Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhcn Structured version   Unicode version

Theorem rrhcn 27611
Description: If the topology of  R is Hausdorff, and  R is a complete uniform space, then the canonical homomorphism from the real numbers to  R is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rrhf.d  |-  D  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( B  X.  B ) )
rrhf.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
rrhf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rrhf.k  |-  K  =  ( TopOpen `  R )
rrhf.z  |-  Z  =  ( ZMod `  R
)
rrhf.1  |-  ( ph  ->  R  e.  DivRing )
rrhf.2  |-  ( ph  ->  R  e. NrmRing )
rrhf.3  |-  ( ph  ->  Z  e. NrmMod )
rrhf.4  |-  ( ph  ->  (chr `  R )  =  0 )
rrhf.5  |-  ( ph  ->  R  e. CUnifSp )
rrhf.6  |-  ( ph  ->  (UnifSt `  R )  =  (metUnif `  D )
)
Assertion
Ref Expression
rrhcn  |-  ( ph  ->  (RRHom `  R )  e.  ( J  Cn  K
) )

Proof of Theorem rrhcn
StepHypRef Expression
1 rrhf.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e. NrmRing )
2 nrgngp 20903 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e. NrmGrp )
3 ngpxms 20853 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmGrp  ->  R  e.  *MetSp )
41, 2, 33syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  *MetSp )
5 xmstps 20688 . . . 4  |-  ( R  e.  *MetSp  ->  R  e.  TopSp )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  TopSp )
7 rrhf.j . . . 4  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
8 rrhf.k . . . 4  |-  K  =  ( TopOpen `  R )
97, 8rrhval 27610 . . 3  |-  ( R  e.  TopSp  ->  (RRHom `  R
)  =  ( ( JCnExt K ) `  (QQHom `  R ) ) )
106, 9syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (RRHom `  R )  =  ( ( JCnExt
K ) `  (QQHom `  R ) ) )
11 rebase 18406 . . 3  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
12 rrhf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
13 retopn 21543 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
TopOpen ` RRfld )
14 eqid 2467 . . . 4  |-  ( TopOpen ` RRfld )  =  ( TopOpen ` RRfld )
157, 13, 143eqtri 2500 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` RRfld )
16 eqid 2467 . . 3  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (UnifSt ` RRfld )
17 df-refld 18405 . . . . . 6  |- RRfld  =  (flds  RR )
1817oveq1i 6292 . . . . 5  |-  (RRfld ↾s  QQ )  =  ( (flds  RR )s  QQ )
19 reex 9579 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
20 qssre 11188 . . . . . 6  |-  QQ  C_  RR
21 ressabs 14546 . . . . . 6  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  QQ  C_  RR )  -> 
( (flds  RR )s  QQ )  =  (flds  QQ ) )
2219, 20, 21mp2an 672 . . . . 5  |-  ( (flds  RR )s  QQ )  =  (flds  QQ )
2318, 22eqtr2i 2497 . . . 4  |-  (flds  QQ )  =  (RRfld ↾s  QQ )
2423fveq2i 5867 . . 3  |-  (UnifSt `  (flds  QQ ) )  =  (UnifSt `  (RRfld ↾s 
QQ ) )
25 eqid 2467 . . 3  |-  (UnifSt `  R )  =  (UnifSt `  R )
26 recms 21544 . . . . 5  |- RRfld  e. CMetSp
27 cmsms 21519 . . . . 5  |-  (RRfld  e. CMetSp  -> RRfld  e. 
