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Theorem rpnnen2lem11 14045
Description: Lemma for rpnnen2 14046. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
rpnnen2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
rpnnen2.3  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
rpnnen2.4  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
rpnnen2.5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
rpnnen2.6  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem11  |-  ( ph  ->  -.  ps )
Distinct variable groups:    m, n, x, k    A, k, n, x    B, k, n, x   
k, m, F    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, m, n)    ps( x, k, m, n)    A( m)    B( m)    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem11
StepHypRef Expression
1 rpnnen2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
2 rpnnen2.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
3 rpnnen2.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
4 eldifi 3612 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( A  \  B )  ->  m  e.  A )
5 ssel2 3484 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  NN )
64, 5sylan2 472 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  ( A  \  B
) )  ->  m  e.  NN )
72, 3, 6syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  m  e.  NN )
8 rpnnen2.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
98rpnnen2lem6 14040 . . . 4  |-  ( ( B  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
101, 7, 9syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  e.  RR )
11 3nn 10690 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
12 nnrecre 10568 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
1  /  3 )  e.  RR )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
147nnnn0d 10848 . . . . 5  |-  ( ph  ->  m  e.  NN0 )
15 reexpcl 12168 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  RR )
1613, 14, 15sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  RR )
178rpnnen2lem6 14040 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  e.  RR )
182, 7, 17syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  e.  RR )
19 nnrp 11230 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
20 rpreccl 11245 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  RR+  ->  ( 1  /  3 )  e.  RR+ )
2111, 19, 20mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR+
227nnzd 10964 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  m  e.  ZZ )
23 rpexpcl 12170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR+  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  3
) ^ m )  e.  RR+ )
2421, 22, 23sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  RR+ )
2524rpred 11259 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  RR )
2625rehalfcld 10781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  2
)  e.  RR )
273snssd 4161 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { m }  C_  ( A  \  B ) )
282ssdifd 3626 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  \  B
)  C_  ( NN  \  B ) )
2927, 28sstrd 3499 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { m }  C_  ( NN  \  B ) )
307snssd 4161 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { m }  C_  NN )
31 ssconb 3623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  NN  /\  {
m }  C_  NN )  ->  ( B  C_  ( NN  \  { m } )  <->  { m }  C_  ( NN  \  B ) ) )
321, 30, 31syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  C_  ( NN  \  { m }
)  <->  { m }  C_  ( NN  \  B ) ) )
3329, 32mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  ( NN  \  { m } ) )
34 difssd 3618 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( NN  \  {
m } )  C_  NN )
358rpnnen2lem7 14041 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  ( NN  \  { m } )  /\  ( NN  \  { m } ) 
C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  ( NN  \  { m } ) ) `  k ) )
3633, 34, 7, 35syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  <_ 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  ( NN  \  { m }
) ) `  k
) )
378rpnnen2lem9 14043 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  ( NN  \  { m } ) ) `  k )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
387, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  ( NN  \  { m }
) ) `  k
)  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3 ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  -  (
1  /  3 ) ) ) ) )
3913recni 9597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
40 expp1 12158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  x.  ( 1  / 
3 ) ) )
4139, 14, 40sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  x.  ( 1  / 
3 ) ) )
4225recnd 9611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  CC )
43 3cn 10606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
44 3ne0 10626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
45 divrec 10219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  3 )  =  ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  x.  ( 1  /  3
) ) )
4643, 44, 45mp3an23 1314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  3 )  =  ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  x.  ( 1  /  3
) ) )
4742, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  3
)  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  x.  ( 1  / 
3 ) ) )
4841, 47eqtr4d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  3 ) )
4948oveq1d 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  3 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
50 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
5143, 44pm3.2i 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
52 divsubdir 10236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
5343, 50, 51, 52mp3an 1322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
54 3m1e2 10648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  -  1 )  =  2
5554oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
5643, 44dividi 10273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  /  3 )  =  1
5756oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
5853, 55, 573eqtr3ri 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
5958oveq2i 6281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  3 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )
60 2cnne0 10746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
61 divcan7 10249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
6260, 51, 61mp3an23 1314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  e.  CC  ->  (
( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  3
)  /  ( 2  /  3 ) )  =  ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
2 ) )
6342, 62syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
6459, 63syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
3 )  /  (
1  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
6549, 64eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
6665oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( ( 1  / 
3 ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
2 ) ) )
6726recnd 9611 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  2
)  e.  CC )
6867addid2d 9770 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
6938, 66, 683eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  ( NN  \  { m }
) ) `  k
)  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
7036, 69breqtrd 4463 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  <_  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  2
) )
71 rphalflt 11248 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  e.  RR+  ->  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 )  < 
( ( 1  / 
3 ) ^ m
) )
7224, 71syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  2
)  <  ( (
1  /  3 ) ^ m ) )
7310, 26, 25, 70, 72lelttrd 9729 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  <  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
) )
74 eluznn 11153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
k  e.  NN )
757, 74sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  k  e.  NN )
768rpnnen2lem1 14035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { m }  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 { m }
) `  k )  =  if ( k  e. 
