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Theorem rrncmslem 28736
Description: Lemma for rrncms 28737. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrndstprj1.1  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
rrncms.3  |-  J  =  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) )
rrncms.4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
rrncms.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )
rrncms.6  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
rrncms.7  |-  P  =  ( m  e.  I  |->  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  m ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
rrncmslem  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Distinct variable groups:    m, I    t, m, F
Allowed substitution hints:    ph( t, m)    P( t, m)    I( t)    J( t, m)    M( t, m)    X( t, m)

Proof of Theorem rrncmslem
Dummy variables  k  n  x  y  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmrel 18839 . 2  |-  Rel  ( ~~> t `  J )
2 fvex 5706 . . . . . . . 8  |-  (  ~~>  `  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  m )
) )  e.  _V
3 rrncms.7 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( m  e.  I  |->  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  m ) ) ) )
42, 3fnmpti 5544 . . . . . . 7  |-  P  Fn  I
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  Fn  I )
6 nnuz 10901 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 1z 10681 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  1  e.  ZZ )
9 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  k  ->  ( F `  t )  =  ( F `  k ) )
109fveq1d 5698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  k  ->  (
( F `  t
) `  n )  =  ( ( F `
 k ) `  n ) )
11 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) )  =  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) )
12 fvex 5706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k ) `
 n )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 n ) )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 n ) )
15 rrncms.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
1615ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  X )
17 rrnval.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
1816, 17syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  ( RR  ^m  I
) )
19 elmapi 7239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k )  e.  ( RR  ^m  I )  ->  ( F `  k ) : I --> RR )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k ) : I --> RR )
2120ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  I )  ->  (
( F `  k
) `  n )  e.  RR )
2221an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
) `  n )  e.  RR )
2314, 22eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  k
)  e.  RR )
2423recnd 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  k
)  e.  CC )
25 rrncms.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )
26 rrncms.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
2717rrnmet 28733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X ) )
29 metxmet 19914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
)  ->  ( Rn `  I )  e.  ( *Met `  X
) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Rn `  I
)  e.  ( *Met `  X ) )
317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
32 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( F `  k
) )
33 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  =  ( F `  j
) )
346, 30, 31, 32, 33, 15iscauf 20796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( Rn
`  I ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) ( Rn
`  I ) ( F `  k ) )  <  x ) )
3525, 34mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) ( Rn `  I
) ( F `  k ) )  < 
x )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) ( Rn
`  I ) ( F `  k ) )  <  x )
3726ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  I  e.  Fin )
38 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  I
)
3915ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  F : NN --> X )
406uztrn2 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
4140adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  NN )
4239, 41ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
43 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  j  e.  NN )
4439, 43ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
)
45 rrndstprj1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
4617, 45rrndstprj1 28734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  n  e.  I )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 j )  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( ( F `  j
) `  n )
)  <_  ( ( F `  k )
( Rn `  I
) ( F `  j ) ) )
4737, 38, 42, 44, 46syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  <_  (
( F `  k
) ( Rn `  I ) ( F `
 j ) ) )
4828ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X ) )
49 metsym 19930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  (
( F `  k
) ( Rn `  I ) ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 j ) ( Rn `  I ) ( F `  k
) ) )
5048, 42, 44, 49syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( F `
 k ) ( Rn `  I ) ( F `  j
) )  =  ( ( F `  j
) ( Rn `  I ) ( F `
 k ) ) )
5147, 50breqtrd 4321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  <_  (
( F `  j
) ( Rn `  I ) ( F `
 k ) ) )
5251adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  <_  (
( F `  j
) ( Rn `  I ) ( F `
 k ) ) )
5345remet 20372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  M  e.  ( Met `  RR )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  M  e.  ( Met `  RR ) )
55 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ph  /\  n  e.  I )
)
5655, 41, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( F `
 k ) `  n )  e.  RR )
5715ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  e.  X )
5857, 17syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  e.  ( RR  ^m  I
) )
59 elmapi 7239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  j )  e.  ( RR  ^m  I )  ->  ( F `  j ) : I --> RR )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j ) : I --> RR )
6160ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  I )  ->  (
( F `  j
) `  n )  e.  RR )
6261an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  j
) `  n )  e.  RR )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( F `
