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Theorem rpnnen2lem10 13502
Description: Lemma for rpnnen2 13504. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
rpnnen2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
rpnnen2.3  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
rpnnen2.4  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
rpnnen2.5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
rpnnen2.6  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem10  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
Distinct variable groups:    m, n, x, k    A, k, n, x    B, k, n, x   
k, m, F    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, m, n)    ps( x, k, m, n)    A( m)    B( m)    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem10
StepHypRef Expression
1 simpr 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ps )
2 rpnnen2.6 . . . 4  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
31, 2sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 B ) `  k ) )
4 rpnnen2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
5 rpnnen2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
6 eldifi 3475 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( A  \  B )  ->  m  e.  A )
7 ssel2 3348 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  NN )
86, 7sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  ( A  \  B
) )  ->  m  e.  NN )
94, 5, 8syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  m  e.  NN )
10 rpnnen2.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
1110rpnnen2lem8 13500 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 A ) `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) ) )
124, 9, 11syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  A
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
13 1z 10672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
14 nnz 10664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
15 elfzm11 11524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  1  <_  k  /\  k  <  m ) ) )
1613, 14, 15sylancr 658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  1  <_ 
k  /\  k  <  m ) ) )
1716biimpa 481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  1  <_ 
k  /\  k  <  m ) )
189, 17sylan 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  ZZ  /\  1  <_  k  /\  k  <  m ) )
1918simp3d 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  k  <  m )
20 rpnnen2.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
21 elfznn 11474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
22 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
n  <  m  <->  k  <  m ) )
23 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  e.  A  <->  k  e.  A ) )
24 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  e.  B  <->  k  e.  B ) )
2523, 24bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  e.  A  <->  n  e.  B )  <->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B
) ) )
2622, 25imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  <  m  ->  ( n  e.  A  <->  n  e.  B ) )  <-> 
( k  <  m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B ) ) ) )
2726rspccva 3069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  < 
m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B
) ) )
2820, 21, 27syl2an 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  <  m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B ) ) )
2919, 28mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  A  <->  k  e.  B ) )
3029ifbid 3808 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 )  =  if ( k  e.  B , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
3110rpnnen2lem1 13493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
324, 21, 31syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
33 rpnnen2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
3410rpnnen2lem1 13493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
3533, 21, 34syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
3630, 32, 353eqtr4d 2483 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  ( ( F `
 B ) `  k ) )
3736sumeq2dv 13176 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k ) )
3837oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) ) )
3912, 38eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
4039adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
4110rpnnen2lem8 13500 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 B ) `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
4233, 9, 41syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
4342adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
443, 40, 433eqtr3d 2481 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
4510rpnnen2lem6 13498 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  e.  RR )
464, 9, 45syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  e.  RR )
4710rpnnen2lem6 13498 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
4833, 9, 47syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  e.  RR )
49 fzfid 11791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
m  -  1 ) )  e.  Fin )
5010rpnnen2lem2 13494 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  NN  ->  ( F `
 B ) : NN --> RR )
5133, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  B
) : NN --> RR )
52 ffvelrn 5838 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  B
) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
5351, 21, 52syl2an 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  B
) `  k )  e.  RR )
5449, 53fsumrecl 13207 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
55 readdcan 9539 . . . 4  |-  ( (
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  e.  RR )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
5646, 48, 54, 55syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  B ) `
 k ) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
5756adantr 462 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  B ) `
 k ) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
5844, 57mpbid 210 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713    \ cdif 3322    C_ wss 3325   ifcif 3788   ~Pcpw 3857   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   3c3 10368   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   ^cexp 11861   sum_csu 13159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-ico 11302  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  13503
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