MetSp )
28 mstps 20690 . . . . 5  |-  (RRfld  e.  MetSp  -> RRfld 
e.  TopSp )
2926, 27, 28mp2b 10 . . . 4  |- RRfld  e.  TopSp
3029a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> RRfld 
e.  TopSp )
31 recusp 21546 . . . . 5  |- RRfld  e. CUnifSp
32 cuspusp 20535 . . . . 5  |-  (RRfld  e. CUnifSp  -> RRfld  e. UnifSp
)
3331, 32ax-mp 5 . . . 4  |- RRfld  e. UnifSp
3433a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> RRfld 
e. UnifSp )
35 rrhf.5 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e. CUnifSp )
36 rrhf.d . . . . . 6  |-  D  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( B  X.  B ) )
378, 12, 36xmstopn 20686 . . . . 5  |-  ( R  e.  *MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  D
) )
384, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  =  ( MetOpen `  D ) )
3912, 36xmsxmet 20691 . . . . 5  |-  ( R  e.  *MetSp  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
40 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
4140methaus 20755 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  B )  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Haus )
424, 39, 413syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  e.  Haus )
4338, 42eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
4420a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  QQ  C_  RR )
45 eqid 2467 . . . . 5  |-  (flds  QQ )  =  (flds  QQ )
46 eqid 2467 . . . . 5  |-  (UnifSt `  (flds  QQ ) )  =  (UnifSt `  (flds  QQ ) )
4736fveq2i 5867 . . . . 5  |-  (metUnif `  D
)  =  (metUnif `  (
( dist `  R )  |`  ( B  X.  B
) ) )
48 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( ZMod
`  R )  =  ( ZMod `  R
)
49 rrhf.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  DivRing )
50 rrhf.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZMod `  R
)
51 rrhf.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e. NrmMod )
5250, 51syl5eqelr 2560 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ZMod `  R
)  e. NrmMod )
53 rrhf.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (chr `  R )  =  0 )
5412, 45, 46, 47, 48, 1, 49, 52, 53qqhucn 27606 . . . 4  |-  ( ph  ->  (QQHom `  R )  e.  ( (UnifSt `  (flds  QQ )
) Cnu (metUnif `  D )
) )
55 rrhf.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (UnifSt `  R )  =  (metUnif `  D )
)
5655eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (metUnif `  D )  =  (UnifSt `  R )
)
5756oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (UnifSt `  (flds  QQ )
) Cnu (metUnif `  D )
)  =  ( (UnifSt `  (flds  QQ ) ) Cnu (UnifSt `  R
) ) )
5854, 57eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ph  ->  (QQHom `  R )  e.  ( (UnifSt `  (flds  QQ )
) Cnu (UnifSt `  R )
) )
597fveq2i 5867 . . . . . 6  |-  ( cls `  J )  =  ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
6059fveq1i 5865 . . . . 5  |-  ( ( cls `  J ) `
 QQ )  =  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
61 qdensere 21009 . . . . 5  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
6260, 61eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( cls `  J ) `
 QQ )  =  RR
6362a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  QQ )  =  RR )
6411, 12, 15, 8, 16, 24, 25, 30, 34, 6, 35, 43, 44, 58, 63ucnextcn 20539 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( JCnExt K
) `  (QQHom `  R
) )  e.  ( J  Cn  K ) )
6510, 64eqeltrd 2555 1  |-  ( ph  ->  (RRHom `  R )  e.  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476    X. cxp 4997   ran crn 5000    |` cres 5001   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   QQcq 11178   (,)cioo 11525   Basecbs 14483   ↾s cress 14484   distcds 14557   TopOpenctopn 14670   topGenctg 14686   DivRingcdr 17176   *Metcxmt 18171   MetOpencmopn 18176  metUnifcmetu 18178  ℂfldccnfld 18188   ZModczlm 18302  chrcchr 18303  RRfldcrefld 18404   TopSpctps 19161   clsccl 19282    Cn ccn 19488   Hauscha 19572  CnExtccnext 20291  UnifStcuss 20488  UnifSpcusp 20489   Cnucucn 20510  CUnifSpccusp 20532   *MetSpcxme 20552   MetSpcmt 20553  NrmGrpcngp 20830  NrmRingcnrg 20832  NrmModcnlm 20833  CMetSpccms 21503  QQHomcqqh 27586  RRHomcrrh 27607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-dvds 13841  df-gcd 13997  df-numer 14120  df-denom 14121  df-gz 14300  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-ghm 16057  df-cntz 16147  df-od 16346  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-cring 16986  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-dvr 17113  df-rnghom 17145  df-drng 17178  df-subrg 17207  df-abv 17246  df-lmod 17294  df-nzr 17685  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-metu 18187  df-cnfld 18189  df-zring 18254  df-zrh 18305  df-zlm 18306  df-chr 18307  df-refld 18405  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-nei 19362  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-haus 19579  df-reg 19580  df-cmp 19650  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-fcls 20174  df-cnext 20292  df-ust 20435  df-utop 20466  df-uss 20491  df-usp 20492  df-ucn 20511  df-cfilu 20522  df-cusp 20533  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-nm 20835  df-ngp 20836  df-nrg 20838  df-nlm 20839  df-cncf 21114  df-cfil 21426  df-cmet 21428  df-cms 21506  df-qqh 27587  df-rrh 27609
This theorem is referenced by:  rrhf  27612  rrhcne  27626
  Copyright terms: Public domain W3C validator