MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem4 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen1lem4 11223
Description: Lemma for rpnnen1 11225. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1.1  |-  T  =  { n  e.  ZZ  |  ( n  / 
k )  <  x }
rpnnen1.2  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem4  |-  ( x  e.  RR  ->  sup ( ran  ( F `  x ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
Distinct variable groups:    k, F, n, x    T, n
Allowed substitution hints:    T( x, k)

Proof of Theorem rpnnen1lem4
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1.1 . . . . 5  |-  T  =  { n  e.  ZZ  |  ( n  / 
k )  <  x }
2 rpnnen1.2 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) ) )
31, 2rpnnen1lem1 11220 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x )  e.  ( QQ  ^m  NN ) )
4 qexALT 11209 . . . . 5  |-  QQ  e.  _V
5 nnexALT 10550 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
64, 5elmap 7459 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  e.  ( QQ  ^m  NN )  <->  ( F `  x ) : NN --> QQ )
73, 6sylib 196 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x ) : NN --> QQ )
8 frn 5743 . . . 4  |-  ( ( F `  x ) : NN --> QQ  ->  ran  ( F `  x
)  C_  QQ )
9 qssre 11204 . . . 4  |-  QQ  C_  RR
108, 9syl6ss 3521 . . 3  |-  ( ( F `  x ) : NN --> QQ  ->  ran  ( F `  x
)  C_  RR )
117, 10syl 16 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  ran  ( F `  x ) 
C_  RR )
12 1nn 10559 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
13 ne0i 3796 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5  |-  NN  =/=  (/)
15 fdm 5741 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x ) : NN --> QQ  ->  dom  ( F `  x
)  =  NN )
1615neeq1d 2744 . . . . 5  |-  ( ( F `  x ) : NN --> QQ  ->  ( dom  ( F `  x )  =/=  (/)  <->  NN  =/=  (/) ) )
1714, 16mpbiri 233 . . . 4  |-  ( ( F `  x ) : NN --> QQ  ->  dom  ( F `  x
)  =/=  (/) )
18 dm0rn0 5225 . . . . 5  |-  ( dom  ( F `  x
)  =  (/)  <->  ran  ( F `
 x )  =  (/) )
1918necon3bii 2735 . . . 4  |-  ( dom  ( F `  x
)  =/=  (/)  <->  ran  ( F `
 x )  =/=  (/) )
2017, 19sylib 196 . . 3  |-  ( ( F `  x ) : NN --> QQ  ->  ran  ( F `  x
)  =/=  (/) )
217, 20syl 16 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  ran  ( F `  x )  =/=  (/) )
221, 2rpnnen1lem3 11222 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_  x )
23 breq2 4457 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
n  <_  y  <->  n  <_  x ) )
2423ralbidv 2906 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_  y  <->  A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_  x ) )
2524rspcev 3219 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. n  e.  ran  ( F `  x )
n  <_  x )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ran  ( F `  x )
n  <_  y )
2622, 25mpdan 668 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  E. y  e.  RR  A. n  e. 
ran  ( F `  x ) n  <_ 
y )
27 suprcl 10515 . 2  |-  ( ( ran  ( F `  x )  C_  RR  /\ 
ran  ( F `  x )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_ 
y )  ->  sup ( ran  ( F `  x ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2811, 21, 26, 27syl3anc 1228 1  |-  ( x  e.  RR  ->  sup ( ran  ( F `  x ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821    C_ wss 3481   (/)c0 3790   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   supcsup 7912   RRcr 9503   1c1 9505    < clt 9640    <_ cle 9641    / cdiv 10218   NNcn 10548   ZZcz 10876   QQcq 11194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-q 11195
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  11224
  Copyright terms: Public domain W3C validator