MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprege0 Structured version   Unicode version

Theorem rprege0 11223
Description: A positive real is a nonnegative real number. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
rprege0  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem rprege0
StepHypRef Expression
1 rpre 11215 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rpge0 11221 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
31, 2jca 532 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   RRcr 9480   0cc0 9481    <_ cle 9618   RR+crp 11209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-rp 11210
This theorem is referenced by:  resqrex  13034  sqrdiv  13049  o1fsum  13576  prmreclem3  14284  aaliou3lem3  22467  pige3  22636  rpcxpcl  22778  cxprec  22788  harmoniclbnd  23059  harmonicbnd4  23061  basellem4  23078  logfaclbnd  23218  logfacrlim  23220  logexprlim  23221  bposlem7  23286  vmadivsum  23388  dchrisum0lem2a  23423  dchrisum0lem2  23424  dchrisum0  23426  mudivsum  23436  mulogsumlem  23437  selberglem2  23452  selberg2lem  23456  pntrsumo1  23471  minvecolem3  25454
  Copyright terms: Public domain W3C validator