{ m } , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
7730, 76sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  { m } ) `  k
)  =  if ( k  e.  { m } ,  ( (
1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
7875, 77syldan 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( ( F `  { m } ) `  k
)  =  if ( k  e.  { m } ,  ( (
1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
7978sumeq2dv 13610 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  {
m } ) `  k )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) if ( k  e.  { m } ,  ( (
1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
80 uzid 11096 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
8122, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m ) )
8281snssd 4161 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { m }  C_  ( ZZ>= `  m )
)
83 vex 3109 . . . . . . . . 9  |-  m  e. 
_V
84 oveq2 6278 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
( 1  /  3
) ^ k )  =  ( ( 1  /  3 ) ^
m ) )
8584eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  e.  CC  <->  ( (
1  /  3 ) ^ m )  e.  CC ) )
8683, 85ralsn 4055 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  { m }  ( ( 1  /  3 ) ^
k )  e.  CC  <->  ( ( 1  /  3
) ^ m )  e.  CC )
8742, 86sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  e.  CC )
88 ssid 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  m )  C_  ( ZZ>=
`  m )
8988a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  m )  C_  ( ZZ>= `  m )
)
9089orcd 390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ZZ>= `  m
)  C_  ( ZZ>= `  m )  \/  ( ZZ>=
`  m )  e. 
Fin ) )
91 sumss2 13633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { m }  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  e.  CC )  /\  (
( ZZ>= `  m )  C_  ( ZZ>= `  m )  \/  ( ZZ>= `  m )  e.  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  { m }  ( ( 1  /  3 ) ^
k )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) if ( k  e.  { m } ,  ( (
1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
9282, 87, 90, 91syl21anc 1225 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) if ( k  e.  {
m } ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
9384sumsn 13648 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  =  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
) )
947, 42, 93syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  =  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
) )
9579, 92, 943eqtr2d 2501 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  {
m } ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ m ) )
963, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  m  e.  A )
9796snssd 4161 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { m }  C_  A )
988rpnnen2lem7 14041 . . . . . 6  |-  ( ( { m }  C_  A  /\  A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  {
m } ) `  k )  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )
9997, 2, 7, 98syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  {
m } ) `  k )  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )
10095, 99eqbrtrrd 4461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )
10110, 16, 18, 73, 100ltletrd 9731 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  <  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
)
10210, 101gtned 9709 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =/=  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
103 rpnnen2.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
104 rpnnen2.6 . . . . 5  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
1058, 2, 1, 3, 103, 104rpnnen2lem10 14044 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
106105ex 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ps  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
107106necon3ad 2664 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =/=  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  ->  -.  ps ) )
108102, 107mpd 15 1  |-  ( ph  ->  -.  ps )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ifcif 3929   ~Pcpw 3999   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   3c3 10582   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11221   ^cexp 12151   sum_csu 13593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ico 11538  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594
This theorem is referenced by:  rpnnen2  14046
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