MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem2 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem2 13617
Description: Lemma for rpnnen2 13627. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem2  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A ) : NN --> RR )
Distinct variable group:    x, n, A
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem2
StepHypRef Expression
1 1re 9497 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2 3nn 10592 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
3 nndivre 10469 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
41, 2, 3mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
5 nnnn0 10698 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
6 reexpcl 12000 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
)  e.  RR )
74, 5, 6sylancr 663 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  3
) ^ n )  e.  RR )
8 0re 9498 . . . . 5  |-  0  e.  RR
9 ifcl 3940 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ n
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ n ) ,  0 )  e.  RR )
107, 8, 9sylancl 662 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  e.  RR )
1110adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  n  e.  NN )  ->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  e.  RR )
12 eqid 2454 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )
1311, 12fmptd 5977 . 2  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) ) : NN --> RR )
14 nnex 10440 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
1514elpw2 4565 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P NN  <->  A  C_  NN )
16 eleq2 2527 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
n  e.  x  <->  n  e.  A ) )
1716ifbid 3920 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  =  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )
1817mpteq2dv 4488 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) )
19 rpnnen2.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2014mptex 6058 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )  e.  _V
2118, 19, 20fvmpt 5884 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P NN  ->  ( F `  A )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2215, 21sylbir 213 . . 3  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) )
2322feq1d 5655 . 2  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( ( F `  A ) : NN --> RR  <->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) : NN --> RR ) )
2413, 23mpbird 232 1  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A ) : NN --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3437   ifcif 3900   ~Pcpw 3969    |-> cmpt 4459   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395    / cdiv 10105   NNcn 10434   3c3 10484   NN0cn0 10691   ^cexp 11983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-seq 11925  df-exp 11984
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  13620  rpnnen2lem6  13621  rpnnen2lem7  13622  rpnnen2lem8  13623  rpnnen2lem9  13624  rpnnen2lem10  13625  rpnnen2  13627
  Copyright terms: Public domain W3C validator