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Theorem rrndstprj1 28872
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrndstprj1.1  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
rrndstprj1  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )

Proof of Theorem rrndstprj1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  I  e.  Fin )
2 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  X )
3 rrnval.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
42, 3syl6eleq 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  ( RR  ^m  I ) )
5 elmapi 7339 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  I )  ->  F : I --> RR )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F : I --> RR )
76ffvelrnda 5947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
8 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  X )
98, 3syl6eleq 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  ( RR  ^m  I ) )
10 elmapi 7339 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( RR  ^m  I )  ->  G : I --> RR )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G : I --> RR )
1211ffvelrnda 5947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
137, 12resubcld 9882 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR )
1413resqcld 12146 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
1513sqge0d 12147 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  0  <_  ( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
16 fveq2 5794 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( F `  k )  =  ( F `  A ) )
17 fveq2 5794 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( G `  k )  =  ( G `  A ) )
1816, 17oveq12d 6213 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) )
1918oveq1d 6210 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
20 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A  e.  I )
211, 14, 15, 19, 20fsumge1 13373 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) ^ 2 )  <_  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
226, 20ffvelrnd 5948 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  e.  RR )
2311, 20ffvelrnd 5948 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G `  A
)  e.  RR )
2422, 23resubcld 9882 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  -  ( G `  A )
)  e.  RR )
25 absresq 12904 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  A
)  -  ( G `
 A ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
271, 14fsumrecl 13324 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  I  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
281, 14, 15fsumge0 13371 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  sum_ k  e.  I  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
29 resqrth 12858 . . . . 5  |-  ( (
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
3121, 26, 303brtr4d 4425 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
3224recnd 9518 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  -  ( G `  A )
)  e.  CC )
3332abscld 13035 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  e.  RR )
3427, 28resqrcld 13017 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  RR )
3532absge0d 13043 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
3627, 28sqrge0d 13020 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
3733, 34, 35, 36le2sqd 12155 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
3831, 37mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
39 rrndstprj1.1 . . . 4  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
4039remetdval 20493 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
4122, 23, 40syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
423rrnmval 28870 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
43423expb 1189 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
4443adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
4538, 41, 443brtr4d 4425 1  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4395    X. cxp 4941    |` cres 4945    o. ccom 4947   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    ^m cmap 7319   Fincfn 7415   RRcr 9387   0cc0 9388    <_ cle 9525    - cmin 9701   2c2 10477   ^cexp 11977   sqrcsqr 12835   abscabs 12836   sum_csu 13276   Rncrrn 28867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-ico 11412  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-clim 13079  df-sum 13277  df-rrn 28868
This theorem is referenced by:  rrncmslem  28874  rrnequiv  28877
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