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Theorem rpnnen2lem10 14269
Description: Lemma for rpnnen2 14271. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
rpnnen2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
rpnnen2.3  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
rpnnen2.4  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
rpnnen2.5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
rpnnen2.6  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem10  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
Distinct variable groups:    m, n, x, k    A, k, n, x    B, k, n, x   
k, m, F    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, m, n)    ps( x, k, m, n)    A( m)    B( m)    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem10
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ps )
2 rpnnen2.6 . . . 4  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
31, 2sylib 200 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 B ) `  k ) )
4 rpnnen2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
5 rpnnen2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
6 eldifi 3554 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( A  \  B )  ->  m  e.  A )
7 ssel2 3426 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  NN )
86, 7sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  ( A  \  B
) )  ->  m  e.  NN )
94, 5, 8syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  m  e.  NN )
10 rpnnen2.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
1110rpnnen2lem8 14267 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 A ) `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) ) )
124, 9, 11syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  A
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
13 1z 10964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
14 nnz 10956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
15 elfzm11 11862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  1  <_  k  /\  k  <  m ) ) )
1613, 14, 15sylancr 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  1  <_ 
k  /\  k  <  m ) ) )
1716biimpa 487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  1  <_ 
k  /\  k  <  m ) )
189, 17sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  ZZ  /\  1  <_  k  /\  k  <  m ) )
1918simp3d 1021 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  k  <  m )
20 rpnnen2.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
21 elfznn 11825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
22 breq1 4404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
n  <  m  <->  k  <  m ) )
23 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  e.  A  <->  k  e.  A ) )
24 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  e.  B  <->  k  e.  B ) )
2523, 24bibi12d 323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  e.  A  <->  n  e.  B )  <->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B
) ) )
2622, 25imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  <  m  ->  ( n  e.  A  <->  n  e.  B ) )  <-> 
( k  <  m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B ) ) ) )
2726rspccva 3148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  < 
m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B
) ) )
2820, 21, 27syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  <  m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B ) ) )
2919, 28mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  A  <->  k  e.  B ) )
3029ifbid 3902 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 )  =  if ( k  e.  B , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
3110rpnnen2lem1 14260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
324, 21, 31syl2an 480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
33 rpnnen2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
3410rpnnen2lem1 14260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
3533, 21, 34syl2an 480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
3630, 32, 353eqtr4d 2494 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  ( ( F `
 B ) `  k ) )
3736sumeq2dv 13762 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k ) )
3837oveq1d 6303 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) ) )
3912, 38eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
4039adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
4110rpnnen2lem8 14267 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 B ) `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
4233, 9, 41syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
4342adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
443, 40, 433eqtr3d 2492 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
4510rpnnen2lem6 14265 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  e.  RR )
464, 9, 45syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  e.  RR )
4710rpnnen2lem6 14265 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
4833, 9, 47syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  e.  RR )
49 fzfid 12183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
m  -  1 ) )  e.  Fin )
5010rpnnen2lem2 14261 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  NN  ->  ( F `
 B ) : NN --> RR )
5133, 50syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  B
) : NN --> RR )
52 ffvelrn 6018 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  B
) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
5351, 21, 52syl2an 480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  B
) `  k )  e.  RR )
5449, 53fsumrecl 13793 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
55 readdcan 9804 . . . 4  |-  ( (
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  e.  RR )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
5646, 48, 54, 55syl3anc 1267 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  B ) `
 k ) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
5756adantr 467 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  B ) `
 k ) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
5844, 57mpbid 214 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736    \ cdif 3400    C_ wss 3403   ifcif 3880   ~Pcpw 3950   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857    / cdiv 10266   NNcn 10606   3c3 10657   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   ...cfz 11781   ^cexp 12269   sum_csu 13745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-ico 11638  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  14270
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