MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem1 14035
Description: Lemma for rpnnen2 14046. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  N )  =  if ( N  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, N
Allowed substitution hints:    F( x, n)    N( x)

Proof of Theorem rpnnen2lem1
StepHypRef Expression
1 nnex 10537 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
21elpw2 4601 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P NN  <->  A  C_  NN )
3 eleq2 2527 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
n  e.  x  <->  n  e.  A ) )
43ifbid 3951 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  =  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )
54mpteq2dv 4526 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) )
6 rpnnen2.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
71mptex 6118 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )  e.  _V
85, 6, 7fvmpt 5931 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P NN  ->  ( F `  A )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
92, 8sylbir 213 . . 3  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) )
109fveq1d 5850 . 2  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( ( F `  A ) `
 N )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) `
 N ) )
11 eleq1 2526 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
n  e.  A  <->  N  e.  A ) )
12 oveq2 6278 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( 1  /  3
) ^ n )  =  ( ( 1  /  3 ) ^ N ) )
1311, 12ifbieq1d 3952 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  =  if ( N  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ N
) ,  0 ) )
14 eqid 2454 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )
15 ovex 6298 . . . 4  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ N )  e. 
_V
16 c0ex 9579 . . . 4  |-  0  e.  _V
1715, 16ifex 3997 . . 3  |-  if ( N  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ N
) ,  0 )  e.  _V
1813, 14, 17fvmpt 5931 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) `  N
)  =  if ( N  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ N
) ,  0 ) )
1910, 18sylan9eq 2515 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  N )  =  if ( N  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   ifcif 3929   ~Pcpw 3999    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482    / cdiv 10202   NNcn 10531   3c3 10582   ^cexp 12151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-nn 10532
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem3  14037  rpnnen2lem4  14038  rpnnen2lem9  14043  rpnnen2lem10  14044  rpnnen2lem11  14045
  Copyright terms: Public domain W3C validator