Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhre Structured version   Unicode version

Theorem rrhre 27750
Description: The RRHom homomorphism for the real numbers structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
rrhre  |-  (RRHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  RR )

Proof of Theorem rrhre
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniretop 21096 . . 3  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2 rehaus 21131 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Haus
32a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Haus )
4 rerrext 27741 . . . 4  |- RRfld  e. ℝExt
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
6 retopn 21638 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
TopOpen ` RRfld )
75, 6rrhcne 27744 . . . 4  |-  (RRfld  e. ℝExt  -> 
(RRHom ` RRfld )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) )
) )
84, 7mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  (RRHom ` RRfld )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) )
) )
9 retop 21095 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
101toptopon 19241 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  e.  Top  <->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR ) )
119, 10mpbi 208 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
12 idcn 19564 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  ->  (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
1311, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) )
)
1413a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
159a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
16 f1oi 5851 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  QQ ) : QQ -1-1-onto-> QQ
17 f1of 5816 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  QQ ) : QQ -1-1-onto-> QQ  ->  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> QQ )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> QQ
19 qssre 11193 . . . . . . . . 9  |-  QQ  C_  RR
20 fss 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  _I  |`  QQ ) : QQ --> QQ  /\  QQ  C_  RR )  -> 
(  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR )
2118, 19, 20mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR )
2319a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  QQ  C_  RR )
24 qdensere 21104 . . . . . . . 8  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )  =  RR )
269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
27 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  x  e.  a )
29 opnneip 19426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  a  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  a
)  ->  a  e.  ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } ) )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } ) )
31 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } )  e.  _V
32 qex 11195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  QQ  e.  _V
33 elrestr 14687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )  e.  _V  /\  QQ  e.  _V  /\  a  e.  ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  {
x } ) )  ->  ( a  i^i 
QQ )  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) )
3431, 32, 33mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )  ->  (
a  i^i  QQ )  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) )
3530, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  ( a  i^i  QQ )  e.  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) )
36 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  i^i  QQ )  C_  QQ
37 resiima 5351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  i^i  QQ ) 
C_  QQ  ->  ( (  _I  |`  QQ ) " ( a  i^i 
QQ ) )  =  ( a  i^i  QQ ) )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  _I  |`  QQ ) " ( a  i^i 
QQ ) )  =  ( a  i^i  QQ )
39 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  i^i  QQ )  C_  a
4038, 39eqsstri 3534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  _I  |`  QQ ) " ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  ( (  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a )
42 imaeq2 5333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( a  i^i 
QQ )  ->  (
(  _I  |`  QQ )
" b )  =  ( (  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) ) )
4342sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( a  i^i 
QQ )  ->  (
( (  _I  |`  QQ )
" b )  C_  a 
<->  ( (  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a ) )
4443rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  i^i  QQ )  e.  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  /\  (
(  _I  |`  QQ )
" ( a  i^i 
QQ ) )  C_  a )  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a )
4535, 41, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  a )  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a )
4645ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) )
4746ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) )
4847ancli 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) )
4924eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( cls `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  QQ )  <->  x  e.  RR )
5049biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
)
51 trnei 20220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  QQ  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  <->  ( ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ ) ) )
5211, 19, 51mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  <->  ( ( ( nei `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ ) ) )
5350, 52mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ ) )
54 isflf 20321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ )  /\  (  _I  |`  QQ ) : QQ --> RR )  ->  ( x  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) ) )
