Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhre Structured version   Unicode version

Theorem rrhre 26450
Description: The RRHom homomorphism for the real numbers structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
rrhre  |-  (RRHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  RR )

Proof of Theorem rrhre
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniretop 20344 . . 3  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2 rehaus 20379 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Haus
32a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Haus )
4 rerrext 26441 . . . 4  |- RRfld  e. ℝExt
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
6 retopn 20886 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
TopOpen ` RRfld )
75, 6rrhcne 26444 . . . 4  |-  (RRfld  e. ℝExt  -> 
(RRHom ` RRfld )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) )
) )
84, 7mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  (RRHom ` RRfld )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) )
) )
9 retop 20343 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
101toptopon 18541 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  e.  Top  <->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR ) )
119, 10mpbi 208 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
12 idcn 18864 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  ->  (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
1311, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) )
)
1413a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
159a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
16 f1oi 5679 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  QQ ) : QQ -1-1-onto-> QQ
17 f1of 5644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  QQ ) : QQ -1-1-onto-> QQ  ->  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> QQ )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> QQ
19 qssre 10966 . . . . . . . . 9  |-  QQ  C_  RR
20 fss 5570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  _I  |`  QQ ) : QQ --> QQ  /\  QQ  C_  RR )  -> 
(  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR )
2118, 19, 20mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR )
2319a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  QQ  C_  RR )
24 qdensere 20352 . . . . . . . 8  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )  =  RR )
269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
27 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  x  e.  a )
29 opnneip 18726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  a  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  a
)  ->  a  e.  ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } ) )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } ) )
31 fvex 5704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } )  e.  _V
32 qex 10968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  QQ  e.  _V
33 elrestr 14370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )  e.  _V  /\  QQ  e.  _V  /\  a  e.  ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  {
x } ) )  ->  ( a  i^i 
QQ )  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) )
3431, 32, 33mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )  ->  (
a  i^i  QQ )  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) )
3530, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  ( a  i^i  QQ )  e.  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) )
36 inss2 3574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  i^i  QQ )  C_  QQ
37 resiima 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  i^i  QQ ) 
C_  QQ  ->  ( (  _I  |`  QQ ) " ( a  i^i 
QQ ) )  =  ( a  i^i  QQ ) )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  _I  |`  QQ ) " ( a  i^i 
QQ ) )  =  ( a  i^i  QQ )
39 inss1 3573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  i^i  QQ )  C_  a
4038, 39eqsstri 3389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  _I  |`  QQ ) " ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  ( (  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a )
42 imaeq2 5168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( a  i^i 
QQ )  ->  (
(  _I  |`  QQ )
" b )  =  ( (  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) ) )
4342sseq1d 3386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( a  i^i 
QQ )  ->  (
( (  _I  |`  QQ )
" b )  C_  a 
<->  ( (  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a ) )
4443rspcev 3076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  i^i  QQ )  e.  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  /\  (
(  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a )  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a )
4535, 41, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a )
4645ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) )
4746ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) )
4847ancli 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) )
4924eleq2i 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( cls `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  QQ )  <->  x  e.  RR )
5049biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
)
51 trnei 19468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  QQ  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  <->  ( ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ ) ) )
5211, 19, 51mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  <->  ( ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ ) ) )
5350, 52mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ ) )
