  I )  ->  F : I --> RR )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F : I --> RR )
76ffvelrnda 6019 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
8 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  X )
98, 3syl6eleq 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  ( RR  ^m  I ) )
10 elmapi 7437 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( RR  ^m  I )  ->  G : I --> RR )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G : I --> RR )
1211ffvelrnda 6019 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
137, 12resubcld 9983 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR )
1413resqcld 12300 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
1513sqge0d 12301 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  0  <_  ( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
16 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( F `  k )  =  ( F `  A ) )
17 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( G `  k )  =  ( G `  A ) )
1816, 17oveq12d 6300 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) )
1918oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
20 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A  e.  I )
211, 14, 15, 19, 20fsumge1 13570 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) ^ 2 )  <_  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
226, 20ffvelrnd 6020 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  e.  RR )
2311, 20ffvelrnd 6020 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G `  A
)  e.  RR )
2422, 23resubcld 9983 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  -  ( G `  A )
)  e.  RR )
25 absresq 13094 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  A
)  -  ( G `
 A ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
271, 14fsumrecl 13515 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  I  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
281, 14, 15fsumge0 13568 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  sum_ k  e.  I  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
29 resqrtth 13048 . . . . 5  |-  ( (
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
3121, 26, 303brtr4d 4477 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
3224recnd 9618 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  -  ( G `  A )
)  e.  CC )
3332abscld 13226 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  e.  RR )
3427, 28resqrtcld 13208 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  RR )
3532absge0d 13234 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
3627, 28sqrtge0d 13211 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
3733, 34, 35, 36le2sqd 12309 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
3831, 37mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
39 rrndstprj1.1 . . . 4  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
4039remetdval 21029 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
4122, 23, 40syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
423rrnmval 29927 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
43423expb 1197 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
4443adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
4538, 41, 443brtr4d 4477 1  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447    X. cxp 4997    |` cres 5001    o. ccom 5003   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   RRcr 9487   0cc0 9488    <_ cle 9625    - cmin 9801   2c2 10581   ^cexp 12130   sqrcsqrt 13025   abscabs 13026   sum_csu 13467   Rncrrn 29924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ico 11531  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-rrn 29925
This theorem is referenced by:  rrncmslem  29931  rrnequiv  29934
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