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Theorem rpnnen2lem9 13609
Description: Lemma for rpnnen2 13612. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem9  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, k    k, F    k, M, n, x
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem9
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 nnz 10771 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
3 eqidd 2452 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
) )
4 eluznn 11028 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN )
5 difss 3583 . . . . . . 7  |-  ( NN 
\  { M }
)  C_  NN
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
76rpnnen2lem2 13602 . . . . . . 7  |-  ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  ->  ( F `  ( NN  \  { M }
) ) : NN --> RR )
85, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( F `
 ( NN  \  { M } ) ) : NN --> RR
98ffvelrni 5943 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
)  e.  RR )
109recnd 9515 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
)  e.  CC )
114, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  e.  CC )
126rpnnen2lem5 13605 . . . 4  |-  ( ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq M (  +  ,  ( F `  ( NN  \  { M } ) ) )  e.  dom  ~~>  )
135, 12mpan 670 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  seq M (  +  , 
( F `  ( NN  \  { M }
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
141, 2, 3, 11, 13isum1p 13408 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  M )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ( ( F `  ( NN 
\  { M }
) ) `  k
) ) )
156rpnnen2lem1 13601 . . . . 5  |-  ( ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( NN  \  { M } ) ) `
 M )  =  if ( M  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ M ) ,  0 ) )
165, 15mpan 670 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  M
)  =  if ( M  e.  ( NN 
\  { M }
) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ M ) ,  0 ) )
17 neldifsnd 4103 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -.  M  e.  ( NN  \  { M } ) )
18 iffalse 3899 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  ( NN 
\  { M }
)  ->  if ( M  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ M ) ,  0 )  =  0 )
1917, 18syl 16 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  if ( M  e.  ( NN  \  { M }
) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ M ) ,  0 )  =  0 )
2016, 19eqtrd 2492 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  M
)  =  0 )
21 eqid 2451 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )
22 peano2nn 10437 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
2322nnzd 10849 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
24 eqidd 2452 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
) )
25 eluznn 11028 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
2622, 25sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
2726, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  e.  CC )
28 1re 9488 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
29 3nn 10583 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
30 nndivre 10460 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
3128, 29, 30mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
3231recni 9501 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  3 )  e.  CC )
34 0re 9489 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
35 3re 10498 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
36 3pos 10518 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
3735, 36recgt0ii 10341 . . . . . . . . 9  |-  0  <  ( 1  /  3
)
3834, 31, 37ltleii 9600 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
39 absid 12889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  3 ) )  =  ( 1  /  3 ) )
4031, 38, 39mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  =  ( 1  /  3 )
41 1lt3 10593 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
42 recgt1 10331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  -> 
( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 ) )
4335, 36, 42mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 )
4441, 43mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  <  1
4540, 44eqbrtri 4411 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  <  1
4645a1i 11 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( abs `  ( 1  / 
3 ) )  <  1 )
4722nnnn0d 10739 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
486rpnnen2lem1 13601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( NN  \  { M } ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
495, 48mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
)  =  if ( k  e.  ( NN 
\  { M }
) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
5026, 49syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
51 nnre 10432 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
5251adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  e.  RR )
53 eluzle 10976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  <_ 
k )
5453adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( M  +  1 )  <_  k )
55 nnltp1le 10803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( M  <  k  <->  ( M  +  1 )  <_  k ) )
5626, 55syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( M  <  k  <->  ( M  +  1 )  <_  k ) )
5754, 56mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  <  k )
5852, 57gtned 9612 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  =/=  M )
59 eldifsn 4100 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( NN  \  { M } )  <->  ( k  e.  NN  /\  k  =/= 
M ) )
6026, 58, 59sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  e.  ( NN 
\  { M }
) )
61 iftrue 3897 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( NN  \  { M } )  ->  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  =  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
6260, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  =  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
6350, 62eqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
6433, 46, 47, 63geolim2 13435 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  seq ( M  +  1
) (  +  , 
( F `  ( NN  \  { M }
) ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
6521, 23, 24, 27, 64isumclim 13328 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( ( 1  / 
3 ) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) ) ) )
6620, 65oveq12d 6210 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  M )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ( ( F `  ( NN 
\  { M }
) ) `  k
) )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
6714, 66eqtrd 2492 1  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644    \ cdif 3425    C_ wss 3428   ifcif 3891   ~Pcpw 3960   {csn 3977   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   dom cdm 4940   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386    + caddc 9388    < clt 9521    <_ cle 9522    - cmin 9698    / cdiv 10096   NNcn 10425   3c3 10475   ZZ>=cuz 10964    seqcseq 11909   ^cexp 11968   abscabs 12827    ~~> cli 13066   sum_csu 13267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-ico 11409  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-limsup 13053  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  13611
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