Theorem rpnnen2lem10 13506

Description: Lemma for rpnnen2 13508. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen2.1	|- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
rpnnen2.2	|- ( ph -> A C_ NN )
rpnnen2.3	|- ( ph -> B C_ NN )
rpnnen2.4	|- ( ph -> m e. ( A \ B ) )
rpnnen2.5	|- ( ph -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) )
rpnnen2.6	|- ( ps <-> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem10	|- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) )

Distinct variable groups:   m, n, x, k   A, k, n, x   B, k, n, x   k, m, F   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( x, m, n)   ps( x, k, m, n)   A( m)   B( m)   F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
2		rpnnen2.6	. . . 4 |- ( ps <-> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) )
3	1, 2	sylib 196	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) )
4		rpnnen2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ NN )
5		rpnnen2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> m e. ( A \ B ) )
6		eldifi 3478	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( A \ B ) -> m e. A )
7		ssel2 3351	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ NN /\ m e. A ) -> m e. NN )
8	6, 7	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ NN /\ m e. ( A \ B ) ) -> m e. NN )
9	4, 5, 8	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> m e. NN )
10		rpnnen2.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
11	10	rpnnen2lem8 13504	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
12	4, 9, 11	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
13		1z 10676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
14		nnz 10668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
15		elfzm11 11528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) ) )
16	13, 14, 15	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) ) )
17	16	biimpa 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) )
18	9, 17	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) )
19	18	simp3d 1002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> k < m )
20		rpnnen2.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) )
21		elfznn 11478	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) -> k e. NN )
22		breq1 4295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( n < m <-> k < m ) )
23		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( n e. A <-> k e. A ) )
24		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( n e. B <-> k e. B ) )
25	23, 24	bibi12d 321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( n e. A <-> n e. B ) <-> ( k e. A <-> k e. B ) ) )
26	22, 25	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) <-> ( k < m -> ( k e. A <-> k e. B ) ) ) )
27	26	rspccva 3072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) /\ k e. NN ) -> ( k < m -> ( k e. A <-> k e. B ) ) )
28	20, 21, 27	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k < m -> ( k e. A <-> k e. B ) ) )
29	19, 28	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k e. A <-> k e. B ) )
30	29	ifbid 3811	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) = if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
31	10	rpnnen2lem1 13497	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
32	4, 21, 31	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
33		rpnnen2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B C_ NN )
34	10	rpnnen2lem1 13497	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` B ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
35	33, 21, 34	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` B ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
36	30, 32, 35	3eqtr4d 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = ( ( F ` B ) ` k ) )
37	36	sumeq2dv 13180	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) )
38	37	oveq1d 6106	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
39	12, 38	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
40	39	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
41	10	rpnnen2lem8 13504	. . . . 5 |- ( ( B C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
42	33, 9, 41	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
43	42	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
44	3, 40, 43	3eqtr3d 2483	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
45	10	rpnnen2lem6 13502	. . . . 5 |- ( ( A C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) e. RR )
46	4, 9, 45	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) e. RR )
47	10	rpnnen2lem6 13502	. . . . 5 |- ( ( B C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
48	33, 9, 47	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
49		fzfid 11795	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( m - 1 ) ) e. Fin )
50	10	rpnnen2lem2 13498	. . . . . . 7 |- ( B C_ NN -> ( F ` B ) : NN --> RR )
51	33, 50	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` B ) : NN --> RR )
52		ffvelrn 5841	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` B ) : NN --> RR /\ k e. NN ) -> ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
53	51, 21, 52	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
54	49, 53	fsumrecl 13211	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
55		readdcan 9543	. . . 4 |- ( ( sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) e. RR /\ sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR /\ sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
56	46, 48, 54, 55	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
57	56	adantr 465	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
58	44, 57	mpbid 210	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   \ cdif 3325   C_ wss 3328   ifcif 3791   ~Pcpw 3860   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   < clt 9418   <_ cle 9419   - cmin 9595   / cdiv 9993   NNcn 10322   3c3 10372   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437   ^cexp 11865   sum_csu 13163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-ico 11306  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  13507