MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgeq0 Structured version   Unicode version

Theorem rrgeq0 17737
Description: Left-multiplication by a left regular element does not change zeroness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
rrgval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rrgval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
rrgval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
rrgeq0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  =  .0.  <->  Y  =  .0.  ) )

Proof of Theorem rrgeq0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgval.e . . . 4  |-  E  =  (RLReg `  R )
2 rrgval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rrgval.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 rrgval.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
51, 2, 3, 4rrgeq0i 17736 . . 3  |-  ( ( X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .x.  Y )  =  .0. 
->  Y  =  .0.  ) )
653adant1 1014 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  =  .0.  ->  Y  =  .0.  ) )
7 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
81, 2, 3, 4rrgval 17734 . . . . . 6  |-  E  =  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .x.  y )  =  .0. 
->  y  =  .0.  ) }
9 ssrab2 3585 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  .0.  ->  y  =  .0.  ) } 
C_  B
108, 9eqsstri 3534 . . . . 5  |-  E  C_  B
11 simp2 997 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  E )
1210, 11sseldi 3502 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
132, 3, 4rngrz 17037 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )
147, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )
15 oveq2 6292 . . . 4  |-  ( Y  =  .0.  ->  ( X  .x.  Y )  =  ( X  .x.  .0.  ) )
1615eqeq1d 2469 . . 3  |-  ( Y  =  .0.  ->  (
( X  .x.  Y
)  =  .0.  <->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
1714, 16syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  =  .0.  ->  ( X  .x.  Y )  =  .0.  ) )
186, 17impbid 191 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  =  .0.  <->  Y  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   .rcmulr 14556   0gc0g 14695   Ringcrg 17000  RLRegcrlreg 17726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-mgp 16944  df-rng 17002  df-rlreg 17730
This theorem is referenced by:  rrgsupp  17738  rrgsuppOLD  17739
  Copyright terms: Public domain W3C validator