Theorem rrndm 16015

Description: The underlying set of Euclidean space.

Assertion

Ref	Expression
rrndm	|- (N e. NN -> dom dom (RRn` N) = (RR ^m (1...N)))

Proof of Theorem rrndm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnval 16013	. . . . 5 |- (N e. NN -> (RRn` N) = {<.<.x, y>., d>. | ((x e. (RR ^m (1...N)) /\ y e. (RR ^m (1...N))) /\ d = (sqr` sum_k e. (1...N)(((x` k) - (y` k))^2)))})
2	1	dmeqd 4159	. . . 4 |- (N e. NN -> dom (RRn` N) = dom {<.<.x, y>., d>. | ((x e. (RR ^m (1...N)) /\ y e. (RR ^m (1...N))) /\ d = (sqr` sum_k e. (1...N)(((x` k) - (y` k))^2)))})
3		fvex 4689	. . . . 5 |- (sqr` sum_k e. (1...N)(((x` k) - (y` k))^2)) e. _V
4		eqid 1884	. . . . 5 |- {<.<.x, y>., d>. | ((x e. (RR ^m (1...N)) /\ y e. (RR ^m (1...N))) /\ d = (sqr` sum_k e. (1...N)(((x` k) - (y` k))^2)))} = {<.<.x, y>., d>. | ((x e. (RR ^m (1...N)) /\ y e. (RR ^m (1...N))) /\ d = (sqr` sum_k e. (1...N)(((x` k) - (y` k))^2)))}
5	3, 4	dmoprab2 5065	. . . 4 |- dom {<.<.x, y>., d>. | ((x e. (RR ^m (1...N)) /\ y e. (RR ^m (1...N))) /\ d = (sqr` sum_k e. (1...N)(((x` k) - (y` k))^2)))} = ((RR ^m (1...N)) X. (RR ^m (1...N)))
6	2, 5	syl6eq 1944	. . 3 |- (N e. NN -> dom (RRn` N) = ((RR ^m (1...N)) X. (RR ^m (1...N))))
7	6	dmeqd 4159	. 2 |- (N e. NN -> dom dom (RRn` N) = dom ((RR ^m (1...N)) X. (RR ^m (1...N))))
8		0re 6603	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
9		n0i 2880	. . . . . . 7 |- (0 e. RR -> -. RR = (/))
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . 6 |- -. RR = (/)
11		reex 6465	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
12		oprex 4907	. . . . . . . 8 |- (1...N) e. _V
13	11, 12	map0 5403	. . . . . . 7 |- ((RR ^m (1...N)) = (/) <-> (RR = (/) /\ (1...N) =/= (/)))
14	13	simplbi 349	. . . . . 6 |- ((RR ^m (1...N)) = (/) -> RR = (/))
15	10, 14	mto 121	. . . . 5 |- -. (RR ^m (1...N)) = (/)
16		df-ne 2019	. . . . 5 |- ((RR ^m (1...N)) =/= (/) <-> -. (RR ^m (1...N)) = (/))
17	15, 16	mpbir 207	. . . 4 |- (RR ^m (1...N)) =/= (/)
18	17	a1i 8	. . 3 |- (N e. NN -> (RR ^m (1...N)) =/= (/))
19		dmxp 4177	. . 3 |- ((RR ^m (1...N)) =/= (/) -> dom ((RR ^m (1...N)) X. (RR ^m (1...N))) = (RR ^m (1...N)))
20	18, 19	syl 12	. 2 |- (N e. NN -> dom ((RR ^m (1...N)) X. (RR ^m (1...N))) = (RR ^m (1...N)))
21	7, 20	eqtrd 1925	1 |- (N e. NN -> dom dom (RRn` N) = (RR ^m (1...N)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (/)c0 2875   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885   ^m cmap 5381  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   - cmin 6445  NNcn 6449  2c2 7145  ...cfz 7637  ^cexp 7811  sqrcsqr 7919  sum_csu 8239  RRncrrn 16011

This theorem is referenced by:  rrnmet 16016  rrncms 16019  rrntotbndlem1 16020  rrntotbnd 16022  rrnheibor 16023  ismrer1 16024

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sum 8240  df-rrn 16012

Copyright terms: Public domain