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Theorem rpnnen1lem3 10981
Description: Lemma for rpnnen1 10984. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1.1  |-  T  =  { n  e.  ZZ  |  ( n  / 
k )  <  x }
rpnnen1.2  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem3  |-  ( x  e.  RR  ->  A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_  x )
Distinct variable groups:    k, F, n, x    T, n
Allowed substitution hints:    T( x, k)

Proof of Theorem rpnnen1lem3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnexALT 10324 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
21mptex 5948 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k
) )  e.  _V
3 rpnnen1.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) ) )
43fvmpt2 5781 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) )  e. 
_V )  ->  ( F `  x )  =  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k ) ) )
52, 4mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x )  =  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k ) ) )
65fveq1d 5693 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( F `  x
) `  k )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k
) ) `  k
) )
7 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k
)  e.  _V
8 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k
) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) )
98fvmpt2 5781 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k )  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k
) ) `  k
)  =  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k
) )
107, 9mpan2 671 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) ) `  k )  =  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) )
116, 10sylan9eq 2495 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  x ) `  k
)  =  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k
) )
12 rpnnen1.1 . . . . . . . . 9  |-  T  =  { n  e.  ZZ  |  ( n  / 
k )  <  x }
1312rabeq2i 2969 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  T  <->  ( n  e.  ZZ  /\  ( n  /  k )  < 
x ) )
14 zre 10650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  RR )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  RR )
16 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  x  e.  RR )
17 nnre 10329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
18 nngt0 10351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
1917, 18jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  RR  /\  0  <  k ) )
2019ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  RR  /\  0  < 
k ) )
21 ltdivmul 10204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
k  e.  RR  /\  0  <  k ) )  ->  ( ( n  /  k )  < 
x  <->  n  <  ( k  x.  x ) ) )
2215, 16, 20, 21syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( n  /  k )  < 
x  <->  n  <  ( k  x.  x ) ) )
2317ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  k  e.  RR )
24 remulcl 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( k  x.  x
)  e.  RR )
2523, 16, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  x )  e.  RR )
26 ltle 9463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( k  x.  x
)  e.  RR )  ->  ( n  < 
( k  x.  x
)  ->  n  <_  ( k  x.  x ) ) )
2715, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  < 
( k  x.  x
)  ->  n  <_  ( k  x.  x ) ) )
2822, 27sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( n  /  k )  < 
x  ->  n  <_  ( k  x.  x ) ) )
2928impr 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( n  /  k )  < 
x ) )  ->  n  <_  ( k  x.  x ) )
3013, 29sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  T
)  ->  n  <_  ( k  x.  x ) )
3130ralrimiva 2799 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  A. n  e.  T  n  <_  ( k  x.  x ) )
32 ssrab2 3437 . . . . . . . . . 10  |-  { n  e.  ZZ  |  ( n  /  k )  < 
x }  C_  ZZ
3312, 32eqsstri 3386 . . . . . . . . 9  |-  T  C_  ZZ
34 zssre 10653 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
3533, 34sstri 3365 . . . . . . . 8  |-  T  C_  RR
3635a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  T  C_  RR )
3724ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( k  x.  x
)  e.  RR )
3817, 37sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  x.  x
)  e.  RR )
39 btwnz 10744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  x.  x )  e.  RR  ->  ( E. n  e.  ZZ  n  <  ( k  x.  x )  /\  E. n  e.  ZZ  (
k  x.  x )  <  n ) )
4039simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  x.  x )  e.  RR  ->  E. n  e.  ZZ  n  <  (
k  x.  x ) )
4138, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  E. n  e.  ZZ  n  <  ( k  x.  x ) )
4222rexbidva 2732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( n  / 
k )  <  x  <->  E. n  e.  ZZ  n  <  ( k  x.  x
) ) )
4341, 42mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  E. n  e.  ZZ  ( n  /  k
)  <  x )
44 rabn0 3657 . . . . . . . . 9  |-  ( { n  e.  ZZ  | 
( n  /  k
)  <  x }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  /  k
)  <  x )
4543, 44sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  { n  e.  ZZ  |  ( n  / 
k )  <  x }  =/=  (/) )
4612neeq1i 2618 . . . . . . . 8  |-  ( T  =/=  (/)  <->  { n  e.  ZZ  |  ( n  / 
k )  <  x }  =/=  (/) )
4745, 46sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  T  =/=  (/) )
48 breq2 4296 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( k  x.  x )  ->  (
n  <_  y  <->  n  <_  ( k  x.  x ) ) )
4948ralbidv 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( k  x.  x )  ->  ( A. n  e.  T  n  <_  y  <->  A. n  e.  T  n  <_  ( k  x.  x ) ) )
5049rspcev 3073 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  x.  x
)  e.  RR  /\  A. n  e.  T  n  <_  ( k  x.  x ) )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  T  n  <_  y )
5138, 31, 50syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  T  n  <_  y )
52 suprleub 10294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. n  e.  T  n  <_  y )  /\  ( k  x.  x )  e.  RR )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  (
k  x.  x )  <->  A. n  e.  T  n  <_  ( k  x.  x ) ) )
5336, 47, 51, 38, 52syl31anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  ( k  x.  x )  <->  A. n  e.  T  n  <_  ( k  x.  x ) ) )
5431, 53mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  <_ 
( k  x.  x
) )
5512, 3rpnnen1lem2 10980 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  e.  ZZ )
5655zred 10747 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
57 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
5819adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  e.  RR  /\  0  <  k ) )
59 ledivmul 10205 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( k  e.  RR  /\  0  <  k ) )  -> 
( ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k )  <_  x  <->  sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  ( k  x.  x ) ) )
6056, 57, 58, 59syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k )  <_  x  <->  sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  ( k  x.  x ) ) )
6154, 60mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k )  <_  x )
6211, 61eqbrtrd 4312 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  x ) `  k
)  <_  x )
6362ralrimiva 2799 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  A. k  e.  NN  ( ( F `
 x ) `  k )  <_  x
)
6412, 3rpnnen1lem1 10979 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x )  e.  ( QQ  ^m  NN ) )
65 qexALT 10968 . . . . 5  |-  QQ  e.  _V
6665, 1elmap 7241 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  e.  ( QQ  ^m  NN )  <->  ( F `  x ) : NN --> QQ )
6764, 66sylib 196 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x ) : NN --> QQ )
68 ffn 5559 . . 3  |-  ( ( F `  x ) : NN --> QQ  ->  ( F `  x )  Fn  NN )
69 breq1 4295 . . . 4  |-  ( n  =  ( ( F `
 x ) `  k )  ->  (
n  <_  x  <->  ( ( F `  x ) `  k )  <_  x
) )
7069ralrn 5846 . . 3  |-  ( ( F `  x )  Fn  NN  ->  ( A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( ( F `
 x ) `  k )  <_  x
) )
7167, 68, 703syl 20 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( ( F `
 x ) `  k )  <_  x
) )
7263, 71mpbird 232 1  |-  ( x  e.  RR  ->  A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   (/)c0 3637   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   ran crn 4841    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   supcsup 7690   RRcr 9281   0cc0 9282    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    / cdiv 9993   NNcn 10322   ZZcz 10646   QQcq 10953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-q 10954
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem4  10982  rpnnen1lem5  10983
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