Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhcn Structured version   Unicode version

Theorem rrhcn 28131
Description: If the topology of  R is Hausdorff, and  R is a complete uniform space, then the canonical homomorphism from the real numbers to  R is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rrhf.d  |-  D  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( B  X.  B ) )
rrhf.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
rrhf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rrhf.k  |-  K  =  ( TopOpen `  R )
rrhf.z  |-  Z  =  ( ZMod `  R
)
rrhf.1  |-  ( ph  ->  R  e.  DivRing )
rrhf.2  |-  ( ph  ->  R  e. NrmRing )
rrhf.3  |-  ( ph  ->  Z  e. NrmMod )
rrhf.4  |-  ( ph  ->  (chr `  R )  =  0 )
rrhf.5  |-  ( ph  ->  R  e. CUnifSp )
rrhf.6  |-  ( ph  ->  (UnifSt `  R )  =  (metUnif `  D )
)
Assertion
Ref Expression
rrhcn  |-  ( ph  ->  (RRHom `  R )  e.  ( J  Cn  K
) )

Proof of Theorem rrhcn
StepHypRef Expression
1 rrhf.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e. NrmRing )
2 nrgngp 21296 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e. NrmGrp )
3 ngpxms 21246 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmGrp  ->  R  e.  *MetSp )
41, 2, 33syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  *MetSp )
5 xmstps 21081 . . . 4  |-  ( R  e.  *MetSp  ->  R  e.  TopSp )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  TopSp )
7 rrhf.j . . . 4  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
8 rrhf.k . . . 4  |-  K  =  ( TopOpen `  R )
97, 8rrhval 28130 . . 3  |-  ( R  e.  TopSp  ->  (RRHom `  R
)  =  ( ( JCnExt K ) `  (QQHom `  R ) ) )
106, 9syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (RRHom `  R )  =  ( ( JCnExt
K ) `  (QQHom `  R ) ) )
11 rebase 18768 . . 3  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
12 rrhf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
13 retopn 21936 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
TopOpen ` RRfld )
147, 13eqtri 2486 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` RRfld )
15 eqid 2457 . . 3  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (UnifSt ` RRfld )
16 df-refld 18767 . . . . . 6  |- RRfld  =  (flds  RR )
1716oveq1i 6306 . . . . 5  |-  (RRfld ↾s  QQ )  =  ( (flds  RR )s  QQ )
18 reex 9600 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
19 qssre 11217 . . . . . 6  |-  QQ  C_  RR
20 ressabs 14709 . . . . . 6  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  QQ  C_  RR )  -> 
( (flds  RR )s  QQ )  =  (flds  QQ ) )
2118, 19, 20mp2an 672 . . . . 5  |-  ( (flds  RR )s  QQ )  =  (flds  QQ )
2217, 21eqtr2i 2487 . . . 4  |-  (flds  QQ )  =  (RRfld ↾s  QQ )
2322fveq2i 5875 . . 3  |-  (UnifSt `  (flds  QQ ) )  =  (UnifSt `  (RRfld ↾s 
QQ ) )
24 eqid 2457 . . 3  |-  (UnifSt `  R )  =  (UnifSt `  R )
25 recms 21937 . . . . 5  |- RRfld  e. CMetSp
26 cmsms 21912 . . . . 5  |-  (RRfld  e. CMetSp  -> RRfld  e. 
