MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpne0d Structured version   Unicode version

Theorem rpne0d 11182
Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpne0d  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem rpne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpne0 11154 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1826    =/= wne 2577   0cc0 9403   RR+crp 11139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-ltxr 9544  df-rp 11140
This theorem is referenced by:  rprene0d  11185  rpcnne0d  11186  iccf1o  11585  ltexp2r  12125  discr  12205  bcpasc  12301  sqrtdiv  13101  abs00  13124  absdiv  13130  o1rlimmul  13443  geomulcvg  13687  mertenslem1  13695  retanhcl  13896  tanhlt1  13897  tanhbnd  13898  sylow1lem1  16735  nrginvrcnlem  21284  nmoi2  21322  reperflem  21408  icchmeo  21526  icopnfcnv  21527  nmoleub2lem  21682  nmoleub2lem2  21684  nmoleub3  21687  pjthlem1  21937  sca2rab  22008  ovolscalem1  22009  ovolsca  22011  itg2mulclem  22238  itg2mulc  22239  c1liplem1  22482  aalioulem4  22816  aaliou3lem8  22826  itgulm  22888  dvradcnv  22901  abelthlem7  22918  abelthlem8  22919  tanrpcl  22982  tanregt0  23011  efiarg  23079  argregt0  23082  argrege0  23083  argimgt0  23084  tanarg  23091  logdivlti  23092  logno1  23104  logcnlem4  23113  divcxp  23155  cxple2  23165  cxpcn3lem  23208  cxpcn3  23209  cxpaddlelem  23212  cxpaddle  23213  logbrec  23240  asinlem3  23318  rlimcnp  23412  rlimcnp2  23413  rlimcxp  23420  cxp2limlem  23422  cxp2lim  23423  cxploglim2  23425  jensenlem2  23434  amgmlem  23436  logdiflbnd  23441  basellem3  23473  basellem8  23478  isppw  23505  chpeq0  23600  chteq0  23601  bposlem9  23684  chebbnd1lem2  23772  chebbnd1  23774  chtppilimlem1  23775  chebbnd2  23779  chto1lb  23780  chpchtlim  23781  chpo1ubb  23783  rplogsumlem1  23786  rplogsumlem2  23787  dchrvmasumlem1  23797  dchrvmasum2lem  23798  dchrisum0lema  23816  dchrisum0lem1b  23817  dchrisum0lem1  23818  dchrisum0lem2a  23819  dchrisum0lem2  23820  dchrisum0lem3  23821  dchrisum0  23822  mulog2sumlem1  23836  vmalogdivsum2  23840  vmalogdivsum  23841  2vmadivsumlem  23842  chpdifbndlem1  23855  selberg3lem1  23859  selberg3lem2  23860  selberg3  23861  selberg4lem1  23862  selberg4  23863  selberg3r  23871  selberg4r  23872  selberg34r  23873  pntrlog2bndlem1  23879  pntrlog2bndlem2  23880  pntrlog2bndlem3  23881  pntrlog2bndlem4  23882  pntrlog2bndlem5  23883  pntrlog2bndlem6  23885  pntpbnd2  23889  pntibndlem2  23893  pntlemr  23904  pntlemo  23909  pnt2  23915  pnt  23916  padicabv  23932  ostth2lem3  23937  ostth2lem4  23938  ostth3  23940  smcnlem  25724  pjhthlem1  26426  rpxdivcld  27783  xrmulc1cn  28066  esumdivc  28231  probmeasb  28552  signsply0  28691  lgamgulmlem2  28761  lgamucov  28769  circum  29229  iprodgam  29291  faclimlem1  29334  faclimlem3  29336  itg2addnclem3  30234  geomcau  30418  cntotbnd  30458  bfplem1  30484  rrncmslem  30494  rrnequiv  30497  irrapxlem5  30927  pellfund14  30999  rmxyneg  31021  rmxyadd  31022  modabsdifz  31092  binomcxplemnotnn0  31429  oddfl  31626  ioodvbdlimc1lem2  31895  ioodvbdlimc2lem  31897  stoweidlem1  31949  stoweidlem14  31962  stoweidlem60  32008  wallispilem4  32016  wallispilem5  32017  wallispi  32018  wallispi2lem1  32019  stirlinglem1  32022  stirlinglem3  32024  stirlinglem4  32025  stirlinglem5  32026  stirlinglem8  32029  stirlinglem12  32033  stirlinglem15  32036  dirkertrigeqlem1  32046  dirkercncflem1  32051  dirkercncflem4  32054  fourierdlem30  32085  fourierdlem39  32094  fourierdlem47  32102  fourierdlem65  32120  fourierdlem73  32128  fourierdlem87  32142
  Copyright terms: Public domain W3C validator