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Theorem rpnnen2lem10 13969
Description: Lemma for rpnnen2 13971. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
rpnnen2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
rpnnen2.3  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
rpnnen2.4  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
rpnnen2.5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
rpnnen2.6  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem10  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
Distinct variable groups:    m, n, x, k    A, k, n, x    B, k, n, x   
k, m, F    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, m, n)    ps( x, k, m, n)    A( m)    B( m)    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem10
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ps )
2 rpnnen2.6 . . . 4  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
31, 2sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 B ) `  k ) )
4 rpnnen2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
5 rpnnen2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
6 eldifi 3622 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( A  \  B )  ->  m  e.  A )
7 ssel2 3494 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  NN )
86, 7sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  ( A  \  B
) )  ->  m  e.  NN )
94, 5, 8syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  m  e.  NN )
10 rpnnen2.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
1110rpnnen2lem8 13967 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 A ) `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) ) )
124, 9, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  A
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
13 1z 10915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
14 nnz 10907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
15 elfzm11 11775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  1  <_  k  /\  k  <  m ) ) )
1613, 14, 15sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  1  <_ 
k  /\  k  <  m ) ) )
1716biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  1  <_ 
k  /\  k  <  m ) )
189, 17sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  ZZ  /\  1  <_  k  /\  k  <  m ) )
1918simp3d 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  k  <  m )
20 rpnnen2.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
21 elfznn 11739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
22 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
n  <  m  <->  k  <  m ) )
23 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  e.  A  <->  k  e.  A ) )
24 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  e.  B  <->  k  e.  B ) )
2523, 24bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  e.  A  <->  n  e.  B )  <->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B
) ) )
2622, 25imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  <  m  ->  ( n  e.  A  <->  n  e.  B ) )  <-> 
( k  <  m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B ) ) ) )
2726rspccva 3209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  < 
m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B
) ) )
2820, 21, 27syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  <  m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B ) ) )
2919, 28mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  A  <->  k  e.  B ) )
3029ifbid 3966 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 )  =  if ( k  e.  B , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
3110rpnnen2lem1 13960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
324, 21, 31syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
33 rpnnen2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
3410rpnnen2lem1 13960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
3533, 21, 34syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
3630, 32, 353eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  ( ( F `
 B ) `  k ) )
3736sumeq2dv 13537 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k ) )
3837oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) ) )
3912, 38eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
4039adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
4110rpnnen2lem8 13967 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 B ) `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
4233, 9, 41syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
4342adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
443, 40, 433eqtr3d 2506 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
4510rpnnen2lem6 13965 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  e.  RR )
464, 9, 45syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  e.  RR )
4710rpnnen2lem6 13965 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
4833, 9, 47syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  e.  RR )
49 fzfid 12086 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
m  -  1 ) )  e.  Fin )
5010rpnnen2lem2 13961 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  NN  ->  ( F `
 B ) : NN --> RR )
5133, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  B
) : NN --> RR )
52 ffvelrn 6030 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  B
) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
5351, 21, 52syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  B
) `  k )  e.  RR )
5449, 53fsumrecl 13568 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
55 readdcan 9771 . . . 4  |-  ( (
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  e.  RR )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
5646, 48, 54, 55syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  B ) `
 k ) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
5756adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  B ) `
 k ) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
5844, 57mpbid 210 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   3c3 10607   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   ^cexp 12169   sum_csu 13520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ico 11560  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  13970
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