Theorem rpnnen2lem10 13830

Description: Lemma for rpnnen2 13832. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen2.1	|- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
rpnnen2.2	|- ( ph -> A C_ NN )
rpnnen2.3	|- ( ph -> B C_ NN )
rpnnen2.4	|- ( ph -> m e. ( A \ B ) )
rpnnen2.5	|- ( ph -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) )
rpnnen2.6	|- ( ps <-> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem10	|- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) )

Distinct variable groups:   m, n, x, k   A, k, n, x   B, k, n, x   k, m, F   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( x, m, n)   ps( x, k, m, n)   A( m)   B( m)   F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
2		rpnnen2.6	. . . 4 |- ( ps <-> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) )
3	1, 2	sylib 196	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) )
4		rpnnen2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ NN )
5		rpnnen2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> m e. ( A \ B ) )
6		eldifi 3631	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( A \ B ) -> m e. A )
7		ssel2 3504	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ NN /\ m e. A ) -> m e. NN )
8	6, 7	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ NN /\ m e. ( A \ B ) ) -> m e. NN )
9	4, 5, 8	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> m e. NN )
10		rpnnen2.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
11	10	rpnnen2lem8 13828	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
12	4, 9, 11	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
13		1z 10904	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
14		nnz 10896	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
15		elfzm11 11759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) ) )
16	13, 14, 15	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) ) )
17	16	biimpa 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) )
18	9, 17	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) )
19	18	simp3d 1010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> k < m )
20		rpnnen2.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) )
21		elfznn 11724	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) -> k e. NN )
22		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( n < m <-> k < m ) )
23		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( n e. A <-> k e. A ) )
24		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( n e. B <-> k e. B ) )
25	23, 24	bibi12d 321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( n e. A <-> n e. B ) <-> ( k e. A <-> k e. B ) ) )
26	22, 25	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) <-> ( k < m -> ( k e. A <-> k e. B ) ) ) )
27	26	rspccva 3218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) /\ k e. NN ) -> ( k < m -> ( k e. A <-> k e. B ) ) )
28	20, 21, 27	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k < m -> ( k e. A <-> k e. B ) ) )
29	19, 28	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k e. A <-> k e. B ) )
30	29	ifbid 3966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) = if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
31	10	rpnnen2lem1 13821	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
32	4, 21, 31	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
33		rpnnen2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B C_ NN )
34	10	rpnnen2lem1 13821	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` B ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
35	33, 21, 34	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` B ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
36	30, 32, 35	3eqtr4d 2518	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = ( ( F ` B ) ` k ) )
37	36	sumeq2dv 13500	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) )
38	37	oveq1d 6309	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
39	12, 38	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
40	39	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
41	10	rpnnen2lem8 13828	. . . . 5 |- ( ( B C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
42	33, 9, 41	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
43	42	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
44	3, 40, 43	3eqtr3d 2516	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
45	10	rpnnen2lem6 13826	. . . . 5 |- ( ( A C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) e. RR )
46	4, 9, 45	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) e. RR )
47	10	rpnnen2lem6 13826	. . . . 5 |- ( ( B C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
48	33, 9, 47	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
49		fzfid 12061	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( m - 1 ) ) e. Fin )
50	10	rpnnen2lem2 13822	. . . . . . 7 |- ( B C_ NN -> ( F ` B ) : NN --> RR )
51	33, 50	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` B ) : NN --> RR )
52		ffvelrn 6029	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` B ) : NN --> RR /\ k e. NN ) -> ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
53	51, 21, 52	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
54	49, 53	fsumrecl 13531	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
55		readdcan 9763	. . . 4 |- ( ( sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) e. RR /\ sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR /\ sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
56	46, 48, 54, 55	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
57	56	adantr 465	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
58	44, 57	mpbid 210	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   \ cdif 3478   C_ wss 3481   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4452   |-> cmpt 4510   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   RRcr 9501   0cc0 9502   1c1 9503   + caddc 9505   < clt 9638   <_ cle 9639   - cmin 9815   / cdiv 10216   NNcn 10546   3c3 10596   ZZcz 10874   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11682   ^cexp 12144   sum_csu 13483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-pm 7433  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-rp 11231  df-ico 11545  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-seq 12086  df-exp 12145  df-hash 12384  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-limsup 13269  df-clim 13286  df-rlim 13287  df-sum 13484

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  13831