MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem4 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem4 14035
Description: Lemma for rpnnen2 14043. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, k, A    B, k, n, x    k, F
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem4
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10798 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
2 0re 9585 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
3 1re 9584 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
4 3nn 10690 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
5 nndivre 10567 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
63, 4, 5mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
7 3re 10605 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
8 3pos 10625 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
97, 8recgt0ii 10446 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  /  3
)
102, 6, 9ltleii 9696 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
11 expge0 12184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_  ( 1  /  3
) )  ->  0  <_  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
126, 11mp3an1 1309 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  3 ) ^ k ) )
131, 10, 12sylancl 660 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
14133ad2ant3 1017 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
15 0le0 10621 . . . 4  |-  0  <_  0
16 breq2 4443 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
( 1  /  3
) ^ k )  <->  0  <_  if (
k  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) ) )
17 breq2 4443 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) ) )
1816, 17ifboth 3965 . . . 4  |-  ( ( 0  <_  ( (
1  /  3 ) ^ k )  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
k  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
1914, 15, 18sylancl 660 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
20 sstr 3497 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN )  ->  A  C_  NN )
21 rpnnen2.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2221rpnnen2lem1 14032 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
2320, 22stoic3 1614 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
2419, 23breqtrrd 4465 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  A ) `  k
) )
25 reexpcl 12165 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  e.  RR )
266, 1, 25sylancr 661 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  3
) ^ k )  e.  RR )
27263ad2ant3 1017 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  3
) ^ k )  e.  RR )
28 0red 9586 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
29 simp1 994 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  A  C_  B )
3029sseld 3488 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  e.  A  -> 
k  e.  B ) )
31 ifle 11399 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( 1  /  3 ) ^
k )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) )  /\  ( k  e.  A  ->  k  e.  B ) )  ->  if (
k  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 )  <_  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
3227, 28, 14, 30, 31syl31anc 1229 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 )  <_  if (
k  e.  B , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
3321rpnnen2lem1 14032 . . . 4  |-  ( ( B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
34333adant1 1012 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
3532, 23, 343brtr4d 4469 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) )
3624, 35jca 530 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   ifcif 3929   ~Pcpw 3999   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    <_ cle 9618    / cdiv 10202   NNcn 10531   3c3 10582   NN0cn0 10791   ^cexp 12148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-seq 12090  df-exp 12149
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  14036  rpnnen2lem7  14038  rpnnen2  14043
  Copyright terms: Public domain W3C validator