MetSp )
27 mstps 21083 . . . . 5  |-  (RRfld  e.  MetSp  -> RRfld 
e.  TopSp )
2825, 26, 27mp2b 10 . . . 4  |- RRfld  e.  TopSp
2928a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> RRfld 
e.  TopSp )
30 recusp 21939 . . . 4  |- RRfld  e. CUnifSp
31 cuspusp 20928 . . . 4  |-  (RRfld  e. CUnifSp  -> RRfld  e. UnifSp
)
3230, 31mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  -> RRfld 
e. UnifSp )
33 rrhf.5 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e. CUnifSp )
34 rrhf.d . . . . . 6  |-  D  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( B  X.  B ) )
358, 12, 34xmstopn 21079 . . . . 5  |-  ( R  e.  *MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  D
) )
364, 35syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  =  ( MetOpen `  D ) )
3712, 34xmsxmet 21084 . . . . 5  |-  ( R  e.  *MetSp  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
38 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
3938methaus 21148 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  B )  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Haus )
404, 37, 393syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  e.  Haus )
4136, 40eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
4219a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  QQ  C_  RR )
43 eqid 2457 . . . . 5  |-  (flds  QQ )  =  (flds  QQ )
44 eqid 2457 . . . . 5  |-  (UnifSt `  (flds  QQ ) )  =  (UnifSt `  (flds  QQ ) )
4534fveq2i 5875 . . . . 5  |-  (metUnif `  D
)  =  (metUnif `  (
( dist `  R )  |`  ( B  X.  B
) ) )
46 rrhf.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ZMod `  R
)
47 rrhf.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  DivRing )
48 rrhf.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e. NrmMod )
49 rrhf.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (chr `  R )  =  0 )
5012, 43, 44, 45, 46, 1, 47, 48, 49qqhucn 28126 . . . 4  |-  ( ph  ->  (QQHom `  R )  e.  ( (UnifSt `  (flds  QQ )
) Cnu (metUnif `  D )
) )
51 rrhf.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (UnifSt `  R )  =  (metUnif `  D )
)
5251eqcomd 2465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (metUnif `  D )  =  (UnifSt `  R )
)
5352oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (UnifSt `  (flds  QQ )
) Cnu (metUnif `  D )
)  =  ( (UnifSt `  (flds  QQ ) ) Cnu (UnifSt `  R
) ) )
5450, 53eleqtrd 2547 . . 3  |-  ( ph  ->  (QQHom `  R )  e.  ( (UnifSt `  (flds  QQ )
) Cnu (UnifSt `  R )
) )
557fveq2i 5875 . . . . . 6  |-  ( cls `  J )  =  ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
5655fveq1i 5873 . . . . 5  |-  ( ( cls `  J ) `
 QQ )  =  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
57 qdensere 21402 . . . . 5  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
5856, 57eqtri 2486 . . . 4  |-  ( ( cls `  J ) `
 QQ )  =  RR
5958a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  QQ )  =  RR )
6011, 12, 14, 8, 15, 23, 24, 29, 32, 6, 33, 41, 42, 54, 59ucnextcn 20932 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( JCnExt K
) `  (QQHom `  R
) )  e.  ( J  Cn  K ) )
6110, 60eqeltrd 2545 1  |-  ( ph  ->  (RRHom `  R )  e.  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471    X. cxp 5006   ran crn 5009    |` cres 5010   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   QQcq 11207   (,)cioo 11554   Basecbs 14643   ↾s cress 14644   distcds 14720   TopOpenctopn 14838   topGenctg 14854   DivRingcdr 17522   *Metcxmt 18529   MetOpencmopn 18534  metUnifcmetu 18536  ℂfldccnfld 18546   ZModczlm 18664  chrcchr 18665  RRfldcrefld 18766   TopSpctps 19523   clsccl 19645    Cn ccn 19851   Hauscha 19935  CnExtccnext 20684  UnifStcuss 20881  UnifSpcusp 20882   Cnucucn 20903  CUnifSpccusp 20925   *MetSpcxme 20945   MetSpcmt 20946  NrmGrpcngp 21223  NrmRingcnrg 21225  NrmModcnlm 21226  CMetSpccms 21896  QQHomcqqh 28106  RRHomcrrh 28127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-numer 14279  df-denom 14280  df-gz 14459  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-cntz 16481  df-od 16679  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-dvr 17458  df-rnghom 17490  df-drng 17524  df-subrg 17553  df-abv 17592  df-lmod 17640  df-nzr 18032  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-metu 18545  df-cnfld 18547  df-zring 18615  df-zrh 18667  df-zlm 18668  df-chr 18669  df-refld 18767  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-reg 19943  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-fcls 20567  df-cnext 20685  df-ust 20828  df-utop 20859  df-uss 20884  df-usp 20885  df-ucn 20904  df-cfilu 20915  df-cusp 20926  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-nm 21228  df-ngp 21229  df-nrg 21231  df-nlm 21232  df-cncf 21507  df-cfil 21819  df-cmet 21821  df-cms 21899  df-qqh 28107  df-rrh 28129
This theorem is referenced by:  rrhf  28132  rrhcne  28146
  Copyright terms: Public domain W3C validator