MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem7 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem7 13622
Description: Lemma for rpnnen2 13627. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem7  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  A ) `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  B ) `  k
) )
Distinct variable groups:    x, n, k, A    B, k, n, x    k, F    k, M, n, x
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem7
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . 2  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 simp3 990 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
32nnzd 10858 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
4 eqidd 2455 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  =  ( ( F `  A
) `  k )
)
5 eluznn 11037 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN )
62, 5sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  k  e.  NN )
7 sstr 3473 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN )  ->  A  C_  NN )
873adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  A  C_  NN )
9 rpnnen2.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
109rpnnen2lem2 13617 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A ) : NN --> RR )
118, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( F `  A ) : NN --> RR )
1211ffvelrnda 5953 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  e.  RR )
136, 12syldan 470 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  e.  RR )
14 eqidd 2455 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( F `
 B ) `  k )  =  ( ( F `  B
) `  k )
)
159rpnnen2lem2 13617 . . . . 5  |-  ( B 
C_  NN  ->  ( F `
 B ) : NN --> RR )
16153ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( F `  B ) : NN --> RR )
1716ffvelrnda 5953 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 B ) `  k )  e.  RR )
186, 17syldan 470 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( F `
 B ) `  k )  e.  RR )
199rpnnen2lem4 13619 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) ) )
2019simprd 463 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) )
21203expa 1188 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  <_  (
( F `  B
) `  k )
)
22213adantl3 1146 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  <_  (
( F `  B
) `  k )
)
236, 22syldan 470 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  <_  (
( F `  B
) `  k )
)
249rpnnen2lem5 13620 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq M (  +  , 
( F `  A
) )  e.  dom  ~~>  )
258, 2, 24syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq M (  +  , 
( F `  A
) )  e.  dom  ~~>  )
269rpnnen2lem5 13620 . . 3  |-  ( ( B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq M (  +  , 
( F `  B
) )  e.  dom  ~~>  )
27263adant1 1006 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq M (  +  , 
( F `  B
) )  e.  dom  ~~>  )
281, 3, 4, 13, 14, 18, 23, 25, 27isumle 13426 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  A ) `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  B ) `  k
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3437   ifcif 3900   ~Pcpw 3969   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459   dom cdm 4949   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    <_ cle 9531    / cdiv 10105   NNcn 10434   3c3 10484   ZZ>=cuz 10973    seqcseq 11924   ^cexp 11983    ~~> cli 13081   sum_csu 13282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-pm 7328  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-ico 11418  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-limsup 13068  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  13626  rpnnen2  13627
  Copyright terms: Public domain W3C validator