Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhre Structured version   Unicode version

Theorem rrhre 28160
Description: The RRHom homomorphism for the real numbers structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
rrhre  |-  (RRHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  RR )

Proof of Theorem rrhre
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniretop 21395 . . 3  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2 rehaus 21430 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Haus
32a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Haus )
4 rerrext 28151 . . . 4  |- RRfld  e. ℝExt
5 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
6 retopn 21937 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
TopOpen ` RRfld )
75, 6rrhcne 28154 . . . 4  |-  (RRfld  e. ℝExt  -> 
(RRHom ` RRfld )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) )
) )
84, 7mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  (RRHom ` RRfld )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) )
) )
9 retopon 21396 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
10 idcn 19885 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  ->  (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) )
)
1211a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
13 retop 21394 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
15 f1oi 5857 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  QQ ) : QQ -1-1-onto-> QQ
16 f1of 5822 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  QQ ) : QQ -1-1-onto-> QQ  ->  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> QQ )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> QQ
18 qssre 11217 . . . . . . 7  |-  QQ  C_  RR
19 fss 5745 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  QQ ) : QQ --> QQ  /\  QQ  C_  RR )  -> 
(  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR )
2017, 18, 19mp2an 672 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR
2120a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR )
2218a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  QQ  C_  RR )
23 qdensere 21403 . . . . . 6  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )  =  RR )
2513a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
26 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  x  e.  a )
28 opnneip 19747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  a  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  a
)  ->  a  e.  ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } ) )
30 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } )  e.  _V
31 qex 11219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  QQ  e.  _V
32 elrestr 14846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )  e.  _V  /\  QQ  e.  _V  /\  a  e.  ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  {
x } ) )  ->  ( a  i^i 
QQ )  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) )
3330, 31, 32mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )  ->  (
a  i^i  QQ )  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) )
3429, 33syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  ( a  i^i  QQ )  e.  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) )
35 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  i^i  QQ )  C_  QQ
36 resiima 5361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  i^i  QQ ) 
C_  QQ  ->  ( (  _I  |`  QQ ) " ( a  i^i 
QQ ) )  =  ( a  i^i  QQ ) )
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _I  |`  QQ ) " ( a  i^i 
QQ ) )  =  ( a  i^i  QQ )
38 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  i^i  QQ )  C_  a
3937, 38eqsstri 3529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _I  |`  QQ ) " ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a
40 imaeq2 5343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( a  i^i 
QQ )  ->  (
(  _I  |`  QQ )
" b )  =  ( (  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) ) )
4140sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( a  i^i 
QQ )  ->  (
( (  _I  |`  QQ )
" b )  C_  a 
<->  ( (  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a ) )
4241rspcev 3210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  i^i  QQ )  e.  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  /\  (
(  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a )  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a )
4334, 39, 42sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a )
4443ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) )
4544ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) )
4645ancli 551 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) )
4723eleq2i 2535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( cls `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  QQ )  <->  x  e.  RR )
4847biimpri 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
)
49 trnei 20519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  QQ  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  <->  ( ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ ) ) )
509, 18, 49mp3an12 1314 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  <->  ( ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ ) ) )
5148, 50mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ ) )
52 isflf 20620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ )  /\  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR )  ->  ( x  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) ) )
539, 20, 52mp3an13 1315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ )  ->  ( x  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) ) )
5451, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) ) )
5546, 54mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) ) )
56 ne0i 3799 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  ->  ( (
( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  =/=  (/) )
5755, 56syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  =/=  (/) )
5857adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  =/=  (/) )
59 recusp 21940 . . . . . . . 8  |- RRfld  e. CUnifSp
60 cuspusp 20929 . . . . . . . 8  |-  (RRfld  e. CUnifSp  -> RRfld  e. UnifSp
)
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . 7  |- RRfld  e. UnifSp
626uspreg 20903 . . . . . . 7  |-  ( (RRfld 
e. UnifSp  /\  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Haus )  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Reg )
6361, 2, 62mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Reg
6463a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Reg )
65 resabs1 5312 . . . . . . . 8  |-  ( QQ  C_  RR  ->  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ ) )
6618, 65ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ )
671cnrest 19913 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)  /\  QQ  C_  RR )  ->  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
6811, 18, 67mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
6966, 68eqeltrri 2542 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  QQ )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
7069a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  (  _I  |`  QQ )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
711, 1, 14, 3, 21, 22, 24, 58, 64, 70cnextfres 20694 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ ) )
72 recms 21938 . . . . . . . 8  |- RRfld  e. CMetSp
7372elexi 3119 . . . . . . 7  |- RRfld  e.  _V
745, 6rrhval 28138 . . . . . . 7  |-  (RRfld  e.  _V  ->  (RRHom ` RRfld )  =  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )CnExt ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  (QQHom ` RRfld ) ) )
7573, 74ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (RRHom ` RRfld )  =  ( (
( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (QQHom ` RRfld ) )
76 qqhre 28159 . . . . . . 7  |-  (QQHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  QQ )
7776fveq2i 5875 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (QQHom ` RRfld ) )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )
7875, 77eqtri 2486 . . . . 5  |-  (RRHom ` RRfld )  =  ( (
( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )
7978reseq1i 5279 . . . 4  |-  ( (RRHom ` RRfld )  |`  QQ )  =  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )  |`  QQ )
8071, 79, 663eqtr4g 2523 . . 3  |-  ( T. 
->  ( (RRHom ` RRfld )  |`  QQ )  =  (
(  _I  |`  RR )  |`  QQ ) )
811, 3, 8, 12, 80, 22, 24hauseqcn 28038 . 2  |-  ( T. 
->  (RRHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  RR )
)
8281trud 1404 1  |-  (RRHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032    _I cid 4799   ran crn 5009    |` cres 5010   "cima 5011   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   QQcq 11207   (,)cioo 11554   ↾t crest 14838   topGenctg 14855  RRfldcrefld 18767   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   clsccl 19646   neicnei 19725    Cn ccn 19852   Hauscha 19936   Regcreg 19937   Filcfil 20472    fLimf cflf 20562  CnExtccnext 20685  UnifSpcusp 20883  CUnifSpccusp 20926  CMetSpccms 21897  QQHomcqqh 28114  RRHomcrrh 28135   ℝExt crrext 28136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-numer 14280  df-denom 14281  df-gz 14460  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-toset 15791  df-ps 15957  df-tsr 15958  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-od 16680  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-field 17526  df-subrg 17554  df-abv 17593  df-lmod 17641  df-nzr 18033  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-metu 18546  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-zlm 18669  df-chr 18670  df-refld 18768  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-reg 19944  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-fcls 20568  df-cnext 20686  df-ust 20829  df-utop 20860  df-uss 20885  df-usp 20886  df-ucn 20905  df-cfilu 20916  df-cusp 20927  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nrg 21232  df-nlm 21233  df-cncf 21508  df-cfil 21820  df-cmet 21822  df-cms 21900  df-omnd 27849  df-ogrp 27850  df-orng 27948  df-ofld 27949  df-qqh 28115  df-rrh 28137  df-rrext 28141
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator