Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhre Unicode version

Theorem rrhre 24340
 Description: The RRHom homomorphism for the real numbers structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
rrhre RRHomflds

Proof of Theorem rrhre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniretop 18749 . . 3
2 rehaus 18783 . . . 4
32a1i 11 . . 3
4 reex 9037 . . . . . 6
5 eqid 2404 . . . . . . 7 flds flds
6 cnfldds 16668 . . . . . . 7 fld
75, 6ressds 13596 . . . . . 6 flds
84, 7ax-mp 8 . . . . 5 flds
98reseq1i 5101 . . . 4 flds
10 eqid 2404 . . . 4
115rebase 24222 . . . 4 flds
12 eqid 2404 . . . . 5 flds flds
1312tgioo3 18789 . . . 4 flds
145refld 24232 . . . . . . 7 flds Field
15 isfld 15799 . . . . . . 7 flds Field flds flds
1614, 15mpbi 200 . . . . . 6 flds flds
1716simpli 445 . . . . 5 flds
1817a1i 11 . . . 4 flds
19 cnnrg 18768 . . . . . 6 fld NrmRing
20 resubdrg 16705 . . . . . . 7 SubRingfld flds
2120simpli 445 . . . . . 6 SubRingfld
225subrgnrg 18662 . . . . . 6 fld NrmRing SubRingfld flds NrmRing
2319, 21, 22mp2an 654 . . . . 5 flds NrmRing
2423a1i 11 . . . 4 flds NrmRing
255rezh 24308 . . . . 5 Modflds NrmMod
2625a1i 11 . . . 4 Modflds NrmMod
275reofld 24233 . . . . . 6 flds oField
28 ofldchr 24197 . . . . . 6 flds oField chrflds
2927, 28ax-mp 8 . . . . 5 chrflds
3029a1i 11 . . . 4 chrflds
315recms 24296 . . . . . 6 flds CMetSp
32 cmsms 19254 . . . . . 6 flds CMetSp flds
33 mstps 18438 . . . . . 6 flds flds
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . 5 flds
3534a1i 11 . . . 4 flds
365recusp 24298 . . . . 5 flds CUnifSp
3736a1i 11 . . . 4 flds CUnifSp
38 ressuss 18246 . . . . . . 7 UnifStflds UnifStfldt
394, 38ax-mp 8 . . . . . 6 UnifStflds UnifStfldt
40 eqid 2404 . . . . . . . 8 UnifStfld UnifStfld
4140cnflduss 19263 . . . . . . 7 UnifStfld metUnif
4241oveq1i 6050 . . . . . 6 UnifStfldt metUnif t
43 0re 9047 . . . . . . . 8
44 ne0i 3594 . . . . . . . 8
4543, 44ax-mp 8 . . . . . . 7
46 cnxmet 18760 . . . . . . . 8
47 xmetpsmet 18331 . . . . . . . 8 PsMet
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . 7 PsMet
49 ax-resscn 9003 . . . . . . 7
50 restmetu 18570 . . . . . . 7 PsMet metUnif t metUnif
5145, 48, 49, 50mp3an 1279 . . . . . 6 metUnif t metUnif
5239, 42, 513eqtri 2428 . . . . 5 UnifStflds metUnif
5352a1i 11 . . . 4 UnifStflds metUnif
549, 10, 11, 13, 18, 24, 26, 30, 35, 37, 3, 53rrhcn 24333 . . 3 RRHomflds
55 retop 18748 . . . . . 6
561toptopon 16953 . . . . . 6 TopOn
5755, 56mpbi 200 . . . . 5 TopOn
58 idcn 17275 . . . . 5 TopOn
5957, 58ax-mp 8 . . . 4
6059a1i 11 . . 3
6155a1i 11 . . . . . . 7
62 f1oi 5672 . . . . . . . . . 10
63 f1of 5633 . . . . . . . . . 10
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . . 9
65 qssre 10540 . . . . . . . . 9
66 fss 5558 . . . . . . . . 9
6764, 65, 66mp2an 654 . . . . . . . 8
6867a1i 11 . . . . . . 7
6965a1i 11 . . . . . . 7
70 qdensere 18757 . . . . . . . 8
7170a1i 11 . . . . . . 7
7255a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
73 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 opnneip 17138 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7672, 73, 74, 75syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
77 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16
78 qex 10542 . . . . . . . . . . . . . . . 16
79 elrestr 13611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t
8077, 78, 79mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
8176, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 t
82 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 resiima 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8482, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8684, 85eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
88 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8988sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . 14 t t