 j ) `  n )  e.  RR )
64 metcl 19912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ( Met `  RR )  /\  (
( F `  k
) `  n )  e.  RR  /\  ( ( F `  j ) `
 n )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  k ) `  n
) M ( ( F `  j ) `
 n ) )  e.  RR )
6554, 56, 63, 64syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  e.  RR )
6665adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  e.  RR )
67 metcl 19912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k )  e.  X )  ->  (
( F `  j
) ( Rn `  I ) ( F `
 k ) )  e.  RR )
6848, 44, 42, 67syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( F `
 j ) ( Rn `  I ) ( F `  k
) )  e.  RR )
6968adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( F `
 j ) ( Rn `  I ) ( F `  k
) )  e.  RR )
70 rpre 11002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
7170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
7271ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  x  e.  RR )
73 lelttr 9470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( ( F `  j
) `  n )
)  e.  RR  /\  ( ( F `  j ) ( Rn
`  I ) ( F `  k ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( ( F `
 j ) `  n ) )  <_ 
( ( F `  j ) ( Rn
`  I ) ( F `  k ) )  /\  ( ( F `  j ) ( Rn `  I
) ( F `  k ) )  < 
x )  ->  (
( ( F `  k ) `  n
) M ( ( F `  j ) `
 n ) )  <  x ) )
7466, 69, 72, 73syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( ( ( F `  k ) `  n
) M ( ( F `  j ) `
 n ) )  <_  ( ( F `
 j ) ( Rn `  I ) ( F `  k
) )  /\  (
( F `  j
) ( Rn `  I ) ( F `
 k ) )  <  x )  -> 
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( ( F `  j
) `  n )
)  <  x )
)
7552, 74mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  j ) ( Rn `  I
) ( F `  k ) )  < 
x  ->  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( ( F `
 j ) `  n ) )  < 
x ) )
7675ralimdva 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) ( Rn
`  I ) ( F `  k ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( F `  k ) `  n
) M ( ( F `  j ) `
 n ) )  <  x ) )
7776reximdva 2833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) ( Rn `  I
) ( F `  k ) )  < 
x  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( ( F `  j
) `  n )
)  <  x )
)
7877ralimdva 2799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) ( Rn
`  I ) ( F `  k ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( ( F `  j
) `  n )
)  <  x )
)
7945remetdval 20371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F `  k ) `  n
)  e.  RR  /\  ( ( F `  j ) `  n
)  e.  RR )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  n )  -  ( ( F `
 j ) `  n ) ) ) )
8056, 63, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  n )  -  ( ( F `
 j ) `  n ) ) ) )
8141, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) `
 k )  =  ( ( F `  k ) `  n
) )
82 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  =  j  ->  ( F `  t )  =  ( F `  j ) )
8382fveq1d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  j  ->  (
( F `  t
) `  n )  =  ( ( F `
 j ) `  n ) )
84 fvex 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  j ) `
 n )  e. 
_V
8583, 11, 84fvmpt 5779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  j
)  =  ( ( F `  j ) `
 n ) )
8685ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) `
 j )  =  ( ( F `  j ) `  n
) )
8781, 86oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
) `  k )  -  ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) `
 j ) )  =  ( ( ( F `  k ) `
 n )  -  ( ( F `  j ) `  n
) ) )
8887fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( abs `  (
( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) `  k )  -  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  j
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  n
)  -  ( ( F `  j ) `
 n ) ) ) )
8980, 88eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  =  ( abs `  ( ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  k
)  -  ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
) `  j )
) ) )
9089breq1d 4307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( ( F `
 j ) `  n ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) `  k )  -  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x ) )
9190ralbidva 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( F `  k ) `  n
) M ( ( F `  j ) `
 n ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) `  k )  -  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x ) )
9291rexbidva 2737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( ( F `
 j ) `  n ) )  < 
x  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) `
 k )  -  ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) `  j ) ) )  <  x ) )
9392ralbidv 2740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( ( F `  j
) `  n )
)  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) `  k )  -  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x ) )
9478, 93sylibd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) ( Rn
`  I ) ( F `  k ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) `  k )  -  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x ) )
9536, 94mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) `  k )  -  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x )
96 nnex 10333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
9796mptex 5953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) )  e.  _V
9897a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
)  e.  _V )
996, 24, 95, 98caucvg 13161 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
)  e.  dom  ~~>  )
100 climdm 13037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
)  e.  dom  ~~>  <->  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) )  ~~>  (  ~~>  `  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
) ) )
10199, 100sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
)  ~~>  (  ~~>  `  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
) ) )
102 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  t
) `  m )  =  ( ( F `
 t ) `  n ) )
103102mpteq2dv 4384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  m )
)  =  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) )
104103fveq2d 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  m
) ) )  =  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) ) )
105 fvex 5706 . . . . . . . . . . 11  |-  (  ~~>  `  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