5511, 21, 54mp3an13 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ )  e.  ( Fil `  QQ )  ->  ( x  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) ) )
5653, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. a  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( x  e.  a  ->  E. b  e.  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ( (  _I  |`  QQ ) " b )  C_  a ) ) ) )
5748, 56mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) ) )
58 ne0i 3791 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  ->  ( (
( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( ( ( nei `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  =/=  (/) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  =/=  (/) )
6059adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )  fLimf  ( (
( nei `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  { x } )t  QQ ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  =/=  (/) )
61 recusp 21641 . . . . . . . . . 10  |- RRfld  e. CUnifSp
62 cuspusp 20630 . . . . . . . . . 10  |-  (RRfld  e. CUnifSp  -> RRfld  e. UnifSp
)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |- RRfld  e. UnifSp
646uspreg 20604 . . . . . . . . 9  |-  ( (RRfld 
e. UnifSp  /\  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Haus )  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Reg )
6563, 2, 64mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Reg
6665a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Reg )
67 resabs1 5302 . . . . . . . . . 10  |-  ( QQ  C_  RR  ->  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ ) )
6819, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ )
691cnrest 19592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  _I  |`  RR )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)  /\  QQ  C_  RR )  ->  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
7013, 19, 69mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
7168, 70eqeltrri 2552 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  QQ )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
7271a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  (  _I  |`  QQ )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  QQ )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
731, 1, 15, 3, 22, 23, 25, 60, 66, 72cnextfres 20395 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ ) )
7473trud 1388 . . . . 5  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) ) ) `  (  _I  |`  QQ ) )  |`  QQ )  =  (  _I  |`  QQ )
75 recms 21639 . . . . . . . . 9  |- RRfld  e. CMetSp
7675elexi 3123 . . . . . . . 8  |- RRfld  e.  _V
775, 6rrhval 27728 . . . . . . . 8  |-  (RRfld  e.  _V  ->  (RRHom ` RRfld )  =  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )CnExt ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  (QQHom ` RRfld ) ) )
7876, 77ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (RRHom ` RRfld )  =  ( (
( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (QQHom ` RRfld ) )
79 qqhre 27749 . . . . . . . 8  |-  (QQHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  QQ )
8079fveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (QQHom ` RRfld ) )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )
8178, 80eqtri 2496 . . . . . 6  |-  (RRHom ` RRfld )  =  ( (
( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )
8281reseq1i 5269 . . . . 5  |-  ( (RRHom ` RRfld )  |`  QQ )  =  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )CnExt ( topGen `  ran  (,) )
) `  (  _I  |`  QQ ) )  |`  QQ )
8374, 82, 683eqtr4i 2506 . . . 4  |-  ( (RRHom ` RRfld )  |`  QQ )  =  ( (  _I  |`  RR )  |`  QQ )
8483a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( (RRHom ` RRfld )  |`  QQ )  =  (
(  _I  |`  RR )  |`  QQ ) )
851, 3, 8, 14, 84, 23, 25hauseqcn 27628 . 2  |-  ( T. 
->  (RRHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  RR )
)
8685trud 1388 1  |-  (RRHom ` RRfld )  =  (  _I  |`  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027    _I cid 4790   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   RRcr 9492   QQcq 11183   (,)cioo 11530   ↾t crest 14679   topGenctg 14696  RRfldcrefld 18447   Topctop 19201  TopOnctopon 19202   clsccl 19325   neicnei 19404    Cn ccn 19531   Hauscha 19615   Regcreg 19616   Filcfil 20173    fLimf cflf 20263  CnExtccnext 20386  UnifSpcusp 20584  CUnifSpccusp 20627  CMetSpccms 21598  QQHomcqqh 27704  RRHomcrrh 27725   ℝExt crrext 27726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-dvds 13851  df-gcd 14007  df-numer 14130  df-denom 14131  df-gz 14310  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-poset 15436  df-plt 15448  df-toset 15524  df-ps 15690  df-tsr 15691  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-cntz 16169  df-od 16368  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-cring 17015  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-unit 17104  df-invr 17134  df-dvr 17145  df-rnghom 17177  df-drng 17210  df-field 17211  df-subrg 17239  df-abv 17278  df-lmod 17326  df-nzr 17717  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-metu 18230  df-cnfld 18232  df-zring 18297  df-zrh 18348  df-zlm 18349  df-chr 18350  df-refld 18448  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-haus 19622  df-reg 19623  df-cmp 19693  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-fcls 20269  df-cnext 20387  df-ust 20530  df-utop 20561  df-uss 20586  df-usp 20587  df-ucn 20606  df-cfilu 20617  df-cusp 20628  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-nm 20930  df-ngp 20931  df-nrg 20933  df-nlm 20934  df-cncf 21209  df-cfil 21521  df-cmet 21523  df-cms 21601  df-omnd 27448  df-ogrp 27449  df-orng 27547  df-ofld 27548  df-qqh 27705  df-rrh 27727  df-rrext 27731
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator