MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem2 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem2 13974
Description: Lemma for rpnnen2 13984. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem2  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A ) : NN --> RR )
Distinct variable group:    x, n, A
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem2
StepHypRef Expression
1 1re 9528 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2 3nn 10633 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
3 nndivre 10510 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
41, 2, 3mp2an 670 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
5 nnnn0 10741 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
6 reexpcl 12109 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
)  e.  RR )
74, 5, 6sylancr 661 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  3
) ^ n )  e.  RR )
8 0re 9529 . . . . 5  |-  0  e.  RR
9 ifcl 3916 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ n
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ n ) ,  0 )  e.  RR )
107, 8, 9sylancl 660 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  e.  RR )
1110adantl 464 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  n  e.  NN )  ->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  e.  RR )
12 eqid 2396 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )
1311, 12fmptd 5974 . 2  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) ) : NN --> RR )
14 nnex 10480 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
1514elpw2 4546 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P NN  <->  A  C_  NN )
16 eleq2 2469 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
n  e.  x  <->  n  e.  A ) )
1716ifbid 3896 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  =  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )
1817mpteq2dv 4471 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) )
19 rpnnen2.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2014mptex 6064 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )  e.  _V
2118, 19, 20fvmpt 5874 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P NN  ->  ( F `  A )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2215, 21sylbir 213 . . 3  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) )
2322feq1d 5642 . 2  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( ( F `  A ) : NN --> RR  <->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) : NN --> RR ) )
2413, 23mpbird 232 1  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A ) : NN --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1836    C_ wss 3406   ifcif 3874   ~Pcpw 3944    |-> cmpt 4442   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   RRcr 9424   0cc0 9425   1c1 9426    / cdiv 10145   NNcn 10474   3c3 10525   NN0cn0 10734   ^cexp 12092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-seq 12034  df-exp 12093
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  13977  rpnnen2lem6  13978  rpnnen2lem7  13979  rpnnen2lem8  13980  rpnnen2lem9  13981  rpnnen2lem10  13982  rpnnen2  13984
  Copyright terms: Public domain W3C validator