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Theorem rpnnen2 14043
Description: The other half of rpnnen 14044, where we show an injection from sets of positive integers to real numbers. The obvious choice for this is binary expansion, but it has the unfortunate property that it does not produce an injection on numbers which end with all 0's or all 1's (the more well-known decimal version of this is 0.999... 13772). Instead, we opt for a ternary expansion, which produces (a scaled version of) the Cantor set. Since the Cantor set is riddled with gaps, we can show that any two sequences that are not equal must differ somewhere, and when they do, they are placed a finite distance apart, thus ensuring that the map is injective.

Our map assigns to each subset  A of the positive integers the number  sum_ k  e.  A ( 3 ^
-u k )  = 
sum_ k  e.  NN ( ( F `  A ) `  k
), where  ( ( F `  A ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( 3 ^
-u k ) ,  0 ) ) (rpnnen2lem1 14032). This is an infinite sum of real numbers (rpnnen2lem2 14033), and since  A 
C_  B implies  ( F `  A )  <_  ( F `  B ) (rpnnen2lem4 14035) and  ( F `  NN ) converges to  1  /  2 (rpnnen2lem3 14034) by geoisum1 13770, the sum is convergent to some real (rpnnen2lem5 14036 and rpnnen2lem6 14037) by the comparison test for convergence cvgcmp 13712. The comparison test also tells us that  A  C_  B implies  sum_ ( F `  A )  <_ 
sum_ ( F `  B ) (rpnnen2lem7 14038).

Putting it all together, if we have two sets  x  =/=  y, there must differ somewhere, and so there must be an  m such that  A. n  < 
m ( n  e.  x  <->  n  e.  y
) but  m  e.  ( x  \  y ) or vice versa. In this case, we split off the first  m  -  1 terms (rpnnen2lem8 14039) and cancel them (rpnnen2lem10 14041), since these are the same for both sets. For the remaining terms, we use the subset property to establish that  sum_ ( F `
 y )  <_  sum_ ( F `  ( NN  \  { m }
) ) and  sum_ ( F `
 { m }
)  <_  sum_ ( F `
 x ) (where these sums are only over  ( ZZ>= `  m
)), and since  sum_ ( F `
 ( NN  \  { m } ) )  =  ( 3 ^ -u m )  /  2 (rpnnen2lem9 14040) and  sum_ ( F `  { m } )  =  ( 3 ^
-u m ), we establish that  sum_ ( F `
 y )  <  sum_ ( F `  x
) (rpnnen2lem11 14042) so that they must be different. By contraposition, we find that this map is an injection. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2  |-  ~P NN  ~<_  ( 0 [,] 1
)
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2
Dummy variables  m  y  z  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6298 . 2  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
2 elpwi 4008 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  y 
C_  NN )
3 nnuz 11117 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
43sumeq1i 13602 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( ( F `  y ) `
 k )
5 1nn 10542 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
76rpnnen2lem6 14037 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  NN  /\  1  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  1 )
( ( F `  y ) `  k
)  e.  RR )
85, 7mpan2 669 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  1 )
( ( F `  y ) `  k
)  e.  RR )
94, 8syl5eqel 2546 . . . . 5  |-  ( y 
C_  NN  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  e.  RR )
102, 9syl 16 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  e.  RR )
11 1zzd 10891 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  1  e.  ZZ )
12 eqidd 2455 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 y ) `  k )  =  ( ( F `  y
) `  k )
)
136rpnnen2lem2 14033 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  NN  ->  ( F `
 y ) : NN --> RR )
142, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  ( F `  y ) : NN --> RR )
1514ffvelrnda 6007 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 y ) `  k )  e.  RR )
166rpnnen2lem5 14036 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  NN  /\  1  e.  NN )  ->  seq 1 (  +  , 
( F `  y
) )  e.  dom  ~~>  )
172, 5, 16sylancl 660 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  seq 1 (  +  , 
( F `  y
) )  e.  dom  ~~>  )
18 ssid 3508 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  NN
196rpnnen2lem4 14035 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  NN  /\  NN  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  y ) `  k )  /\  (
( F `  y
) `  k )  <_  ( ( F `  NN ) `  k ) ) )
2018, 19mp3an2 1310 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  y ) `  k )  /\  (
( F `  y
) `  k )  <_  ( ( F `  NN ) `  k ) ) )
2120simpld 457 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  y ) `  k
) )
222, 21sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  (
( F `  y
) `  k )
)
233, 11, 12, 15, 17, 22isumge0 13663 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  0  <_  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  y ) `  k
) )
24 halfre 10750 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
26 1re 9584 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  1  e.  RR )
