MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgeq0 Structured version   Unicode version

Theorem rrgeq0 18449
Description: Left-multiplication by a left regular element does not change zeroness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
rrgval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rrgval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
rrgval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
rrgeq0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  =  .0.  <->  Y  =  .0.  ) )

Proof of Theorem rrgeq0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgval.e . . . 4  |-  E  =  (RLReg `  R )
2 rrgval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rrgval.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 rrgval.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
51, 2, 3, 4rrgeq0i 18448 . . 3  |-  ( ( X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .x.  Y )  =  .0. 
->  Y  =  .0.  ) )
653adant1 1023 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  =  .0.  ->  Y  =  .0.  ) )
7 simp1 1005 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
81, 2, 3, 4rrgval 18446 . . . . . 6  |-  E  =  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .x.  y )  =  .0. 
->  y  =  .0.  ) }
9 ssrab2 3552 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  .0.  ->  y  =  .0.  ) } 
C_  B
108, 9eqsstri 3500 . . . . 5  |-  E  C_  B
11 simp2 1006 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  E )
1210, 11sseldi 3468 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
132, 3, 4ringrz 17753 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )
147, 12, 13syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )
15 oveq2 6313 . . . 4  |-  ( Y  =  .0.  ->  ( X  .x.  Y )  =  ( X  .x.  .0.  ) )
1615eqeq1d 2431 . . 3  |-  ( Y  =  .0.  ->  (
( X  .x.  Y
)  =  .0.  <->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
1714, 16syl5ibrcom 225 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  =  .0.  ->  ( X  .x.  Y )  =  .0.  ) )
186, 17impbid 193 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  =  .0.  <->  Y  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   .rcmulr 15153   0gc0g 15297   Ringcrg 17715  RLRegcrlreg 18438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-mgp 17659  df-ring 17717  df-rlreg 18442
This theorem is referenced by:  rrgsupp  18450
  Copyright terms: Public domain W3C validator