Theorem rpnnen2lem10 12778

Description: Lemma for rpnnen2 12780. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen2.1	|- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
rpnnen2.2	|- ( ph -> A C_ NN )
rpnnen2.3	|- ( ph -> B C_ NN )
rpnnen2.4	|- ( ph -> m e. ( A \ B ) )
rpnnen2.5	|- ( ph -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) )
rpnnen2.6	|- ( ps <-> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem10	|- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) )

Distinct variable groups:   m, n, x, k   A, k, n, x   B, k, n, x   k, m, F   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( x, m, n)   ps( x, k, m, n)   A( m)   B( m)   F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 448	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
2		rpnnen2.6	. . . 4 |- ( ps <-> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) )
3	1, 2	sylib 189	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) )
4		rpnnen2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ NN )
5		rpnnen2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> m e. ( A \ B ) )
6		eldifi 3429	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( A \ B ) -> m e. A )
7		ssel2 3303	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ NN /\ m e. A ) -> m e. NN )
8	6, 7	sylan2 461	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ NN /\ m e. ( A \ B ) ) -> m e. NN )
9	4, 5, 8	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ph -> m e. NN )
10		rpnnen2.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
11	10	rpnnen2lem8 12776	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
12	4, 9, 11	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
13		1z 10267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
14		nnz 10259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
15		elfzm11 11071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) ) )
16	13, 14, 15	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) ) )
17	16	biimpa 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) )
18	9, 17	sylan 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) )
19	18	simp3d 971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> k < m )
20		rpnnen2.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) )
21		elfznn 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) -> k e. NN )
22		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( n < m <-> k < m ) )
23		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( n e. A <-> k e. A ) )
24		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( n e. B <-> k e. B ) )
25	23, 24	bibi12d 313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( n e. A <-> n e. B ) <-> ( k e. A <-> k e. B ) ) )
26	22, 25	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) <-> ( k < m -> ( k e. A <-> k e. B ) ) ) )
27	26	rspccva 3011	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) /\ k e. NN ) -> ( k < m -> ( k e. A <-> k e. B ) ) )
28	20, 21, 27	syl2an 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k < m -> ( k e. A <-> k e. B ) ) )
29	19, 28	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k e. A <-> k e. B ) )
30	29	ifbid 3717	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) = if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
31	10	rpnnen2lem1 12769	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
32	4, 21, 31	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
33		rpnnen2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B C_ NN )
34	10	rpnnen2lem1 12769	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` B ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
35	33, 21, 34	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` B ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
36	30, 32, 35	3eqtr4d 2446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = ( ( F ` B ) ` k ) )
37	36	sumeq2dv 12452	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) )
38	37	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
39	12, 38	eqtrd 2436	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
40	39	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
41	10	rpnnen2lem8 12776	. . . . 5 |- ( ( B C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
42	33, 9, 41	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
43	42	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
44	3, 40, 43	3eqtr3d 2444	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
45	10	rpnnen2lem6 12774	. . . . 5 |- ( ( A C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) e. RR )
46	4, 9, 45	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) e. RR )
47	10	rpnnen2lem6 12774	. . . . 5 |- ( ( B C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
48	33, 9, 47	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
49		fzfid 11267	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( m - 1 ) ) e. Fin )
50	10	rpnnen2lem2 12770	. . . . . . 7 |- ( B C_ NN -> ( F ` B ) : NN --> RR )
51	33, 50	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` B ) : NN --> RR )
52		ffvelrn 5827	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` B ) : NN --> RR /\ k e. NN ) -> ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
53	51, 21, 52	syl2an 464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
54	49, 53	fsumrecl 12483	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
55		readdcan 9196	. . . 4 |- ( ( sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) e. RR /\ sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR /\ sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
56	46, 48, 54, 55	syl3anc 1184	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
57	56	adantr 452	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
58	44, 57	mpbid 202	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   \ cdif 3277   C_ wss 3280   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   3c3 10006   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   ^cexp 11337   sum_csu 12434

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  12779

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435