Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhre Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rrhre 28825
Description: The RRHom homomorphism for the real numbers structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
rrhre  |-  (RRHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  RR )

Proof of Theorem rrhre
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniretop 21783 . . 3  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2 rehaus 21817 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Haus
32a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Haus )
4 rerrext 28813 . . . 4  |- RRfld  e. ℝExt
5 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
6 retopn 22338 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
TopOpen ` RRfld )
75, 6rrhcne 28817 . . . 4  |-  (RRfld  e. ℝExt  -> 
(RRHom ` RRfld )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) )
) )
84, 7mp1i 13 . . 3  |-  ( T. 
->  (RRHom ` RRfld )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) )
) )
9 retop 21782 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
101toptopon 19948 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  e.  Top  <->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR ) )
119, 10mpbi 212 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
12 idcn 20273 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  ->  (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
1311, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) )
)
1413a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
159a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
16 f1oi 5850 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  QQ ) : QQ -1-1-onto-> QQ
17 f1of 5814 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  QQ ) : QQ -1-1-onto-> QQ  ->  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> QQ )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> QQ
19 qssre 11274 . . . . . . . . 9  |-  QQ  C_  RR
20 fss 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  _I  |`  QQ ) : QQ --> QQ  /\  QQ  C_  RR )  -> 
(  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR )
2118, 19, 20mp2an 678 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR )
2319a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  QQ  C_  RR )
24 qdensere 21790 . . . . . . . 8  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )  =  RR )
269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
27 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
28 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  x  e.  a )
29 opnneip 20135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  a  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  a
)  ->  a  e.  ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } ) )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } ) )
31 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } )  e.  _V
32 qex 11276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  QQ  e.  _V
33 elrestr 15327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )  e.  _V  /\  QQ  e.  _V  /\  a  e.  ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  {
x } ) )  ->  ( a  i^i 
QQ )  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) )
3431, 32, 33mp3an12 1354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )  ->  (
a  i^i  QQ )  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) )
3530, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  ( a  i^i  QQ )  e.  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) )
36 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  i^i  QQ )  C_  QQ
37 resiima 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  i^i  QQ ) 
C_  QQ  ->  ( (  _I  |`  QQ ) " ( a  i^i 
QQ ) )  =  ( a  i^i  QQ ) )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  _I  |`  QQ ) " ( a  i^i 
QQ ) )  =  ( a  i^i  QQ )
39 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  i^i  QQ )  C_  a
4038, 39eqsstri 3462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  _I  |`  QQ ) " ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  ( (  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a )
42 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( a  i^i 
QQ )  ->  (
(  _I  |`  QQ )
" b )  =  ( (  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) ) )
4342sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( a  i^i 
QQ )  ->  (
( (  _I  |`  QQ )
" b )  C_  a 
<->  ( (  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a ) )
4443rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  i^i  QQ )  e.  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  /\  (
(  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a )  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a )
4535, 41, 44syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a )
4645ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) )
4746ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) )
4847ancli 554 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) )
4924eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( cls `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  QQ )  <->  x  e.  RR )
5049biimpri 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
)
51 trnei 20907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  QQ  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  <->  ( ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ ) ) )
5211, 19, 51mp3an12 1354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  <->  ( ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ ) ) )
5350, 52mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ ) )
54 isflf 21008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ )  /\  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR )  ->  ( x  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) ) )
5511, 21, 54mp3an13 1355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ )  ->  ( x  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) ) )
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) ) )
5748, 56mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) ) )
58 ne0i 3737 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  ->  ( (
( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  =/=  (/) )
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  =/=  (/) )
6059adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  =/=  (/) )
61 recusp 22341 . . . . . . . . . 10  |- RRfld  e. CUnifSp
62 cuspusp 21315 . . . . . . . . . 10  |-  (RRfld  e. CUnifSp  -> RRfld  e. UnifSp
)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |- RRfld  e. UnifSp
646uspreg 21289 . . . . . . . . 9  |-  ( (RRfld 
e. UnifSp  /\  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Haus )  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Reg )
6563, 2, 64mp2an 678 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Reg
6665a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Reg )
67 resabs1 5133 . . . . . . . . . 10  |-  ( QQ  C_  RR  ->  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ ) )
6819, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ )
691cnrest 20301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)  /\  QQ  C_  RR )  ->  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
7013, 19, 69mp2an 678 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
7168, 70eqeltrri 2526 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  QQ )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
7271a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  (  _I  |`  QQ )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
731, 1, 15, 3, 22, 23, 25, 60, 66, 72cnextfres1 21083 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ ) )
7473trud 1453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ )
75 recms 22339 . . . . . . . . 9  |- RRfld  e. CMetSp
7675elexi 3055 . . . . . . . 8  |- RRfld  e.  _V
775, 6rrhval 28800 . . . . . . . 8  |-  (RRfld  e.  _V  ->  (RRHom ` RRfld )  =  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )CnExt ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  (QQHom ` RRfld ) ) )
7876, 77ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (RRHom ` RRfld )  =  ( (
( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (QQHom ` RRfld ) )
79 qqhre 28824 . . . . . . . 8  |-  (QQHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  QQ )
8079fveq2i 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (QQHom ` RRfld ) )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )
8178, 80eqtri 2473 . . . . . 6  |-  (RRHom ` RRfld )  =  ( (
( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )
8281reseq1i 5101 . . . . 5  |-  ( (RRHom ` RRfld )  |`  QQ )  =  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )  |`  QQ )
8374, 82, 683eqtr4i 2483 . . . 4  |-  ( (RRHom ` RRfld )  |`  QQ )  =  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )
8483a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( (RRHom ` RRfld )  |`  QQ )  =  (
(  _I  |`  RR )  |`  QQ ) )
851, 3, 8, 14, 84, 23, 25hauseqcn 28701 . 2  |-  ( T. 
->  (RRHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  RR )
)
8685trud 1453 1  |-  (RRHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444   T. wtru 1445    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968    _I cid 4744   ran crn 4835    |` cres 4836   "cima 4837   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   QQcq 11264   (,)cioo 11635   ↾t crest 15319   topGenctg 15336  RRfldcrefld 19172   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   clsccl 20033   neicnei 20113    Cn ccn 20240   Hauscha 20324   Regcreg 20325   Filcfil 20860    fLimf cflf 20950  CnExtccnext 21074  UnifSpcusp 21269  CUnifSpccusp 21312  CMetSpccms 22300  QQHomcqqh 28776  RRHomcrrh 28797   ℝExt crrext 28798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-numer 14684  df-denom 14685  df-gz 14874  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-toset 16280  df-ps 16446  df-tsr 16447  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-od 17172  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-rnghom 17943  df-drng 17977  df-field 17978  df-subrg 18006  df-abv 18045  df-lmod 18093  df-nzr 18482  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-metu 18969  df-cnfld 18971  df-zring 19040  df-zrh 19075  df-zlm 19076  df-chr 19077  df-refld 19173  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-reg 20332  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-fcls 20956  df-cnext 21075  df-ust 21215  df-utop 21246  df-uss 21271  df-usp 21272  df-ucn 21291  df-cfilu 21302  df-cusp 21313  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-nm 21597  df-ngp 21598  df-nrg 21600  df-nlm 21601  df-cncf 21910  df-cfil 22225  df-cmet 22227  df-cms 22303  df-omnd 28462  df-ogrp 28463  df-orng 28560  df-ofld 28561  df-qqh 28777  df-rrh 28799  df-rrext 28803
This theorem is referenced by:  sitmcl  29184
  Copyright terms: Public domain W3C validator