286rpnnen2lem7 14038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  NN  /\  NN  C_  NN  /\  1  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  1 )
( ( F `  y ) `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  1 )
( ( F `  NN ) `  k ) )
2918, 5, 28mp3an23 1314 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  1 )
( ( F `  y ) `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  1 )
( ( F `  NN ) `  k ) )
302, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( ( F `  y ) `
 k )  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( ( F `  NN ) `
 k ) )
31 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  1 )
32 eqidd 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( F `  NN ) `  k )  =  ( ( F `
 NN ) `  k ) )
33 elnnuz 11118 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
346rpnnen2lem2 14033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN  C_  NN  ->  ( F `  NN ) : NN --> RR )
3518, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 NN ) : NN --> RR
3635ffvelrni 6006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  NN ) `  k )  e.  RR )
3736recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  NN ) `  k )  e.  CC )
3833, 37sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  e.  CC )
3938adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( F `  NN ) `  k )  e.  CC )
406rpnnen2lem3 14034 . . . . . . . . 9  |-  seq 1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  seq 1 (  +  , 
( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  /  2 ) )
4231, 11, 32, 39, 41isumclim 13654 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( ( F `  NN ) `
 k )  =  ( 1  /  2
) )
4330, 42breqtrd 4463 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( ( F `  y ) `
 k )  <_ 
( 1  /  2
) )
444, 43syl5eqbr 4472 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  <_  ( 1  /  2
) )
45 halflt1 10753 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <  1
4624, 26, 45ltleii 9696 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
4746a1i 11 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  ( 1  /  2 )  <_  1 )
4810, 25, 27, 44, 47letrd 9728 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  <_  1 )
49 0re 9585 . . . . 5  |-  0  e.  RR
5049, 26elicc2i 11593 . . . 4  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  e.  ( 0 [,] 1
)  <->  ( sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  <_  1 ) )
5110, 23, 48, 50syl3anbrc 1178 . . 3  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  e.  ( 0 [,] 1
) )
52 elpwi 4008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P NN  ->  z 
C_  NN )
53 ssdifss 3621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  NN  ->  ( y 
\  z )  C_  NN )
54 ssdifss 3621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  NN  ->  ( z 
\  y )  C_  NN )
55 unss 3664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  \  z
)  C_  NN  /\  (
z  \  y )  C_  NN )  <->  ( (
y  \  z )  u.  ( z  \  y
) )  C_  NN )
5655biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  \  z
)  C_  NN  /\  (
z  \  y )  C_  NN )  ->  (
( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) ) 
C_  NN )
5753, 54, 56syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  ->  (
( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) ) 
C_  NN )
582, 52, 57syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( ( y 
\  z )  u.  ( z  \  y
) )  C_  NN )
59 eqss 3504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  <->  ( y  C_  z  /\  z  C_  y ) )
60 ssdif0 3873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  z  <->  ( y  \  z )  =  (/) )
61 ssdif0 3873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
C_  y  <->  ( z  \  y )  =  (/) )
6260, 61anbi12i 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  z  /\  z  C_  y )  <->  ( (
y  \  z )  =  (/)  /\  ( z 
\  y )  =  (/) ) )
63 un00 3850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  \  z
)  =  (/)  /\  (
z  \  y )  =  (/) )  <->  ( (
y  \  z )  u.  ( z  \  y
) )  =  (/) )
6459, 62, 633bitri 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  <->  ( (
y  \  z )  u.  ( z  \  y
) )  =  (/) )
6564necon3bii 2722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =/=  z  <->  ( (
y  \  z )  u.  ( z  \  y
) )  =/=  (/) )
6665biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =/=  z  ->  (
( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) )  =/=  (/) )
67 nnwo 11148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
)  C_  NN  /\  (
( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) )  =/=  (/) )  ->  E. m  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) A. n  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) m  <_  n
)
6858, 66, 67syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  /\  y  =/=  z )  ->  E. m  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) A. n  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) m  <_  n
)
6968ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( y  =/=  z  ->  E. m  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) A. n  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) m  <_  n
