MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum Structured version   Unicode version

Theorem rpvmasum 22907
Description: The sum of the von Mangoldt function over those integers  n  ==  A (mod  N) is asymptotic to  log x  /  phi ( x )  +  O(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
rpvmasum.b  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
rpvmasum.t  |-  T  =  ( `' L " { A } )
Assertion
Ref Expression
rpvmasum  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, N, x    ph, n, x    T, n, x    U, n, x    n, Z, x   
n, L, x    A, n

Proof of Theorem rpvmasum
Dummy variables  m  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
43adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  ->  N  e.  NN )
5 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (DChr `  N )  =  (DChr `  N )
6 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  (DChr `  N )
)  =  ( Base `  (DChr `  N )
)
7 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  (DChr `  N
) )  =  ( 0g `  (DChr `  N ) )
8 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  ( L `  m )  =  ( L `  n ) )
98fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
y `  ( L `  m ) )  =  ( y `  ( L `  n )
) )
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  m  =  n )
119, 10oveq12d 6217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  ( ( y `
 ( L `  n ) )  /  n ) )
1211cbvsumv 13290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  sum_ n  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 n ) )  /  n )
1312eqeq1i 2461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0  <->  sum_ n  e.  NN  ( ( y `  ( L `  n ) )  /  n )  =  0 )
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N )
)  \  { ( 0g `  (DChr `  N
) ) } )  ->  ( sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0  <->  sum_ n  e.  NN  (
( y `  ( L `  n )
)  /  n )  =  0 ) )
1514rabbiia 3065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N )
)  \  { ( 0g `  (DChr `  N
) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  =  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ n  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 n ) )  /  n )  =  0 }
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  ->  f  e.  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } )
171, 2, 4, 5, 6, 7, 15, 16dchrisum0 22901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  ( ph  /\  f  e.  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )
1817imnani 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  f  e.  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )
1918eq0rdv 3779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 }  =  (/) )
2019fveq2d 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  =  (
# `  (/) ) )
21 hash0 12251 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  (/) )  =  0
2220, 21syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  =  0 )
2322oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) )  =  ( 1  -  0 ) )
24 1m0e1 10542 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  0 )  =  1
2523, 24syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) )  =  1 )
2625adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) )  =  1 )
2726oveq2d 6215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) ) )  =  ( ( log `  x )  x.  1 ) )
28 relogcl 22159 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2928adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
3029recnd 9522 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
3130mulid1d 9513 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  1 )  =  ( log `  x ) )
3227, 31eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) ) )  =  ( log `  x ) )
3332oveq2d 6215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  T
) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) ) ) )  =  ( ( ( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  T
) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( log `  x ) ) )
3433mpteq2dva 4485 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  (
( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  T
) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
35 eqid 2454 . . 3  |-  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N )
)  \  { ( 0g `  (DChr `  N
) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  =  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 }
36 rpvmasum.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
37 rpvmasum.b . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
38 rpvmasum.t . . 3  |-  T  =  ( `' L " { A } )
3917pm2.21i 131 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  ->  A  =  ( 1r `  Z ) )
401, 2, 3, 5, 6, 7, 35, 36, 37, 38, 39rpvmasum2 22893 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  (
( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) ) ) ) )  e.  O(1) )
4134, 40eqeltrrd 2543 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2802    \ cdif 3432    i^i cin 3434   (/)c0 3744   {csn 3984    |-> cmpt 4457   `'ccnv 4946   "cima 4950   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    x. cmul 9397    - cmin 9705    / cdiv 10103   NNcn 10432   RR+crp 11101   ...cfz 11553   |_cfl 11756   #chash 12219   O(1)co1 13081   sum_csu 13280   phicphi 13956   Basecbs 14291   0gc0g 14496   1rcur 16724  Unitcui 16853   ZRHomczrh 18055  ℤ/nczn 18058   logclog 22138  Λcvma 22561  DChrcdchr 22703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4370  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-rpss 6469  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-tpos 6854  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-omul 7034  df-er 7210  df-ec 7212  df-qs 7216  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-acn 8222  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-mod 11825  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-bc 12195  df-hash 12220  df-word 12346  df-concat 12348  df-s1 12349  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-o1 13085  df-lo1 13086  df-sum 13281  df-ef 13470  df-e 13471  df-sin 13472  df-cos 13473  df-pi 13475  df-dvds 13653  df-gcd 13808  df-prm 13881  df-numer 13930  df-denom 13931  df-phi 13958  df-pc 14021  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-divs 14565  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-mhm 15582  df-submnd 15583  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-sbg 15665  df-mulg 15666  df-subg 15796  df-nsg 15797  df-eqg 15798  df-ghm 15863  df-gim 15905  df-ga 15926  df-cntz 15953  df-oppg 15979  df-od 16152  df-gex 16153  df-pgp 16154  df-lsm 16255  df-pj1 16256  df-cmn 16399  df-abl 16400  df-cyg 16475  df-dprd 16598  df-dpj 16599  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-cring 16770  df-oppr 16837  df-dvdsr 16855  df-unit 16856  df-invr 16886  df-dvr 16897  df-rnghom 16928  df-drng 16956  df-subrg 16985  df-lmod 17072  df-lss 17136  df-lsp 17175  df-sra 17375  df-rgmod 17376  df-lidl 17377  df-rsp 17378  df-2idl 17436  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-zring 18008  df-zrh 18059  df-zn 18062  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-lp 18871  df-perf 18872  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-cmp 19121  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585  df-0p 21280  df-limc 21473  df-dv 21474  df-ply 21788  df-idp 21789  df-coe 21790  df-dgr 21791  df-quot 21889  df-log 22140  df-cxp 22141  df-em 22518  df-cht 22566  df-vma 22567  df-chp 22568  df-ppi 22569  df-mu 22570  df-dchr 22704
This theorem is referenced by:  rplogsum  22908
  Copyright terms: Public domain W3C validator