MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem4 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen1lem4 11300
Description: Lemma for rpnnen1 11302. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1.1  |-  T  =  { n  e.  ZZ  |  ( n  / 
k )  <  x }
rpnnen1.2  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem4  |-  ( x  e.  RR  ->  sup ( ran  ( F `  x ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
Distinct variable groups:    k, F, n, x    T, n
Allowed substitution hints:    T( x, k)

Proof of Theorem rpnnen1lem4
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1.1 . . . . 5  |-  T  =  { n  e.  ZZ  |  ( n  / 
k )  <  x }
2 rpnnen1.2 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) ) )
31, 2rpnnen1lem1 11297 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x )  e.  ( QQ  ^m  NN ) )
4 qex 11283 . . . . 5  |-  QQ  e.  _V
5 nnex 10622 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
64, 5elmap 7511 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  e.  ( QQ  ^m  NN )  <->  ( F `  x ) : NN --> QQ )
73, 6sylib 199 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x ) : NN --> QQ )
8 frn 5752 . . . 4  |-  ( ( F `  x ) : NN --> QQ  ->  ran  ( F `  x
)  C_  QQ )
9 qssre 11281 . . . 4  |-  QQ  C_  RR
108, 9syl6ss 3476 . . 3  |-  ( ( F `  x ) : NN --> QQ  ->  ran  ( F `  x
)  C_  RR )
117, 10syl 17 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  ran  ( F `  x ) 
C_  RR )
12 1nn 10627 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
1312ne0ii 3768 . . . . 5  |-  NN  =/=  (/)
14 fdm 5750 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x ) : NN --> QQ  ->  dom  ( F `  x
)  =  NN )
1514neeq1d 2697 . . . . 5  |-  ( ( F `  x ) : NN --> QQ  ->  ( dom  ( F `  x )  =/=  (/)  <->  NN  =/=  (/) ) )
1613, 15mpbiri 236 . . . 4  |-  ( ( F `  x ) : NN --> QQ  ->  dom  ( F `  x
)  =/=  (/) )
17 dm0rn0 5070 . . . . 5  |-  ( dom  ( F `  x
)  =  (/)  <->  ran  ( F `
 x )  =  (/) )
1817necon3bii 2688 . . . 4  |-  ( dom  ( F `  x
)  =/=  (/)  <->  ran  ( F `
 x )  =/=  (/) )
1916, 18sylib 199 . . 3  |-  ( ( F `  x ) : NN --> QQ  ->  ran  ( F `  x
)  =/=  (/) )
207, 19syl 17 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  ran  ( F `  x )  =/=  (/) )
211, 2rpnnen1lem3 11299 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_  x )
22 breq2 4427 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
n  <_  y  <->  n  <_  x ) )
2322ralbidv 2861 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_  y  <->  A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_  x ) )
2423rspcev 3182 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. n  e.  ran  ( F `  x )
n  <_  x )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ran  ( F `  x )
n  <_  y )
2521, 24mpdan 672 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  E. y  e.  RR  A. n  e. 
ran  ( F `  x ) n  <_ 
y )
26 suprcl 10576 . 2  |-  ( ( ran  ( F `  x )  C_  RR  /\ 
ran  ( F `  x )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_ 
y )  ->  sup ( ran  ( F `  x ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2711, 20, 25, 26syl3anc 1264 1  |-  ( x  e.  RR  ->  sup ( ran  ( F `  x ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   dom cdm 4853   ran crn 4854   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7483   supcsup 7963   RRcr 9545   1c1 9547    < clt 9682    <_ cle 9683    / cdiv 10276   NNcn 10616   ZZcz 10944   QQcq 11271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-q 11272
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  11301
  Copyright terms: Public domain W3C validator