MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprege0 Structured version   Unicode version

Theorem rprege0 11003
Description: A positive real is a nonnegative real number. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
rprege0  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem rprege0
StepHypRef Expression
1 rpre 10995 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rpge0 11001 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
31, 2jca 532 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4290   RRcr 9279   0cc0 9280    <_ cle 9417   RR+crp 10989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-rp 10990
This theorem is referenced by:  resqrex  12738  sqrdiv  12753  o1fsum  13274  prmreclem3  13977  aaliou3lem3  21808  pige3  21977  rpcxpcl  22119  cxprec  22129  harmoniclbnd  22400  harmonicbnd4  22402  basellem4  22419  logfaclbnd  22559  logfacrlim  22561  logexprlim  22562  bposlem7  22627  vmadivsum  22729  dchrisum0lem2a  22764  dchrisum0lem2  22765  dchrisum0  22767  mudivsum  22777  mulogsumlem  22778  selberglem2  22793  selberg2lem  22797  pntrsumo1  22812  minvecolem3  24275
  Copyright terms: Public domain W3C validator