MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem4 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem4 13611
Description: Lemma for rpnnen2 13619. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, k, A    B, k, n, x    k, F
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem4
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10690 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
2 0re 9490 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
3 1re 9489 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
4 3nn 10584 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
5 nndivre 10461 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
63, 4, 5mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
7 3re 10499 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
8 3pos 10519 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
97, 8recgt0ii 10342 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  /  3
)
102, 6, 9ltleii 9601 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
11 expge0 12010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_  ( 1  /  3
) )  ->  0  <_  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
126, 11mp3an1 1302 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  3 ) ^ k ) )
131, 10, 12sylancl 662 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
14133ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
15 0le0 10515 . . . 4  |-  0  <_  0
16 breq2 4397 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
( 1  /  3
) ^ k )  <->  0  <_  if (
k  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) ) )
17 breq2 4397 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) ) )
1816, 17ifboth 3926 . . . 4  |-  ( ( 0  <_  ( (
1  /  3 ) ^ k )  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
k  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
1914, 15, 18sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
20 sstr 3465 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN )  ->  A  C_  NN )
21 rpnnen2.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2221rpnnen2lem1 13608 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
2320, 22sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 ) )
24233impa 1183 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
2519, 24breqtrrd 4419 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  A ) `  k
) )
26 reexpcl 11992 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  e.  RR )
276, 1, 26sylancr 663 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  3
) ^ k )  e.  RR )
28273ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  3
) ^ k )  e.  RR )
29 0red 9491 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
30 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  A  C_  B )
3130sseld 3456 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  e.  A  -> 
k  e.  B ) )
32 ifle 11271 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( 1  /  3 ) ^
k )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) )  /\  ( k  e.  A  ->  k  e.  B ) )  ->  if (
k  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 )  <_  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
3328, 29, 14, 31, 32syl31anc 1222 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 )  <_  if (
k  e.  B , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
3421rpnnen2lem1 13608 . . . 4  |-  ( ( B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
35343adant1 1006 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
3633, 24, 353brtr4d 4423 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) )
3725, 36jca 532 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3429   ifcif 3892   ~Pcpw 3961   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    <_ cle 9523    / cdiv 10097   NNcn 10426   3c3 10476   NN0cn0 10683   ^cexp 11975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-seq 11917  df-exp 11976
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  13612  rpnnen2lem7  13614  rpnnen2  13619
  Copyright terms: Public domain W3C validator