MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem3 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem3 13962
Description: Lemma for rpnnen2 13971. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem3  |-  seq 1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9612 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2 3nn 10715 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
3 nndivre 10592 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
41, 2, 3mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
54recni 9625 . . . . 5  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
65a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
7 0re 9613 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
8 3re 10630 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
9 3pos 10650 . . . . . . . . 9  |-  0  <  3
108, 9recgt0ii 10471 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  3
)
117, 4, 10ltleii 9724 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
12 absid 13141 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  3 ) )  =  ( 1  /  3 ) )
134, 11, 12mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  =  ( 1  /  3 )
14 1lt3 10725 . . . . . . 7  |-  1  <  3
15 recgt1 10461 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  -> 
( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 ) )
168, 9, 15mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 )
1714, 16mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  <  1
1813, 17eqbrtri 4475 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  <  1
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( abs `  (
1  /  3 ) )  <  1 )
20 1nn0 10832 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  NN0 )
22 ssid 3518 . . . . . 6  |-  NN  C_  NN
23 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
24 nnuz 11141 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2523, 24syl6eleqr 2556 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  NN )
26 rpnnen2.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2726rpnnen2lem1 13960 . . . . . 6  |-  ( ( NN  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  NN ) `  k )  =  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
2822, 25, 27sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  =  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 ) )
2925iftrued 3952 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
k  e.  NN , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 )  =  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) )
3028, 29eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
316, 19, 21, 30geolim2 13692 . . 3  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
3231trud 1404 . 2  |-  seq 1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  / 
( 1  -  (
1  /  3 ) ) )
33 exp1 12175 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  3 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  3
) ^ 1 )  =  ( 1  / 
3 ) )
345, 33ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  =  ( 1  /  3
)
35 3cn 10631 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
36 ax-1cn 9567 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
37 3ne0 10651 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3835, 37pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
39 divsubdir 10261 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
4035, 36, 38, 39mp3an 1324 . . . . 5  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
41 3m1e2 10673 . . . . . 6  |-  ( 3  -  1 )  =  2
4241oveq1i 6306 . . . . 5  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
4335, 37dividi 10298 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  1
4443oveq1i 6306 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
4540, 42, 443eqtr3ri 2495 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
4634, 45oveq12i 6308 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )
47 2cnne0 10771 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
48 divcan7 10274 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
4936, 47, 38, 48mp3an 1324 . . 3  |-  ( ( 1  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
)
5046, 49eqtri 2486 . 2  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 1  /  2
)
5132, 50breqtri 4479 1  |-  seq 1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819    =/= wne 2652    C_ wss 3471   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   3c3 10607   NN0cn0 10816   ZZ>=cuz 11106    seqcseq 12110   ^cexp 12169   abscabs 13079    ~~> cli 13319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  13964  rpnnen2  13971
  Copyright terms: Public domain W3C validator