MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem3 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem3 13495
Description: Lemma for rpnnen2 13504. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem3  |-  seq 1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9381 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2 3nn 10476 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
3 nndivre 10353 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
41, 2, 3mp2an 667 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
54recni 9394 . . . . 5  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
65a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
7 0re 9382 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
8 3re 10391 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
9 3pos 10411 . . . . . . . . 9  |-  0  <  3
108, 9recgt0ii 10234 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  3
)
117, 4, 10ltleii 9493 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
12 absid 12781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  3 ) )  =  ( 1  /  3 ) )
134, 11, 12mp2an 667 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  =  ( 1  /  3 )
14 1lt3 10486 . . . . . . 7  |-  1  <  3
15 recgt1 10224 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  -> 
( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 ) )
168, 9, 15mp2an 667 . . . . . . 7  |-  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 )
1714, 16mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  <  1
1813, 17eqbrtri 4308 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  <  1
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( abs `  (
1  /  3 ) )  <  1 )
20 1nn0 10591 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  NN0 )
22 ssid 3372 . . . . . 6  |-  NN  C_  NN
23 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
24 nnuz 10892 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2523, 24syl6eleqr 2532 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  NN )
26 rpnnen2.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2726rpnnen2lem1 13493 . . . . . 6  |-  ( ( NN  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  NN ) `  k )  =  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
2822, 25, 27sylancr 658 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  =  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 ) )
29 iftrue 3794 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 )  =  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) )
3025, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
k  e.  NN , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 )  =  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) )
3128, 30eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
326, 19, 21, 31geolim2 13327 . . 3  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
3332trud 1373 . 2  |-  seq 1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  / 
( 1  -  (
1  /  3 ) ) )
34 exp1 11867 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  3 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  3
) ^ 1 )  =  ( 1  / 
3 ) )
355, 34ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  =  ( 1  /  3
)
36 3cn 10392 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
37 ax-1cn 9336 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
38 3ne0 10412 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3936, 38pm3.2i 452 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
40 divsubdir 10023 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
4136, 37, 39, 40mp3an 1309 . . . . 5  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
42 3m1e2 10434 . . . . . 6  |-  ( 3  -  1 )  =  2
4342oveq1i 6100 . . . . 5  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
4436, 38dividi 10060 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  1
4544oveq1i 6100 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
4641, 43, 453eqtr3ri 2470 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
4735, 46oveq12i 6102 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )
48 2cnne0 10532 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
49 divcan7 10036 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
5037, 48, 39, 49mp3an 1309 . . 3  |-  ( ( 1  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
)
5147, 50eqtri 2461 . 2  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 1  /  2
)
5233, 51breqtri 4312 1  |-  seq 1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761    =/= wne 2604    C_ wss 3325   ifcif 3788   ~Pcpw 3857   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   3c3 10368   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857    seqcseq 11802   ^cexp 11861   abscabs 12719    ~~> cli 12958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  13497  rpnnen2  13504
  Copyright terms: Public domain W3C validator