) )  e.  _V
106104, 3, 105fvmpt 5779 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  I  ->  ( P `  n )  =  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) ) )
107106adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( P `  n )  =  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) ) )
108101, 107breqtrrd 4323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
)  ~~>  ( P `  n ) )
1096, 8, 108, 23climrecl 13066 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( P `  n )  e.  RR )
110109ralrimiva 2804 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  I 
( P `  n
)  e.  RR )
111 ffnfv 5874 . . . . . 6  |-  ( P : I --> RR  <->  ( P  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( P `  n )  e.  RR ) )
1125, 110, 111sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P : I --> RR )
113 reex 9378 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
114 elmapg 7232 . . . . . 6  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  I  e.  Fin )  ->  ( P  e.  ( RR  ^m  I )  <-> 
P : I --> RR ) )
115113, 26, 114sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( RR  ^m  I )  <-> 
P : I --> RR ) )
116112, 115mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( RR 
^m  I ) )
117116, 17syl6eleqr 2534 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
118 1nn 10338 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
11926ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  I  e.  Fin )
12016adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
121117ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  P  e.  X )
12217rrnmval 28732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
( F `  k
) ( Rn `  I ) P )  =  ( sqr `  sum_ y  e.  I  (
( ( ( F `
 k ) `  y )  -  ( P `  y )
) ^ 2 ) ) )
123119, 120, 121, 122syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  =  ( sqr `  sum_ y  e.  I 
( ( ( ( F `  k ) `
 y )  -  ( P `  y ) ) ^ 2 ) ) )
124 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  I  =  (/) )
125124sumeq1d 13183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  -> 
sum_ y  e.  I 
( ( ( ( F `  k ) `
 y )  -  ( P `  y ) ) ^ 2 )  =  sum_ y  e.  (/)  ( ( ( ( F `  k ) `
 y )  -  ( P `  y ) ) ^ 2 ) )
126 sum0 13203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ y  e.  (/)  ( ( ( ( F `  k
) `  y )  -  ( P `  y ) ) ^
2 )  =  0
127125, 126syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  -> 
sum_ y  e.  I 
( ( ( ( F `  k ) `
 y )  -  ( P `  y ) ) ^ 2 )  =  0 )
128127fveq2d 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( sqr `  sum_ y  e.  I  (
( ( ( F `
 k ) `  y )  -  ( P `  y )
) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  0 ) )
129123, 128eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  =  ( sqr `  0 ) )
130 sqr0 12736 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  0 )  =  0
131129, 130syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  =  0 )
132 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR+ )
133132rpgt0d 11035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  x )
134131, 133eqbrtrd 4317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x )
135134ralrimiva 2804 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  ->  A. k  e.  NN  ( ( F `
 k ) ( Rn `  I ) P )  <  x
)
136 fveq2 5696 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  1  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  1 )
)
137136, 6syl6eqr 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  NN )
138137raleqdv 2928 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) ( Rn `  I ) P )  <  x  <->  A. k  e.  NN  ( ( F `
 k ) ( Rn `  I ) P )  <  x
) )
139138rspcev 3078 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. k  e.  NN  (
( F `  k
) ( Rn `  I ) P )  <  x )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) ( Rn `  I
) P )  < 
x )
140118, 135, 139sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x )
141140expr 615 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( I  =  (/)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x ) )
1427a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  1  e.  ZZ )
143 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  RR+ )
144 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  I  =/=  (/) )
14526adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  I  e.  Fin )
146 hashnncl 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
148144, 147mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  ( # `
 I )  e.  NN )
149148nnrpd 11031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  ( # `
 I )  e.  RR+ )
150149rpsqrcld 12903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  RR+ )
151143, 150rpdivcld 11049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+ )
152151adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  ( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+ )
15313adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) `
 k )  =  ( ( F `  k ) `  n
) )
154108adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) )  ~~>  ( P `
 n ) )
1556, 142, 152, 153, 154climi2 12994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  n )  -  ( P `  n )
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
1566rexuz3 12841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
1577, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
15822adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 k ) `  n )  e.  RR )
159109adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  ( P `  n
)  e.  RR )
160159adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  n )  e.  RR )
16145remetdval 20371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  k ) `  n
)  e.  RR  /\  ( P `  n )  e.  RR )  -> 
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  n )  -  ( P `  n )
) ) )
162158, 160, 161syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( P `  n
) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  n )  -  ( P `  n ) ) ) )
163162breq1d 4307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  n )  -  ( P `  n )
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
16440, 163sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  n )  -  ( P `  n )
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
165164anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) `  n