9181, 87, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 t
9291ex 424 . . . . . . . . . . . 12 t
9392ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11 t
9493ancli 535 . . . . . . . . . 10 t
9570eleq2i 2468 . . . . . . . . . . . . 13
9695biimpri 198 . . . . . . . . . . . 12
97 trnei 17877 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn t
9857, 65, 97mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . 12 t
9996, 98mpbid 202 . . . . . . . . . . 11 t
100 isflf 17978 . . . . . . . . . . . 12 TopOn t t t
10157, 67, 100mp3an13 1270 . . . . . . . . . . 11 t t t
10299, 101syl 16 . . . . . . . . . 10 t t
10394, 102mpbird 224 . . . . . . . . 9 t
104 ne0i 3594 . . . . . . . . 9 t t
105103, 104syl 16 . . . . . . . 8 t
106105adantl 453 . . . . . . 7 t
107 cuspusp 18283 . . . . . . . . . 10 flds CUnifSp flds UnifSp
10836, 107ax-mp 8 . . . . . . . . 9 flds UnifSp
10913uspreg 18257 . . . . . . . . 9 flds UnifSp
110108, 2, 109mp2an 654 . . . . . . . 8
111110a1i 11 . . . . . . 7
112 resabs1 5134 . . . . . . . . . 10
11365, 112ax-mp 8 . . . . . . . . 9
1141cnrest 17303 . . . . . . . . . 10 t
11559, 65, 114mp2an 654 . . . . . . . . 9 t
116113, 115eqeltrri 2475 . . . . . . . 8 t
117116a1i 11 . . . . . . 7 t
1181, 1, 61, 3, 68, 69, 71, 106, 111, 117cnextfres 18052 . . . . . 6 CnExt
119118trud 1329 . . . . 5 CnExt
12031elexi 2925 . . . . . . . 8 flds
12110, 13rrhval 24332 . . . . . . . 8 flds RRHomflds CnExt QQHomflds
122120, 121ax-mp 8 . . . . . . 7 RRHomflds CnExt QQHomflds
123 qqhre 24339 . . . . . . . 8 QQHomflds
124123fveq2i 5690 . . . . . . 7 CnExt QQHomflds CnExt
125122, 124eqtri 2424 . . . . . 6 RRHomflds CnExt
126125reseq1i 5101 . . . . 5 RRHomflds CnExt
127119, 126, 1133eqtr4i 2434 . . . 4 RRHomflds
128127a1i 11 . . 3 RRHomflds
1291, 3, 54, 60, 128, 69, 71hauseqcn 24246 . 2 RRHomflds
130129trud 1329 1 RRHomflds
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wtru 1322   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  wrex 2667  cvv 2916   cin 3279   wss 3280  c0 3588  csn 3774   cid 4453   cxp 4835   crn 4838   cres 4839  cima 4840   ccom 4841  wf 5409  wf1o 5412  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946   cmin 9247  cq 10530  cioo 10872  cabs 11994   ↾s cress 13425  cds 13493   ↾t crest 13603  ctopn 13604  ctg 13620  ccrg 15616  cdr 15790  Fieldcfield 15791  SubRingcsubrg 15819  PsMetcpsmet 16640  cxmt 16641  metUnifcmetu 16648  ℂfldccnfld 16658  Modczlm 16734  chrcchr 16735  ctop 16913  TopOnctopon 16914  ctps 16916  ccl 17037  cnei 17116   ccn 17242  cha 17326  creg 17327  cfil 17830   cflf 17920  CnExtccnext 18043  UnifStcuss 18236  UnifSpcusp 18237  CUnifSpccusp 18280  cmt 18301  NrmRingcnrg 18580  NrmModcnlm 18581  CMetSpccms 19238  oFieldcofld 24186  QQHomcqqh 24309  RRHomcrrh 24330 This theorem is referenced by:  sitmcl  24616 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-numer 13082  df-denom 13083  df-gz 13253  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-poset 14358  df-plt 14370  df-toset 14418  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-od 15122  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-field 15793  df-subrg 15821  df-abv 15860  df-lmod 15907  df-nzr 16284  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-metu 16657  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zlm 16738  df-chr 16739  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-reg 17334  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-fcls 17926  df-cnext 18044  df-ust 18183  df-utop 18214  df-uss 18239  df-usp 18240  df-ucn 18259  df-cfilu 18270  df-cusp 18281  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nrg 18586  df-nlm 18587  df-cncf 18861  df-cfil 19161  df-cmet 19163  df-cms 19241  df-ofld 24187  df-qqh 24310  df-rrh 24331
 Copyright terms: Public domain W3C validator