) )
7058sselda 3489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  /\  m  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) )  ->  m  e.  NN )
71 df-ral 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  ( (
y  \  z )  u.  ( z  \  y
) ) m  <_  n 
<-> 
A. n ( n  e.  ( ( y 
\  z )  u.  ( z  \  y
) )  ->  m  <_  n ) )
72 con34b 290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ( y  \  z )  u.  ( z  \ 
y ) )  ->  m  <_  n )  <->  ( -.  m  <_  n  ->  -.  n  e.  ( (
y  \  z )  u.  ( z  \  y
) ) ) )
73 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( y  \ 
z )  <->  ( n  e.  y  /\  -.  n  e.  z ) )
74 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( z  \ 
y )  <->  ( n  e.  z  /\  -.  n  e.  y ) )
7573, 74orbi12i 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( y 
\  z )  \/  n  e.  ( z 
\  y ) )  <-> 
( ( n  e.  y  /\  -.  n  e.  z )  \/  (
n  e.  z  /\  -.  n  e.  y
) ) )
76 elun 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ( y 
\  z )  u.  ( z  \  y
) )  <->  ( n  e.  ( y  \  z
)  \/  n  e.  ( z  \  y
) ) )
77 xor 889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( n  e.  y  <-> 
n  e.  z )  <-> 
( ( n  e.  y  /\  -.  n  e.  z )  \/  (
n  e.  z  /\  -.  n  e.  y
) ) )
7875, 76, 773bitr4ri 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( n  e.  y  <-> 
n  e.  z )  <-> 
n  e.  ( ( y  \  z )  u.  ( z  \ 
y ) ) )
7978con1bii 329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  n  e.  ( ( y  \  z )  u.  ( z  \ 
y ) )  <->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) )
8079imbi2i 310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  m  <_  n  ->  -.  n  e.  ( ( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) ) )  <->  ( -.  m  <_  n  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) )
8172, 80bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ( y  \  z )  u.  ( z  \ 
y ) )  ->  m  <_  n )  <->  ( -.  m  <_  n  ->  (
n  e.  y  <->  n  e.  z ) ) )
8281albii 1645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n ( n  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
)  ->  m  <_  n )  <->  A. n ( -.  m  <_  n  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) ) )
8371, 82bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  ( (
y  \  z )  u.  ( z  \  y
) ) m  <_  n 
<-> 
A. n ( -.  m  <_  n  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) ) )
84 alral 2819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n ( -.  m  <_  n  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) )  ->  A. n  e.  NN  ( -.  m  <_  n  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) )
85 nnre 10538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
86 nnre 10538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
87 ltnle 9653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  ( n  <  m  <->  -.  m  <_  n )
)
8885, 86, 87syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  <  m  <->  -.  m  <_  n )
)
8988imbi1d 315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) )  <->  ( -.  m  <_  n  ->  (
n  e.  y  <->  n  e.  z ) ) ) )
9089ralbidva 2890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) )  <->  A. n  e.  NN  ( -.  m  <_  n  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )
9184, 90syl5ibr 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  ( A. n ( -.  m  <_  n  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) )  ->  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )
9283, 91syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  ( A. n  e.  (
( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) ) m  <_  n  ->  A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) ) ) )
9370, 92syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  /\  m  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) )  ->  ( A. n  e.  (
( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) ) m  <_  n  ->  A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) ) ) )
9493reximdva 2929 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( E. m  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) A. n  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) m  <_  n  ->  E. m  e.  ( ( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) ) A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) ) ) )
9569, 94syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( y  =/=  z  ->  E. m  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )
96 rexun 3670 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  ( ( y  \  z )  u.  ( z  \ 
y ) ) A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) )  <->  ( E. m  e.  ( y  \  z ) A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) )  \/ 
E. m  e.  ( z  \  y ) A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) ) ) )
9795, 96syl6ib 226 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( y  =/=  z  ->  ( E. m  e.  ( y  \  z ) A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) )  \/ 
