Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rprisefaccl Structured version   Unicode version

Theorem rprisefaccl 27524
Description: Closure law for rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
rprisefaccl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A RiseFac  N )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rprisefaccl
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 10999 . . 3  |-  RR+  C_  RR
2 ax-resscn 9337 . . 3  |-  RR  C_  CC
31, 2sstri 3363 . 2  |-  RR+  C_  CC
4 1rp 10993 . 2  |-  1  e.  RR+
5 rpmulcl 11010 . 2  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
x  x.  y )  e.  RR+ )
6 rpre 10995 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
7 nn0re 10586 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
8 readdcl 9363 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( A  +  k )  e.  RR )
96, 7, 8syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  +  k )  e.  RR )
106adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
117adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
12 rpgt0 11000 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
1312adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  A )
14 nn0ge0 10603 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
k )
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  k )
16 addgtge0 9825 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  /\  ( 0  < 
A  /\  0  <_  k ) )  ->  0  <  ( A  +  k ) )
1710, 11, 13, 15, 16syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  ( A  +  k ) )
189, 17elrpd 11023 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  +  k )  e.  RR+ )
193, 4, 5, 18risefaccllem 27514 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A RiseFac  N )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4290  (class class class)co 6089   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280    + caddc 9283    < clt 9416    <_ cle 9417   NN0cn0 10577   RR+crp 10989   RiseFac crisefac 27506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-prod 27417  df-risefac 27507
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator