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Theorem rpnnen2lem11 13822
Description: Lemma for rpnnen2 13823. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
rpnnen2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
rpnnen2.3  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
rpnnen2.4  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
rpnnen2.5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
rpnnen2.6  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem11  |-  ( ph  ->  -.  ps )
Distinct variable groups:    m, n, x, k    A, k, n, x    B, k, n, x   
k, m, F    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, m, n)    ps( x, k, m, n)    A( m)    B( m)    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem11
StepHypRef Expression
1 rpnnen2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
2 rpnnen2.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
3 rpnnen2.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
4 eldifi 3626 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( A  \  B )  ->  m  e.  A )
5 ssel2 3499 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  NN )
64, 5sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  ( A  \  B
) )  ->  m  e.  NN )
72, 3, 6syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  m  e.  NN )
8 rpnnen2.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
98rpnnen2lem6 13817 . . . 4  |-  ( ( B  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
101, 7, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  e.  RR )
11 3nn 10695 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
12 nnrecre 10573 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
1  /  3 )  e.  RR )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
147nnnn0d 10853 . . . . 5  |-  ( ph  ->  m  e.  NN0 )
15 reexpcl 12152 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  RR )
1613, 14, 15sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  RR )
178rpnnen2lem6 13817 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  e.  RR )
182, 7, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  e.  RR )
19 nnrp 11230 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
20 rpreccl 11244 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  RR+  ->  ( 1  /  3 )  e.  RR+ )
2111, 19, 20mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR+
227nnzd 10966 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  m  e.  ZZ )
23 rpexpcl 12154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR+  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  3
) ^ m )  e.  RR+ )
2421, 22, 23sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  RR+ )
2524rpred 11257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  RR )
2625rehalfcld 10786 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  2
)  e.  RR )
273snssd 4172 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { m }  C_  ( A  \  B ) )
282ssdifd 3640 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  \  B
)  C_  ( NN  \  B ) )
2927, 28sstrd 3514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { m }  C_  ( NN  \  B ) )
307snssd 4172 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { m }  C_  NN )
31 ssconb 3637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  NN  /\  {
m }  C_  NN )  ->  ( B  C_  ( NN  \  { m } )  <->  { m }  C_  ( NN  \  B ) ) )
321, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  C_  ( NN  \  { m }
)  <->  { m }  C_  ( NN  \  B ) ) )
3329, 32mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  ( NN  \  { m } ) )
34 difssd 3632 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( NN  \  {
m } )  C_  NN )
358rpnnen2lem7 13818 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  ( NN  \  { m } )  /\  ( NN  \  { m } ) 
C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  ( NN  \  { m } ) ) `  k ) )
3633, 34, 7, 35syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  <_ 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  ( NN  \  { m }
) ) `  k
) )
378rpnnen2lem9 13820 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  ( NN  \  { m } ) ) `  k )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
387, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  ( NN  \  { m }
) ) `  k
)  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3 ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  -  (
1  /  3 ) ) ) ) )
3913recni 9609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
40 expp1 12142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  x.  ( 1  / 
3 ) ) )
4139, 14, 40sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  x.  ( 1  / 
3 ) ) )
4225recnd 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  CC )
43 3cn 10611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
44 3ne0 10631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
45 divrec 10224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  3 )  =  ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  x.  ( 1  /  3
) ) )
4643, 44, 45mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  3 )  =  ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  x.  ( 1  /  3
) ) )
4742, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  3
)  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  x.  ( 1  / 
3 ) ) )
4841, 47eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  3 ) )
4948oveq1d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  3 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
50 ax-1cn 9551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
5143, 44pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
52 divsubdir 10241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
5343, 50, 51, 52mp3an 1324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
54 3m1e2 10653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  -  1 )  =  2
5554oveq1i 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
5643, 44dividi 10278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  /  3 )  =  1
5756oveq1i 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
5853, 55, 573eqtr3ri 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
5958oveq2i 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  3 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )
60 2cnne0 10751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
61 divcan7 10254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
6260, 51, 61mp3an23 1316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  e.  CC  ->  (
( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  3
)  /  ( 2  /  3 ) )  =  ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
2 ) )
6342, 62syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
6459, 63syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
3 )  /  (
1  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
6549, 64eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
6665oveq2d 6301 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( ( 1  / 
3 ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
2 ) ) )
6726recnd 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  2
)  e.  CC )
6867addid2d 9781 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
6938, 66, 683eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  ( NN  \  { m }
) ) `  k
)  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
7036, 69breqtrd 4471 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  <_  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  2
) )
71 rphalflt 11247 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  e.  RR+  ->  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 )  < 
( ( 1  / 
3 ) ^ m
) )
7224, 71syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  2
)  <  ( (
1  /  3 ) ^ m ) )
7310, 26, 25, 70, 72lelttrd 9740 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  <  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
) )
74 eluznn 11153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
k  e.  NN )
757, 74sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  k  e.  NN )
768rpnnen2lem1 13812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { m }  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 { m }
) `  k )  =  if ( k  e. 
{ m } , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
7730, 76sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  { m } ) `  k
)  =  if ( k  e.  { m } ,  ( (
1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
7875, 77syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( ( F `  { m } ) `  k
)  =  if ( k  e.  { m } ,  ( (
1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
7978sumeq2dv 13491 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  {
m } ) `  k )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) if ( k  e.  { m } ,  ( (
1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
80 uzid 11097 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
8122, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m ) )
8281snssd 4172 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { m }  C_  ( ZZ>= `  m )
)
83 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  m  e. 
_V
84 oveq2 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
( 1  /  3
) ^ k )  =  ( ( 1  /  3 ) ^
m ) )
8584eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  e.  CC  <->  ( (
1  /  3 ) ^ m )  e.  CC ) )
8683, 85ralsn 4066 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  { m }  ( ( 1  /  3 ) ^
k )  e.  CC  <->  ( ( 1  /  3
) ^ m )  e.  CC )
8742, 86sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  e.  CC )
88 ssid 3523 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  m )  C_  ( ZZ>=
`  m )
8988a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  m )  C_  ( ZZ>= `  m )
)
9089orcd 392 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ZZ>= `  m
)  C_  ( ZZ>= `  m )  \/  ( ZZ>=
`  m )  e. 
Fin ) )
91 sumss2 13514 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { m }  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  e.  CC )  /\  (
( ZZ>= `  m )  C_  ( ZZ>= `  m )  \/  ( ZZ>= `  m )  e.  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  { m }  ( ( 1  /  3 ) ^
k )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) if ( k  e.  { m } ,  ( (
1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
9282, 87, 90, 91syl21anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) if ( k  e.  {
m } ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
9384sumsn 13529 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  =  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
) )
947, 42, 93syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  =  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
) )
9579, 92, 943eqtr2d 2514 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  {
m } ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ m ) )
963, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  m  e.  A )
9796snssd 4172 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { m }  C_  A )
988rpnnen2lem7 13818 . . . . . 6  |-  ( ( { m }  C_  A  /\  A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  {
m } ) `  k )  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )
9997, 2, 7, 98syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  {
m } ) `  k )  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )
10095, 99eqbrtrrd 4469 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )
10110, 16, 18, 73, 100ltletrd 9742 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  <  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
)
10210, 101gtned 9720 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =/=  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
103 rpnnen2.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
104 rpnnen2.6 . . . . 5  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
1058, 2, 1, 3, 103, 104rpnnen2lem10 13821 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
106105ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ps  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
107106necon3ad 2677 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =/=  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  ->  -.  ps ) )
108102, 107mpd 15 1  |-  ( ph  ->  -.  ps )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Fincfn 7517   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    < clt 9629    <_ cle 9630    - cmin 9806    / cdiv 10207   NNcn 10537   2c2 10586   3c3 10587   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083   RR+crp 11221   ^cexp 12135   sum_csu 13474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-ico 11536  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-limsup 13260  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475
This theorem is referenced by:  rpnnen2  13823
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