) M ( P `
 n ) )  <  ( x  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  <->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  n
)  -  ( P `
 n ) ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
166165ralbidva 2736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  n )  -  ( P `  n ) ) )  <  ( x  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
167166rexbidva 2737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  n )  -  ( P `  n )
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
168157, 167syl5bbr 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  n )  -  ( P `  n )
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
169155, 168mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
170169ralrimiva 2804 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  A. n  e.  I  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
1716rexuz3 12841 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I 
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
1727, 171ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I 
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
173 rexfiuz 12840 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  A. n  e.  I  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
174145, 173syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  A. n  e.  I  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
175172, 174syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  A. n  e.  I  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
176170, 175mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I 
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
17726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  I  e.  Fin )
178 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  I  =/=  (/) )
179 eldifsn 4005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  <->  ( I  e.  Fin  /\  I  =/=  (/) ) )
180177, 178, 179sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  I  e.  ( Fin  \  { (/) } ) )
18115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  F : NN --> X )
182181ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
183117ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  P  e.  X )
184151adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+ )
18517, 45rrndstprj2 28735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  ( F `
 k )  e.  X  /\  P  e.  X )  /\  (
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( P `  n
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )  ->  ( ( F `  k )
( Rn `  I
) P )  < 
( ( x  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
186185expr 615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  ( F `
 k )  e.  X  /\  P  e.  X )  /\  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+ )  ->  ( A. n  e.  I  (
( ( F `  k ) `  n
) M ( P `
 n ) )  <  ( x  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  ->  ( ( F `  k )
( Rn `  I
) P )  < 
( ( x  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
187180, 182, 183, 184, 186syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A. n  e.  I  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( P `  n
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  -> 
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  ( ( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
188 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR+ )
189188rpcnd 11034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
190150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  RR+ )
191190rpcnd 11034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  CC )
192190rpne0d 11037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( # `
 I ) )  =/=  0 )
193189, 191, 192divcan1d 10113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( x  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  =  x )
194193breq2d 4309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `
 k ) ( Rn `  I ) P )  <  (
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  <->  ( ( F `
 k ) ( Rn `  I ) P )  <  x
) )
195187, 194sylibd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A. n  e.  I  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( P `  n
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  -> 
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x ) )
19640, 195sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  -> 
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x ) )
197196anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  -> 
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x ) )
198197ralimdva 2799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I 
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x ) )
199198reximdva 2833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) ( Rn `  I
) P )  < 
x ) )
200176, 199mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x )
201200expr 615 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( I  =/=  (/)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x ) )
202141, 201pm2.61dne 2693 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x )
203202ralrimiva 2804 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) ( Rn `  I
) P )  < 
x )
204 rrncms.3 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) )
205204, 30, 6, 31, 32, 15lmmbrf 20778 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x ) ) )
206117, 203, 205mpbir2and 913 . 2  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
207 releldm 5077 . 2  |-  ( ( Rel  ( ~~> t `  J )  /\  F
( ~~> t `  J
) P )  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
2081, 206, 207sylancr 663 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    \ cdif 3330   (/)c0 3642   {csn 3882   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   dom cdm 4845    |` cres 4847    o. ccom 4849   Rel wrel 4850    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   ^cexp 11870   #chash 12108   sqrcsqr 12727   abscabs 12728    ~~> cli 12967   sum_csu 13168   *Metcxmt 17806   Metcme 17807   MetOpencmopn 17811   ~~> tclm 18835   Caucca 20769   Rncrrn 28729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ico 11311  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-lm 18838  df-cau 20772  df-rrn 28730
This theorem is referenced by:  rrncms  28737
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