E. m  e.  ( z  \  y ) A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) ) ) ) )
98 simpll 751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( y  \  z )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  y  C_  NN )
99 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( y  \  z )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  z  C_  NN )
100 simprl 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( y  \  z )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  m  e.  ( y  \  z ) )
101 simprr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( y  \  z )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) ) )
102 biid 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  z ) `  k
)  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  y ) `  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 z ) `  k ) )
1036, 98, 99, 100, 101, 102rpnnen2lem11 14042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( y  \  z )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  -.  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )
)
104103rexlimdvaa 2947 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  ->  ( E. m  e.  (
y  \  z ) A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) )  ->  -.  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )
) )
105 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( z  \  y )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  z  C_  NN )
106 simpll 751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( z  \  y )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  y  C_  NN )
107 simprl 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( z  \  y )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  m  e.  ( z  \  y ) )
108 simprr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( z  \  y )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) ) )
109 bicom 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  z  <->  n  e.  y )  <->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) )
110109imbi2i 310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  <  m  -> 
( n  e.  z  <-> 
n  e.  y ) )  <->  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) )
111110ralbii 2885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  z  <->  n  e.  y ) )  <->  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) )
112108, 111sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( z  \  y )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  z  <-> 
n  e.  y ) ) )
113 eqcom 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  z ) `  k
)  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  z ) `  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k ) )
1146, 105, 106, 107, 112, 113rpnnen2lem11 14042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( z  \  y )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  -.  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )
)
115114rexlimdvaa 2947 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  ->  ( E. m  e.  (
z  \  y ) A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) )  ->  -.  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )
) )
116104, 115jaod 378 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  ->  (
( E. m  e.  ( y  \  z
) A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) )  \/  E. m  e.  ( z  \  y ) A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) ) )  ->  -.  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )
) )
1172, 52, 116syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( ( E. m  e.  ( y 
\  z ) A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) )  \/ 
E. m  e.  ( z  \  y ) A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) ) )  ->  -.  sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  z ) `  k
) ) )
11897, 117syld 44 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( y  =/=  z  ->  -.  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )
) )
119118necon4ad 2674 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )  ->  y  =  z ) )
120 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
121120fveq1d 5850 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  y
) `  k )  =  ( ( F `
 z ) `  k ) )
122121sumeq2sdv 13608 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )
)
123119, 122impbid1 203 . . 3  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )  <->  y  =  z ) )
12451, 123dom2 7551 . 2  |-  ( ( 0 [,] 1 )  e.  _V  ->  ~P NN 
~<_  ( 0 [,] 1
) )
1251, 124ax-mp 5 1  |-  ~P NN  ~<_  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367   A.wal 1396    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ifcif 3929   ~Pcpw 3999   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ~<_ cdom 7507   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   3c3 10582   ZZ>=cuz 11082   [,]cicc 11535    seqcseq 12089   ^cexp 12148    ~~> cli 13389   sum_csu 13590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591
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