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Theorem rrndstprj1 31608
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrndstprj1.1  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
rrndstprj1  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )

Proof of Theorem rrndstprj1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 752 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  I  e.  Fin )
2 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  X )
3 rrnval.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
42, 3syl6eleq 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  ( RR  ^m  I ) )
5 elmapi 7478 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  I )  ->  F : I --> RR )
64, 5syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F : I --> RR )
76ffvelrnda 6009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
8 simprr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  X )
98, 3syl6eleq 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  ( RR  ^m  I ) )
10 elmapi 7478 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( RR  ^m  I )  ->  G : I --> RR )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G : I --> RR )
1211ffvelrnda 6009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
137, 12resubcld 10028 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR )
1413resqcld 12380 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
1513sqge0d 12381 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  0  <_  ( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
16 fveq2 5849 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( F `  k )  =  ( F `  A ) )
17 fveq2 5849 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( G `  k )  =  ( G `  A ) )
1816, 17oveq12d 6296 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) )
1918oveq1d 6293 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
20 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A  e.  I )
211, 14, 15, 19, 20fsumge1 13762 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) ^ 2 )  <_  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
226, 20ffvelrnd 6010 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  e.  RR )
2311, 20ffvelrnd 6010 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G `  A
)  e.  RR )
2422, 23resubcld 10028 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  -  ( G `  A )
)  e.  RR )
25 absresq 13284 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  A
)  -  ( G `
 A ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
2624, 25syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
271, 14fsumrecl 13705 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  I  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
281, 14, 15fsumge0 13760 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  sum_ k  e.  I  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
29 resqrtth 13238 . . . . 5  |-  ( (
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
3027, 28, 29syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
3121, 26, 303brtr4d 4425 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
3224recnd 9652 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  -  ( G `  A )
)  e.  CC )
3332abscld 13416 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  e.  RR )
3427, 28resqrtcld 13398 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  RR )
3532absge0d 13424 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
3627, 28sqrtge0d 13401 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
3733, 34, 35, 36le2sqd 12389 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
3831, 37mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
39 rrndstprj1.1 . . . 4  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
4039remetdval 21586 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
4122, 23, 40syl2anc 659 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
423rrnmval 31606 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
43423expb 1198 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
4443adantlr 713 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
4538, 41, 443brtr4d 4425 1  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395    X. cxp 4821    |` cres 4825    o. ccom 4827   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457   Fincfn 7554   RRcr 9521   0cc0 9522    <_ cle 9659    - cmin 9841   2c2 10626   ^cexp 12210   sqrcsqrt 13215   abscabs 13216   sum_csu 13657   Rncrrn 31603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-ico 11588  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-rrn 31604
This theorem is referenced by:  rrncmslem  31610  rrnequiv  31613
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