MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum Structured version   Unicode version

Theorem rpvmasum 23912
Description: The sum of the von Mangoldt function over those integers  n  ==  A (mod  N) is asymptotic to  log x  /  phi ( x )  +  O(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
rpvmasum.b  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
rpvmasum.t  |-  T  =  ( `' L " { A } )
Assertion
Ref Expression
rpvmasum  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, N, x    ph, n, x    T, n, x    U, n, x    n, Z, x   
n, L, x    A, n

Proof of Theorem rpvmasum
Dummy variables  m  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
43adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  ->  N  e.  NN )
5 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (DChr `  N )  =  (DChr `  N )
6 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  (DChr `  N )
)  =  ( Base `  (DChr `  N )
)
7 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  (DChr `  N
) )  =  ( 0g `  (DChr `  N ) )
8 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  ( L `  m )  =  ( L `  n ) )
98fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
y `  ( L `  m ) )  =  ( y `  ( L `  n )
) )
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  m  =  n )
119, 10oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  ( ( y `
 ( L `  n ) )  /  n ) )
1211cbvsumv 13603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  sum_ n  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 n ) )  /  n )
1312eqeq1i 2461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0  <->  sum_ n  e.  NN  ( ( y `  ( L `  n ) )  /  n )  =  0 )
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N )
)  \  { ( 0g `  (DChr `  N
) ) } )  ->  ( sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0  <->  sum_ n  e.  NN  (
( y `  ( L `  n )
)  /  n )  =  0 ) )
1514rabbiia 3095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N )
)  \  { ( 0g `  (DChr `  N
) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  =  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ n  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 n ) )  /  n )  =  0 }
16 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  ->  f  e.  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } )
171, 2, 4, 5, 6, 7, 15, 16dchrisum0 23906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  ( ph  /\  f  e.  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )
1817imnani 421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  f  e.  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )
1918eq0rdv 3819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 }  =  (/) )
2019fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  =  (
# `  (/) ) )
21 hash0 12423 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  (/) )  =  0
2220, 21syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  =  0 )
2322oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) )  =  ( 1  -  0 ) )
24 1m0e1 10642 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  0 )  =  1
2523, 24syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) )  =  1 )
2625adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) )  =  1 )
2726oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) ) )  =  ( ( log `  x )  x.  1 ) )
28 relogcl 23132 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2928adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
3029recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
3130mulid1d 9602 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  1 )  =  ( log `  x ) )
3227, 31eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) ) )  =  ( log `  x ) )
3332oveq2d 6286 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  T
) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) ) ) )  =  ( ( ( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  T
) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( log `  x ) ) )
3433mpteq2dva 4525 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  (
( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  T
) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
35 eqid 2454 . . 3  |-  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N )
)  \  { ( 0g `  (DChr `  N
) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  =  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 }
36 rpvmasum.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
37 rpvmasum.b . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
38 rpvmasum.t . . 3  |-  T  =  ( `' L " { A } )
3917pm2.21i 131 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  ->  A  =  ( 1r `  Z ) )
401, 2, 3, 5, 6, 7, 35, 36, 37, 38, 39rpvmasum2 23898 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  (
( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) ) ) ) )  e.  O(1) )
4134, 40eqeltrrd 2543 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   {crab 2808    \ cdif 3458    i^i cin 3460   (/)c0 3783   {csn 4016    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   "cima 4991   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   RR+crp 11221   ...cfz 11675   |_cfl 11908   #chash 12390   O(1)co1 13394   sum_csu 13593   phicphi 14381   Basecbs 14719   0gc0g 14932   1rcur 17351  Unitcui 17486   ZRHomczrh 18715  ℤ/nczn 18718   logclog 23111  Λcvma 23566  DChrcdchr 23708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-rpss 6553  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-word 12529  df-concat 12531  df-s1 12532  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-o1 13398  df-lo1 13399  df-sum 13594  df-ef 13888  df-e 13889  df-sin 13890  df-cos 13891  df-pi 13893  df-dvds 14074  df-gcd 14232  df-prm 14305  df-numer 14355  df-denom 14356  df-phi 14383  df-pc 14448  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-qus 15001  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mulg 16262  df-subg 16400  df-nsg 16401  df-eqg 16402  df-ghm 16467  df-gim 16509  df-ga 16530  df-cntz 16557  df-oppg 16583  df-od 16755  df-gex 16756  df-pgp 16757  df-lsm 16858  df-pj1 16859  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-cyg 17083  df-dprd 17224  df-dpj 17225  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-dvr 17530  df-rnghom 17562  df-drng 17596  df-subrg 17625  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-lsp 17816  df-sra 18016  df-rgmod 18017  df-lidl 18018  df-rsp 18019  df-2idl 18078  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-zring 18687  df-zrh 18719  df-zn 18722  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-0p 22246  df-limc 22439  df-dv 22440  df-ply 22754  df-idp 22755  df-coe 22756  df-dgr 22757  df-quot 22856  df-log 23113  df-cxp 23114  df-em 23523  df-cht 23571  df-vma 23572  df-chp 23573  df-ppi 23574  df-mu 23575  df-dchr 23709
This theorem is referenced by:  rplogsum  23913
  Copyright terms: Public domain W3C validator