MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rpvmasum 24443
Description: The sum of the von Mangoldt function over those integers  n  ==  A (mod  N) is asymptotic to  log x  /  phi ( x )  +  O(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
rpvmasum.b  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
rpvmasum.t  |-  T  =  ( `' L " { A } )
Assertion
Ref Expression
rpvmasum  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, N, x    ph, n, x    T, n, x    U, n, x    n, Z, x   
n, L, x    A, n

Proof of Theorem rpvmasum
Dummy variables  m  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
43adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  ->  N  e.  NN )
5 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (DChr `  N )  =  (DChr `  N )
6 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  (DChr `  N )
)  =  ( Base `  (DChr `  N )
)
7 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  (DChr `  N
) )  =  ( 0g `  (DChr `  N ) )
8 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  ( L `  m )  =  ( L `  n ) )
98fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
y `  ( L `  m ) )  =  ( y `  ( L `  n )
) )
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  m  =  n )
119, 10oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  ( ( y `
 ( L `  n ) )  /  n ) )
1211cbvsumv 13839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  sum_ n  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 n ) )  /  n )
1312eqeq1i 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0  <->  sum_ n  e.  NN  ( ( y `  ( L `  n ) )  /  n )  =  0 )
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N )
)  \  { ( 0g `  (DChr `  N
) ) } )  ->  ( sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0  <->  sum_ n  e.  NN  (
( y `  ( L `  n )
)  /  n )  =  0 ) )
1514rabbiia 3019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N )
)  \  { ( 0g `  (DChr `  N
) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  =  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ n  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 n ) )  /  n )  =  0 }
16 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  ->  f  e.  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } )
171, 2, 4, 5, 6, 7, 15, 16dchrisum0 24437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  ( ph  /\  f  e.  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )
1817imnani 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  f  e.  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )
1918eq0rdv 3773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 }  =  (/) )
2019fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  =  (
# `  (/) ) )
21 hash0 12586 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  (/) )  =  0
2220, 21syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  =  0 )
2322oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) )  =  ( 1  -  0 ) )
24 1m0e1 10742 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  0 )  =  1
2523, 24syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) )  =  1 )
2625adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) )  =  1 )
2726oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) ) )  =  ( ( log `  x )  x.  1 ) )
28 relogcl 23604 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2928adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
3029recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
3130mulid1d 9678 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  1 )  =  ( log `  x ) )
3227, 31eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) ) )  =  ( log `  x ) )
3332oveq2d 6324 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  T
) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) ) ) )  =  ( ( ( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  T
) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( log `  x ) ) )
3433mpteq2dva 4482 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  (
( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  T
) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
35 eqid 2471 . . 3  |-  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N )
)  \  { ( 0g `  (DChr `  N
) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  =  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 }
36 rpvmasum.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
37 rpvmasum.b . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
38 rpvmasum.t . . 3  |-  T  =  ( `' L " { A } )
3917pm2.21i 136 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  ->  A  =  ( 1r `  Z ) )
401, 2, 3, 5, 6, 7, 35, 36, 37, 38, 39rpvmasum2 24429 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  (
( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) ) ) ) )  e.  O(1) )
4134, 40eqeltrrd 2550 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {crab 2760    \ cdif 3387    i^i cin 3389   (/)c0 3722   {csn 3959    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   "cima 4842   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   RR+crp 11325   ...cfz 11810   |_cfl 12059   #chash 12553   O(1)co1 13627   sum_csu 13829   phicphi 14790   Basecbs 15199   0gc0g 15416   1rcur 17813  Unitcui 17945   ZRHomczrh 19148  ℤ/nczn 19151   logclog 23583  Λcvma 24097  DChrcdchr 24239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-rpss 6590  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-numer 14763  df-denom 14764  df-phi 14793  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-qus 15487  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-ga 17022  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-od 17250  df-gex 17252  df-pgp 17254  df-lsm 17366  df-pj1 17367  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-cyg 17591  df-dprd 17705  df-dpj 17706  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901  df-ply 23221  df-idp 23222  df-coe 23223  df-dgr 23224  df-quot 23323  df-log 23585  df-cxp 23586  df-em 23997  df-cht 24102  df-vma 24103  df-chp 24104  df-ppi 24105  df-mu 24106  df-dchr 24240
This theorem is referenced by:  rplogsum  24444
  Copyright terms: Public domain W3C validator