MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpsup Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rpsup 12100
Description: The positive reals are unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rpsup  |-  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  = +oo

Proof of Theorem rpsup
StepHypRef Expression
1 ioorp 11719 . . 3  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
21supeq1i 7966 . 2  |-  sup (
( 0 (,) +oo ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( RR+ , 
RR* ,  <  )
3 0xr 9692 . . 3  |-  0  e.  RR*
4 0re 9648 . . . 4  |-  0  e.  RR
5 renepnf 9693 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  0  =/= +oo
7 ioopnfsup 12098 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  =/= +oo )  ->  sup ( ( 0 (,) +oo ) ,  RR* ,  <  )  = +oo )
83, 6, 7mp2an 679 . 2  |-  sup (
( 0 (,) +oo ) ,  RR* ,  <  )  = +oo
92, 8eqtr3i 2477 1  |-  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  = +oo
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624  (class class class)co 6295   supcsup 7959   RRcr 9543   0cc0 9544   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679    < clt 9680   RR+crp 11309   (,)cioo 11642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-ioo 11646
This theorem is referenced by:  divsqrtsumo1  23921  dchrisum0lem3  24369  mulog2sumlem1  24384
  Copyright terms: Public domain W3C validator