54 isflf 19569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ )  /\  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR )  ->  ( x  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) ) )
5511, 21, 54mp3an13 1305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ )  ->  ( x  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) ) )
5653, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) ) )
5748, 56mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) ) )
58 ne0i 3646 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  ->  ( (
( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  =/=  (/) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  =/=  (/) )
6059adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  =/=  (/) )
61 recusp 20889 . . . . . . . . . 10  |- RRfld  e. CUnifSp
62 cuspusp 19878 . . . . . . . . . 10  |-  (RRfld  e. CUnifSp  -> RRfld  e. UnifSp
)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |- RRfld  e. UnifSp
646uspreg 19852 . . . . . . . . 9  |-  ( (RRfld 
e. UnifSp  /\  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Haus )  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Reg )
6563, 2, 64mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Reg
6665a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Reg )
67 resabs1 5142 . . . . . . . . . 10  |-  ( QQ  C_  RR  ->  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ ) )
6819, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ )
691cnrest 18892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)  /\  QQ  C_  RR )  ->  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
7013, 19, 69mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
7168, 70eqeltrri 2514 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  QQ )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
7271a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  (  _I  |`  QQ )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
731, 1, 15, 3, 22, 23, 25, 60, 66, 72cnextfres 19643 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ ) )
7473trud 1378 . . . . 5  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ )
75 recms 20887 . . . . . . . . 9  |- RRfld  e. CMetSp
7675elexi 2985 . . . . . . . 8  |- RRfld  e.  _V
775, 6rrhval 26428 . . . . . . . 8  |-  (RRfld  e.  _V  ->  (RRHom ` RRfld )  =  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )CnExt ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  (QQHom ` RRfld ) ) )
7876, 77ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (RRHom ` RRfld )  =  ( (
( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (QQHom ` RRfld ) )
79 qqhre 26449 . . . . . . . 8  |-  (QQHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  QQ )
8079fveq2i 5697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (QQHom ` RRfld ) )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )
8178, 80eqtri 2463 . . . . . 6  |-  (RRHom ` RRfld )  =  ( (
( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )
8281reseq1i 5109 . . . . 5  |-  ( (RRHom ` RRfld )  |`  QQ )  =  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )  |`  QQ )
8374, 82, 683eqtr4i 2473 . . . 4  |-  ( (RRHom ` RRfld )  |`  QQ )  =  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )
8483a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( (RRHom ` RRfld )  |`  QQ )  =  (
(  _I  |`  RR )  |`  QQ ) )
851, 3, 8, 14, 84, 23, 25hauseqcn 26328 . 2  |-  ( T. 
->  (RRHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  RR )
)
8685trud 1378 1  |-  (RRHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975    i^i cin 3330    C_ wss 3331   (/)c0 3640   {csn 3880    _I cid 4634   ran crn 4844    |` cres 4845   "cima 4846   -->wf 5417   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   RRcr 9284   QQcq 10956   (,)cioo 11303   ↾t crest 14362   topGenctg 14379  RRfldcrefld 18037   Topctop 18501  TopOnctopon 18502   clsccl 18625   neicnei 18704    Cn ccn 18831   Hauscha 18915   Regcreg 18916   Filcfil 19421    fLimf cflf 19511  CnExtccnext 19634  UnifSpcusp 19832  CUnifSpccusp 19875  CMetSpccms 20846  QQHomcqqh 26404  RRHomcrrh 26425   ℝExt crrext 26426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-tpos 6748  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-dvds 13539  df-gcd 13694  df-numer 13816  df-denom 13817  df-gz 13994  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-poset 15119  df-plt 15131  df-toset 15207  df-ps 15373  df-tsr 15374  df-mnd 15418  df-mhm 15467  df-submnd 15468  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-sbg 15550  df-mulg 15551  df-subg 15681  df-ghm 15748  df-cntz 15838  df-od 16035  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-rng 16650  df-cring 16651  df-oppr 16718  df-dvdsr 16736  df-unit 16737  df-invr 16767  df-dvr 16778  df-rnghom 16809  df-drng 16837  df-field 16838  df-subrg 16866  df-abv 16905  df-lmod 16953  df-nzr 17343  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-metu 17820  df-cnfld 17822  df-zring 17887  df-zrh 17938  df-zlm 17939  df-chr 17940  df-refld 18038  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-reg 18923  df-cmp 18993  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-fcls 19517  df-cnext 19635  df-ust 19778  df-utop 19809  df-uss 19834  df-usp 19835  df-ucn 19854  df-cfilu 19865  df-cusp 19876  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-nm 20178  df-ngp 20179  df-nrg 20181  df-nlm 20182  df-cncf 20457  df-cfil 20769  df-cmet 20771  df-cms 20849  df-omnd 26165  df-ogrp 26166  df-orng 26268  df-ofld 26269  df-qqh 26405  df-rrh 26427  df-rrext 26431
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator