MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem7 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem7 13979
Description: Lemma for rpnnen2 13984. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem7  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  A ) `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  B ) `  k
) )
Distinct variable groups:    x, n, k, A    B, k, n, x    k, F    k, M, n, x
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem7
StepHypRef Expression
1 eqid 2396 . 2  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 simp3 996 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
32nnzd 10905 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
4 eqidd 2397 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  =  ( ( F `  A
) `  k )
)
5 eluznn 11093 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN )
62, 5sylan 469 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  k  e.  NN )
7 sstr 3442 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN )  ->  A  C_  NN )
873adant3 1014 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  A  C_  NN )
9 rpnnen2.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
109rpnnen2lem2 13974 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A ) : NN --> RR )
118, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( F `  A ) : NN --> RR )
1211ffvelrnda 5950 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  e.  RR )
136, 12syldan 468 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  e.  RR )
14 eqidd 2397 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( F `
 B ) `  k )  =  ( ( F `  B
) `  k )
)
159rpnnen2lem2 13974 . . . . 5  |-  ( B 
C_  NN  ->  ( F `
 B ) : NN --> RR )
16153ad2ant2 1016 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( F `  B ) : NN --> RR )
1716ffvelrnda 5950 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 B ) `  k )  e.  RR )
186, 17syldan 468 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( F `
 B ) `  k )  e.  RR )
199rpnnen2lem4 13976 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) ) )
2019simprd 461 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) )
21203expa 1194 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  <_  (
( F `  B
) `  k )
)
22213adantl3 1152 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  <_  (
( F `  B
) `  k )
)
236, 22syldan 468 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  <_  (
( F `  B
) `  k )
)
249rpnnen2lem5 13977 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq M (  +  , 
( F `  A
) )  e.  dom  ~~>  )
257, 24stoic3 1624 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq M (  +  , 
( F `  A
) )  e.  dom  ~~>  )
269rpnnen2lem5 13977 . . 3  |-  ( ( B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq M (  +  , 
( F `  B
) )  e.  dom  ~~>  )
27263adant1 1012 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq M (  +  , 
( F `  B
) )  e.  dom  ~~>  )
281, 3, 4, 13, 14, 18, 23, 25, 27isumle 13681 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  A ) `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  B ) `  k
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836    C_ wss 3406   ifcif 3874   ~Pcpw 3944   class class class wbr 4384    |-> cmpt 4442   dom cdm 4930   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   RRcr 9424   0cc0 9425   1c1 9426    + caddc 9428    <_ cle 9562    / cdiv 10145   NNcn 10474   3c3 10525   ZZ>=cuz 11023    seqcseq 12033   ^cexp 12092    ~~> cli 13332   sum_csu 13533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-pm 7363  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-sup 7838  df-oi 7872  df-card 8255  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-rp 11162  df-ico 11478  df-fz 11616  df-fzo 11740  df-fl 11851  df-seq 12034  df-exp 12093  df-hash 12331  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-limsup 13319  df-clim 13336  df-rlim 13337  df-sum 13534
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  13983  rpnnen2  13984
  Copyright terms: Public domain W3C validator